babkin_selivanov (550243), страница 12
Текст из файла (страница 12)
С этой целью выполним скалярное умножение левой и правой частей равенства (1.59) на вектор основного базиса г/. В результате (с учетом операции замены одногоиндекса другим) получим(ггl*j'} • 1*1 = Ajjkl* • Tj = A.ijk9f =V/x(1-60)Mjl = [Ti X Tj) • rhт.е. ковариантные компоненты дискриминантного тензораопределяются смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов основного базиса.Из формул (1.60) следует заключение о численных значениях компонент Л|;7 дискриминантного тензора. КомпонентыAty/ с любыми двумя одинаковыми индексами (или i = у, илиi = I, или j = I) равны нулю (см. формулу (1.4) смешанногопроизведения трех векторов). В противном случае при разных значениях индексов г, у, I компоненты Л,у/ определяютсязначением смешанного произведения трех различных векторов основного базиса, которое равно объему построенного набазисных векторах параллелепипеда, взятого со знаком плюсили минус в зависимости от взаимной ориентации векторовг г,rl- Для ортогональных систем координат при ij,jA-i = ±|ri| • 17*21 • |гз|- С учетом определения (1.25)метрических коэффициентов основного базиса и диагонального вида метрической матрицыдля ортогональныхсистем координат получимЛ,,/ = ±д/(г1 - и)-(г2-ГгНгз-гз) = ±</511 522^33 =где д = det— детерминант метрической матрицыосновного базиса ортогональной системы координат.
Такимобразом, ковариантные компоненты дискриминантного тензора принимают в ортогональной системе координат следующиезначения:Л _ J0 при= j, i = I, j = I,(1-61)'}l1 ±у/д при i 3 >> 3*78Знак (плюс или минус) компонент Лг-у/ наиболее удобно определять непосредственно из соотношения (1.60) с учетом того,что совокупность векторов основного базиса 74, 7*2, г3 образует правую тройку векторов (с конца вектора гз поворот вектора и по кратчайшему пути к вектору 7*2 происходит противхода часовой стрелки). Например, Л123 = (п X 7*2) ’г3 =так как вектор ri хт*2 направлен в ту же сторону, что и векторгз (см- Рис- 1-31)? а следовательно, (7*1 хт^-т’з > 0. Напротив,Д213 =(т2 х г1) * г3 = —так как вектор Г2 х ri направленпротивоположно вектору 7*3, а следовательно, (7*2 X 74) ♦ 7*3 < 0и т.д.
Нетрудно установить, что правило для определениязнака компонент Лгу/ сводится к правилу циклической перестановки.С установлением значений компонент дискриминантноготензора представляется возможным определение правил векторного умножения тензоров. Результатом векторного умножения тензоров первого ранга(а) X (6) = а№(г{ X rj'j = a%b^XijkTk = скткявляется также тензор первого ранга с компонентами ск =—в образовании которых участвуют компоненты дискриминантного тензора и компоненты перемножаемых тензоров.
В частности, в декартовой прямоугольнойсистеме координат отсутствует различие между ковариантными и контрвариантными компонентами тензоров, а детерминант метрической матрицы есть постоянная величинад = det= 1- В связи с этим компоненты дискриминантного тензора принимают значения 0, +1, —1, а полученная формула совпадает с формулой (1.3) векторного произведения векторов.При векторном умножении тензора второго ранга (а) == aijr'ri на тензор первого ранга (Ь) =получится тензорвторого ранга(а) X (6) = (а^тгт^ х (bkT^ = а^Ькгг(г} X= а^Ькгг (A}klrl) =-r'r1 = сцг*г179с компонентами сц = aijbkK}kl. При получении результата использовалось одно из свойств диадных произведений векторов,проявляющееся при векторном умножении диады на вектор:аЬ х с = а(Ь х с). Итак, при векторном умножении тензоровранг результирующего тензора равен наивысшему из ранговперемножаемых тензоров: г = max(rj, 7*2)-1.3.6.
Элементы тензорного анализаВ механике сплошных сред тензорные математическиеобъекты, как правило, зависят от координат и времени. Раздел тензорного исчисления, в котором рассматриваются операции дифференцирования и интегрирования переменных тензоров, называется тензорным анализом.Дифференцирование тензоров по координатам.Специфика этой операции в общем случае криволинейной системы координат связана с переменностью не только компонент, но и базисных векторов.
Действительно, только в случаедекартовой прямоугольной системы координат совокупностьвекторов основного базиса не изменяется при переходе от одной точки пространства к другой (см. рис. 1.32). Напротив, влюбой криволинейной системе координат, например в цилиндрической, совокупность базисных векторов в разных точкахпространства различна (см. рис. 1.33), т.е. базисные векторыявляются функциями координат: гг = г^х1, х2, х3).
Именно этот факт и определяет особенности дифференцированиятензоров по координатам.Рассмотрим правила дифференцирования тензоров напримере тензора первого ранга (вектора), заданного контрвариантными компонентами, (а) = агг{. Будем считать,что компоненты тензора зависят от координат и времени:аг = аЧх1, х2, х3, /), а также (в общем случае криволинейной системы координат) что базисные векторы зависят от координат: гг- = 7*г(х1, х2, х3). Определим частную производнуютензора (а) по любой координате хЛ С учетом правил дифференцирования произведения получим=dxi80(а.гл = дг.+а<д.dxi \/дхЗ 1dxiа(1-62)Производная векторной функции гг = г^я1, я2, ж3) по скалярному аргументу х3 представляет собой некоторый вектор,который обозначим какдт{(1.63)Ггз ~ 'дх3'Как и всякий вектор, вектор (1.63) может быть представлен ввиде разложения по векторам основного или взаимного базиса:Гуй = Yijkrk = ^Гк(1-64)Компоненты Гу* производной вектора основного базиса г, покоординате х3 в разложении по векторам взаимного базиса называются символами Кристоффеля первого рода, а компоненты Г*- производной вектора основного базиса тг по координатех3 в разложении по векторам основного базиса носят название симеолов Кристоффеля второго рода.
С использованиемсимволов Кристоффеля второго рода (см. (1.64)) выражение(1.62) для производной тензора (а) по координате х3 принимает видПоменяем в выраженииобозначения индексов суммирования: i на к и к на г. Это допустимо, так как индекссуммирования может обозначаться любой буквой, существенно лишь его двукратное повторение в выражении: один развверху, другой — внизу. Поэтому с точки зрения соглашения о суммировании выражения агГ^гк и-г, полностьюэквивалентны. С учетом изменения обозначения индексов суммирования получим3(a) = a?да1 r'+“ l Tt. >r' = (да1 +“к М\ г‘ =(а?.•f.
1-65’.т.е. производной тензора первого ранга, заданного контрвариантными компонентами, является вектор, компонентыкоторого имеют специальное обозначениеiдагк:V>“’ = ^7 + “4(1.66)81и название абсолютной (ковариантной) производной контрвариантных компонент тензора первого ранга. Очевидно,что абсолютная производная компонент вектора отличаетсяот обычной частной производной дополнительными членамиа^Г^, связанными с переменностью базисных векторов по координатам.Остановимся более подробно на таких объектах тензорного анализа, как символы Кристоффеля. По определению(1.64), символы Кристоффеля первого и второго рода являются компонентами производной вектора основного базисапо координате.Геометрический смысл символов Кристоффеля заключается в следующем.
В декартовой прямоугольной системе координат векторы основного базиса не зависят от координат,поэтому производная любого базисного вектора гг по любойкоординате х3 равна нулю: dvjdx3 = 0. Соответственно (см. (1.64)) равны нулю и компоненты вектора дт^/дх3'.= Г*. = 0. В любой криволинейной системе координат вобщем случае векторы основного базиса зависят от координат:гг — Tj/z1, z2, z3), поэтому производная дт^дх3 отлична отнуля, а следовательно, отличны от нуля и компоненты этойпроизводной: Гг^ / 0, Г*- / 0.
Очевиден вывод: символыКристоффеля характеризуют искривленность координатныхлиний системы координат (“криволинейность” системы координат), т.е. символы Кристоффеля являются характеристикой системы координат наряду с фундаментальным метрическим тензором.Символы Кристоффеля не являются компонентаминекоторого тензора третьего ранга. Действительно, ковариантные компоненты тензора третьего ранга при переходеот одной системы координат к другой должны изменяться всоответствии с ковариантным законом преобразования:/у _дха дх& дху[aijk) =aafh-Q-i-Q^-Qyk-Очевидно, что если компоненты тензора третьего ранга равны нулю в какой-то одной системе координат, то они будут82равны нулю и в любой другой системе координат.
СимволыКристоффеля не удовлетворяют этому условию: в декартовойпрямоугольной системе координат они равны нулю, а, например, в цилиндрической — отличны от нуля.Связь символов Кристоффеля первого и второго родаустанавливается на основе определения (1.64). Для этого выполним скалярное умножение обеих частей равенства (1.64)на вектор взаимного базиса г1. С учетом выражений (1.34),(1.37) для метрических коэффициентов взаимного базиса и метрических коэффициентов смешанного типа, а также правилвыполнения операции замены одного индекса другим получимklНесмотря на то что символы Кристоффеля не являются компонентами тензора третьего ранга, символы Кристоффеляпервого и второго рода взаимосвязаны подобно ковариантными смешанным компонентам тензора через метрические коэффициенты взаимного базиса.Вычисление символов Кристоффеля выполняется с помощью метрических коэффициентов g^j основного базиса системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
