babkin_selivanov (550243), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для уточнениянаправления градиента рассмотрим семейство поверхностейуровня в окрестности данной точки М (рис. 1.19, б). Выберемнаправление единичного вектора s в сторону возрастания значения скалярной величины. Тогда взятая в точке М производная по выбранному направлению положительна (dT/ds > 0),следовательно, положительно и скалярное произведение вектора градиента и единичного вектора s: grad Т • з > 0.
Тогдаугол между векторами grad У ив а < 7г/2, а вектор градиента направлен в ту же сторону, что и единичный вектор з,в данном случае в сторону увеличения скалярной функции.Отметим также, что производная по направлению связана смодулем вектора градиента соотношениемdT— = grad У • з = |grad У | • |з| cos а = |grad У| cos а,(1.8)Очевидно, что максимальное значение производная по направлению dT/ds — |grad У | получает в том случае, когда онаопределяется по направлению нормали п к поверхности уровня. В этом случае а = 0 (рис. 1.19, в). Поэтому относительномодуля вектора градиента можно сказать, что он равен производной скалярной функции, взятой по направлению нормалип к поверхности уровня, т.е.Igr.d7| =а=0_ dTdn ’а вектор градиента может быть определен и через единичныйвектор нормали п к поверхности уровня какgrad У =29Таким образом, градиент скалярной функции векторногоаргумента — это вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону быстрейшего увеличения скалярнойфункции и равный производной по этому направлению.Геометрический смысл градиента скалярной функциивекторного аргумента легко устанавливается из формулы(1.8).
Согласно (1.8), производная по какому-либо направлению есть проекция вектора градиента на это направление.Если на векторе градиента, построенном в данной точке Мпространства, построить, как на диаметре, сферическую поверхность (рис. 1.20), то производная по направлению dT/dsбудет определяться длиной отрезка прямой ММ^ заключенного внутри сферической поверхности. Максимальное по модулю значение производная по направлению в данной точкескалярного поля имеет в случае совпадения этого направления с направлением вектора градиента, а минимальное (равное нулю) значение достигается по касательной к поверхностиуровня.Рис. 1.21Аналитический смысл градиента скалярной функциивекторного аргумента устанавливается с использованиемсоотношения (1.7). Пусть в точке М скалярного поля температуры Т = Т(хь у, г) определен вектор градиента температуры (рис.
1.21). Рассмотрим в бесконечно малой окрестности точки М некоторую близко расположенную точку Afi,зоположение которой относительно исходной точки М характеризуется вектором dr. Очевидно, что вектор dr может бытьпредставлен через единичный вектор з, характеризующий направление dr как dr = s ds, где ds — модуль вектора dr илирасстояние между двумя близко расположенными точками Ми М\. Умножим теперь обе части соотношения (1.7) на ds.В результатедТ— ds = grad Т sds = grad Т • dr.osУчитывая, что левая часть приведенного соотношения определяет изменение значения скалярной функции dT при переходеот точки М пространства к точке, расположенной в окрестности данной точки М вдоль направления вектора s на расстоянии ds, получаемdT = grad Т • dr.(1*9)Нетрудно видеть, что градиент скалярной функции характеризует изменение этой функции в окрестности рассматриваемой точки. Зная градиент скалярной функции в данной точке, мы можем определить изменение функции при переходе отрассматриваемой точки к любой другой в ее окрестности.
Дляэтого достаточно знать положение точки относительно заданной, характеризуемое вектором dr. Соотношение (1.9) является аналогом известного из математического анализа соотношения, связывающего дифференциалы аргумента dx и функции dy со значением производной у1 (ж) функции скалярногоаргумента, т.е.dy = у\х) dx.(1.10)Из сравнения формул (1.9) и (1.10) следует очевидный выводо том, что градиент скалярной функции координат Т(х, у, z)или векторного аргумента Т(г) играет по отношению к функции векторного аргумента такую же роль, что и обычная производная скалярной функции скалярного аргумента по отношению к этой функции.31Дивергенция (расхождение) вектора. Это одна извеличин, характеризующих изменение векторной функциивекторного аргумента а(г) или векторной функции координата(я, у, z) в окрестности точки векторного поля. Определениедивергенции вектора связано с понятием потока вектора через поверхность.
Еслив области пространства, вкотором задано векторноеполе a(z, j/, г), существует некоторая поверхность 5,ориентация которой в каждой ее точке характеризуется единичным вектором нормали n = nxi+nyj+nzk, топотоком вектора через поверхность S называется поверхностный интеграл от скалярного произведения данного вектора аи единичного вектора нормали п (рис.
1.22):/ CL * 71 dS —ахПх “j- а,уПу “Ь ^z^z) dS*Дивергенция вектора в данной точке векторного поляесть отнесенный к единице объема поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую бесконечно малыйобъем, окружающий рассматриваемую точку. На рис. 1.23показана произвольная точка М векторного поля, находящаяся в области пространства объемом V, ограниченной поверхностью S. Согласно определению, дивергенция вектора а вданной точке М пространства представляет собой следующийпредел:о*dSdiv(a) = lim -——----- .4 7 у_>0V(1-11)vФизический смысл дивергенции вектора проанализируем на примере дивергенции вектора скорости течения потока32жидкости, в котором отсутствуют внутренние источники илистоки (рис.
1.24). Будем считать заданным векторное полескорости v = v(z, ?/, z). Рассмотрим произвольную точку Мпространства. Выберем некоторый малый объем Vg пространства, ограниченный поверхностью 5, охватывающей точку М.В момент времени t этот объем включает вполне определенные частицы жидкости. Очевидно, что с течением временипри движении сжимаемой жидкости ее объем, включающийте же самые (одни и те же) частицы, может изменяться. Объем среды, включающий вполне определенные, фиксированные(одни и те же) частицы среды, здесь и в дальнейшем будемназывать индивидуальным объемом.Установим, каким образом индивидуальный объем жидкости, имевший в момент времени t значение Vo, будет изменяться с течением времени.
Для этого рассмотрим малыйучасток dS поверхности 5, ограничивающей выбранный индивидуальный объем в момент времени t. К моменту времениt + А/ частицы жидкости, находившиеся на участке поверхности dS (кривая АВ на рис. 1.24), совершат перемещение наг? А/, где v — вектор скорости течения жидкости на участкеdS поверхности S, и будут находиться в положении, соответствующем участку поверхности А1 В1. Изменение индивидуального объема, связанное с движением жидкости на рассматриваемом малом участке, равно объему цилиндра АВ В1 А1 иопределяется как dV = dSn(v^t\ где dSn = d5cosa представляет собой площадь поперечного сечения цилиндра ABBfAf2 - 971233плоскостью, перпендикулярной вектору скорости v. Угол амежду этой плоскостью и площадкой dS равен углу междуединичным вектором нормали п к площадке dS и векторомскорости движения частиц жидкости v.
Поэтому элементарное изменение рассматриваемого индивидуального объема заинтервал времени А/dV = dS cos a vAt = dS v • n At.Полное изменение рассматриваемого индивидуального объемаза время At определяется интегралом по поверхности 5, ограничивающей индивидуальный объем в момент времени t:v • ndS At.Следовательно, поток вектора скорости через замкнутую поверхность S задает скорость изменения V индивидуальногообъема жидкости, ограниченного в данный момент времениэтой поверхностью, т.е.Последнее выражение и формула (1.11) приводят к соотношениюv • ndSdiv(v) = lim s----- —----- = lim У.v 7 У—>0VV-+0 VДивергенция вектора скорости течения жидкости вданной точке векторного поля представляет собой относительную скорость изменения бесконечно малого индивидуального объема жидкости.Бесконечно малый индивидуальный объем будем называть в дальнейшем индивидуальной частицей. Под индивидуальной частицей сплошной среды будем понимать часть34этой среды, малую по отношению к геометрическим размерамтела и состоящую из вполне определенных, фиксированных(одних и тех же) частиц вещества (с точки зрения реального атомно-молекулярного строения вещества индивидуальнаячастица при всех ее возможных движениях состоит из однихи тех же атомов и молекул).Физический смысл дивергенции вектора скорости связанс изменением плотности жидкости в данной точке векторногополя.
Действительно, малый индивидуальный объем У, имеющий неизменную массу тп, связан с плотностью р очевиднымсоотношением V = тп/р. Поэтому дивергенция вектора скорости течения жидкости выражается через плотность какdiv(v) =~(Ур2)р1/ррр'(1.12)Таким образом, дивергенция вектора скорости может бытьинтерпретирована и как величина, характеризующая относительную скорость изменения плотности индивидуальной частицы сплошной среды, находящейся в данной точке пространства.Выражение для дивергенции вектора через его компоненты в декартовой прямоугольной системе координат выводитсяс помощью математического аппарата векторного анализа наосновании определения (1.11):Таким образом, дивергенция вектора равна сумме частныхпроизводных компонент вектора по соответствующим координатам.С дивергенцией векторной функции тесно связана одна из интегральных теорем векторного анализа — теоремаОстроградского — Гаусса, которая формулируется следующим образом: поток вектора через замкнутую поверхность2*35равен интегралу, по объему ограниченному этой поверхностью, от дивергенции вектора, т.е.(1-14)Простое эвристическое (основанное на здравом смысле)доказательство справедливости этой теоремы следует непосредственно из определения дивергенции векторной функции.На рис.
1.25 показана область пространства D, вкоторой задано векторноеполе а(х, у, z). При этомобъем V ограничен поверхностью 5. Разобьем область пространства D набольшое число малых областей, имеющих объем dV иограниченных каждая своей поверхностью 5*. ОчеРис. 1.25видно, что для каждой извведенных малых областей пространства на основании определения (1.И) дивергенции вектора в данной точке пространства будет справедливо равенствоdiv(a) dVа • ndS,(1-15)где правая часть представляет собой поток вектора через замкнутую поверхность 5*, ограничивающую малую областьпространства объемом dV. При суммировании выраженийтипа (1.15) по всем малым областям, на которые была подразделена область D, приходим к выражению (1.14) теоремы Остроградского — Гаусса. Действительно, в результатесуммирования поверхностных интегралов, взятых по поверхностям 5*, ограничивающим малые области, получится только поверхностный интеграл fa-ndS, взятый по поверхностиS36ограничивающей всю область D в целом.
Поверхностныеинтегралы, взятые по поверхностям, ограничивающим внутренние области, при этом взаимно уничтожаются, так какопределенные для соседних малых областей потоки векторачерез одну и ту же граничную поверхностьна рис. 1.25)различаются только знаком в связи с противоположным направлением единичного вектора внешней нормали п к граничной поверхности. Так, на рис. 1.25 вектор п\ представляет собой единичный вектор внешней нормали для части поверхностиограничивающей малую область 7, а векторП2 является единичным вектором внешней нормали для частиповерхностиограничивающей малую область 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
