babkin_selivanov (550243), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Величины, преобразующиеся при переходе от одной системы координат кдругой подобно компонентам вектора dr в разложении повекторам основного базиса, называются контрвариантными (формальный признак — индекс вверху).58Преобразование векторов основного базиса при переходе от одной системы координат к другой проводится по закону, носящему название ковариантного закона преобразования. Радиус-вектор г =ж2, ж3) является функциейкоординат хг, каждая из которых, в свою очередь, связана скоординатами у3: хг = хг(у3). В соответствии с правилами дифференцирования сложной функции векторы основногобазиса (туУ в новой системе координат связаны с векторамиосновного базиса тг в старой системе координат соотношениямидгду3дг дх1дг дх2дх^ ду3 + дх% ду3дгдх$ ду3дх1дх2дх3= r'd^ + T2a^ + ria^или(г>)/ = Г/^7(1л0)при использовании соглашения о суммировании.
Таким образом, для перехода от векторов основного базиса г/ в даннойточке пространства в системе координат хг к векторам основного базиса (rj)' в той же точке пространства в системе координат у3 необходимо знать частные производные дх^/ду3старых координат по новым. Величины, преобразующиеся припереходе от одной системы координат к другой подобно векторам основного базиса, называются ковариантными (формальный признак — индекс внизу).Ковариантный и контрвариантный законы преобразования являются взаимно обратными, что и приводит к инвариантности вектора dr относительно преобразования системыкоординат.
Действительно, в соответствии с соотношениями(1.39) и (1.40)/jУ^xl dyijki k( &xl(гЛ dy3 = Г1——Г —~r dxK = ri dxK I —-г —г ).kУdy3 dxk1\ду3 dxkJ/1(1-41)v759Выражение, заключенное в скобки, представляет собой суммутрех членов:дх1 ду]dyi дхкдх1 ду1ду1 дхкдх1 ду2ду^ дх^дх1 ду3ду^ дх^Согласно предположению о существовании взаимосвязи между координатами точек в старой и новой системах координат:х1 = ^(у1, я/2, j/3), уг = уг(х\ х2, ж3), последнее выражениепредставляет собой частную производную координаты х^ покоординате к значения которойw определяются значениямисимвола Кронекера:дх1 ду3 _ дх1 __ fldyi дхкдхкк(0приприI = к.I к.Действительно, в силу независимости координат ж1, ж2, ж3друг от друга значение производной дх1 /дхк будет отлично отнуля только в одном случае I = к, когда какая-либо координата дифференцируется по самой себе.
С учетом проведенногоупрощения выражение (1.41) принимает вид(rj)1 dyi = ridxk6fc = ri^dxk6lk^.Выражение, заключенное в скобки, представляет собой суммутрех слагаемых (здесь суммирование выполняется по индексу суммирования к). Однако отличным от нуля будет толькоодно из слагаемых, для которого значение индекса суммирования к = I. В результате упрощения dxk6k = dx? и окончательно (ту)' dy3 = г/ dx? = гг dxl = dr, т.е.
вектор dr инвариантенотносительно преобразования системы координат. Несмотряна то что при переходе от одной системы координат к другойпреобразуются компоненты вектора dr и базисные векторы,законы этих преобразований (контрвариантный и ковариантный) взаимно обратны и обеспечивают инвариантность вектора dr в целом относительно преобразования системы координат.60По аналогии с вектором dr любой вектор а являетсяматематическим объектом, инвариантным относительно преобразования системы координат. Инвариантность вектораобеспечивается тем, что законы преобразований компонентвектора и базисных векторов при переходе от одной системы координат к другой являются взаимно обратными.Любой вектор может быть представлен в виде разложенияпо векторам основного базиса: а = агг^ = (a^^rj)1.
Векторыосновного базиса при переходе от одной системы координат кдругой преобразуются по ковариантному закону (1.40), и поэтому основной базис называют также ковариантным базисом. Компоненты же вектора аг в разложении по векторамосновного базиса преобразуются по обратному (контрвариантному) закону и носят название контрвариантных компонентвектора:В то же время любой вектор может быть представленв виде разложения по векторам взаимного базиса: а = а^гг.Можно показать (мы приведем без доказательства), что и вслучае такого представления вектора сохраняется его инвариантность относительно преобразования системы координат.При этом векторы взаимного базиса при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по контрвариантному закону(1-43)и поэтому взаимный базис называют также контрвариантным базисом.
Компоненты аг вектора в разложении по векторам взаимного базиса преобразуются по обратному (ковариантному) закону и носят название ковариантных компонентвектора:61Итак, вектор может быть представлен через свои ковариантные компоненты at при использовании в качестве базисных математических объектов векторов г* взаимного (контрвариантного) базиса, а может быть представлен и через своиконтрвариантные компоненты аг при использовании в качестве базисных математических объектов векторов г, основного (ковариантного) базиса:а = а^гг -(r^ = a’r, = (а^ (rj'j .(1-45)Следовательно, вектор представляет собой математическийобъект, инвариантный относительно преобразования системыкоординат, т.е.
векторные величины, так же как и скалярные, относятся к математическим объектам, называемымтензорами.1.3.3. Понятие тензора второго рангаТензоры второго и более высокого рангов могут быть введены на основе аналогии с векторами. Идея введения тензоравторого ранга в самом общем виде может быть представлена следующим образом. При введении вектора использовались базисные математические объекты — векторы основного (ту) или взаимного (гг) базиса, которые в совокупности счислами — компонентами аг или а, вектора — приводили кобразованию математических объектов, инвариантных относительно преобразования системы координат.
По аналогии сэтим можно ввести более сложные базисные математическиеобъекты, которые, управляя числами, позволяют образоватьболее сложные математические объекты, инвариантные относительно преобразования системы координат.При введении тензора второго ранга такими более сложными базисными математическими объектами являютсядиадные произведения базисных векторов. Диадные произведения базисных векторов r^rj, ггг3,представляютсобой результат неопределенного умножения векторов или62основного базиса (тгг^, или взаимного базисаили обоих базисов (т^г7). Отметим, что в каждом из записанныхзаражений индексы i и j являются свободными индексами,каждый из которых принимает значение от 1 до 3.
Поэтому,например, выражение гггj в краткой форме обозначает девятьдиадных произведений: тщ, rir?, Г1Гз>•••,Неопределенное умножение векторов а и Ъ есть некоторая операция над этими векторами, приводящая к образованию нескаляров (как при скалярном умножении векторов) и не векторов (как при векторном умножении векторов), а некоторыхновых математических объектов ab — тензоров второго ранга. Любая операция, выполняемая в математике над математическим объектом, полностью определяется ее свойствами.Это относится и к операции неопределенного умножения векторов, приводящей к образованию их диадных произведений.Отметим некоторые основные свойства неопределенного умножения векторов:— невыполнение переместительного закона (некоммутативность неопределенного умножения векторов), напримерab 0 Ьа, выполнение распределительного закона и переместительного закона относительно скалярного множителя, напримерс(Аа + ВЬ) = сАа + сВЬ = Аса + ВсЬ;— выполнение скалярного умножения диады ab на вектор с, напримераЬ с = а(Ь с),с аЬ = (с • а)Ь,результатом которого будет вектор, коллинеарный одному извекторов (а или Ь — в зависимости от порядка перемножения),составлявших исходное диадное произведение аЬ;— выполнение векторного умножения диады аЬ на вектор с, напримераЬх с = а(Ь х с),с х аЬ = (с х а)Ь,результатом которого будут новые диадные произведения(а(Ь х с) или (с х а) Ь — в зависимости от порядка перемножения).63С использованием в качестве базисных математическихобъектов диадных произведений векторов основного или взаимного базиса вводятся такие инвариантные относительнопреобразования системы координат математические объекты,как тензоры второго ранга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
