babkin_selivanov (550243), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Координатны­13ми линиями, проходящими через точку М, являются прямые,параллельные координатным осям. Координатные поверх­ности, проходящие через данную точку, представляют собойплоскости, параллельные координатным плоскостям.В цилиндрической системе координат положение произ­вольной точки М в пространстве характеризуется координа­тами х1 = г (расстояние данной точки от некоторой оси),угловой координатой х2 = 0 и координатой х3 = z (рис. 1.4).Из трех координатных линий, проходящих через произволь­ную точку М, только две являются прямыми линиями.

Так,координатная линия ММ2, проходящая через точку М парал­лельно оси z, соответствует изменению только координаты z.Прямая MMi, проходящая через точку М и ось z перпендику­лярно последней, соответствует изменению только координа­ты г. Третья координатная линия — окружность, лежащая вплоскости, проходящей через точку М перпендикулярно оси z,— соответствует изменению только одной угловой коорди­наты 0. Координатными по­верхностями в случае цилин­дрической системы координатявляются плоскость, проходя­щая через данную точку пер­пендикулярно оси z (неизмен­на только координата г),плоскость, проходящая черезданную точку и ось z (неиз­менна только угловая коорди­ната 0), и проходящая черезданную точку цилиндрическаяповерхность, осью которойявляется ось z (неизменна ко­ордината г).В сферической системе координат (рис.

1.5) положение произвольной точки М в пространстве характеризует­ся координатой х1 = г (расстояние данной точки от точ­ки 0, принятой за начало координат) и двумя угловыми ко­ординатами х2 = 0 и х3 — (р. Из трех координатных14линий, проходящих через про­извольную точку М, толькоодна является прямой — этопрямая ОМ, которая соответ­ствует изменению только од­ной координаты т. Две дру­гие координатные линии —окружности. Одна из них (сцентром в точке 0, принятойза начало координат) опреде­ляется пересечением плоско­сти, проходящей через точ­ку М и ось г, и сферическойРис. 1.5поверхности с центром в на­чале координат, проходящейчерез данную точку (изменяется только одна координата <р).Третья координатная линия (окружность С с центром в точке01) определяется пересечением этой же сферической поверх­ности с плоскостью, проходящей через данную точку перпен­дикулярно оси г.

Этой координатной линии соответствуетизменение только угловой координаты 0. Координатными по­верхностями для сферической системы координат являются:сферическая поверхность с центром в начале координат (не­изменна только координата г); плоскость, проходящая черезточку М и ось z (неизменна только координата 0); коническаяповерхность с осью, совпадающей с осью z, вершина которойнаходится в начале координат.

Координатная линия ОМ явля­ется образующей, а окружность С — направляющей (здесьнеизменной остается только одна координата у>).Эти три системы координат наиболее часто будем ис­пользовать при дальнейшем рассмотрении движений сплош­ных сред.Фундаментальное свойство математических объектов,применяемых в математическом аппарате механики сплош­ных сред, — их инвариантность (или независимость) относи­тельно выбора системы координат. Это утверждение можетбыть обосновано следующим образом:15— явления и процессы, происходящие в природе и техни­ке, объективны (например, течение воды в реке или воздуш­ных масс в атмосфере, взрыв заряда взрывчатого вещества ввоздухе, высокоскоростное соударение метеорита с земной по­верхностью объективны, т.е.

не зависят от человека, наблю­дающего или изучающего эти явления и процессы);— очевидно, что так же объективны и законы, по кото­рым развиваются те или иные явления.Система координат вводится исследователем для того,чтобы можно было количественно описать механическое дви­жение деформируемых сплошных сред, сопровождающее при­родные и технические процессы. Однако выбор системы коор­динат произволен.

Например, при исследовании высокоско­ростного метеоритного удара допустимо использование какдекартовой прямоугольной, так и цилиндрической или сфе­рической системы координат. Конкретная система координатвыбирается исследователем главным образом из соображенийудобства при математическом описании движения.Очевидно, что математические выражения объективныхзаконов, которым подчиняются явления и процессы, могут со­держать координаты, но не должны зависеть от субъективновыбираемой исследователем системы координат. Иными сло­вами, математические выражения законов должны быть ин­вариантными относительно выбора системы координат.

Сле­довательно, и математические объекты математического ап­парата механики сплошных сред, участвующие в записи этихзаконов, должны быть инвариантными относительно выборасистемы координат. Как принято говорить, математическиеобъекты в механике сплошных сред должны быть инвариант­ными относительно преобразования системы координат.Математические объекты, инвариантные относитель­но преобразования системы координат, называются тензо­рами. Примерами наиболее простых тензоров являются ска­лярные величины, определяемые одним своим числовым зна­чением: плотность р, температура Т, давление р, объем Vи др.

Совершенно очевидно, что значения давления, плотно­сти, температуры в данной точке земной поверхности не за­висят от того, в какой системе координат (декартовой прямо­угольной, цилиндрической или сферической) рассматривается16движение воздушных масс. Скалярные величины инвариант­ны относительно преобразования системы координат. Болеесложными математическими объектами являются векторныевеличины, определяемые своим числовым значением и напра­влением в пространстве.

Прежде чем обосновать инвариант­ность векторов относительно преобразования системы коорди­нат, рассмотрим необходимые в дальнейшем изложении основ­ные элементы векторного исчисления.1.2. Основные элементы векторного исчисления1.2.1. Элементы векторной алгебрыРассмотрим основные элементы векторной алгебры, опре­деляющей правила проведения операций с векторами, приме­нительно к декартовой прямоугольной системе координат.Условие равенства векторов: два вектора, обладающиеодинаковой размерностью, считаются равными, если они име­ют одинаковые модули и одинаковые направления.Сложение векторов осуществляется по правилу паралле­лограмма или треугольника (рис. 1.6).

Суммой двух векторовявляется вектор, начало которого совпадает с началом перво­го вектора, а конец — с концом второго вектора, причем конецпервого вектора и начало второго вектора совпадают.Вычитание векторов определяется как действие, обрат­ное сложению. Разность двух векторов есть вектор, сумма ко­торого с вычитаемым вектором равна уменьшаемому вектору(рис. 1.7).17Умножение вектора на скаляр определено следующимправилом: при умножении вектора на скаляр получается век­тор, коллинеарный (параллельный) данному и направленныйв ту же сторону, когда скаляр положителен, и в противопо­ложную, когда скаляр отрицателен (рис.

1.8). Модуль полу­ченного вектора равен произведению модуля данного вектораи модуля множителя.т<ОВсякий вектор может быть разложен по трем некомпла­нарным векторам (векторам, не лежащим в одной плоскостипри условии совмещения точек начала этих векторов) или на­правлениям. Так, в декартовой прямоугольной системе ко­ординат вектор а может быть представлен в виде суммытрех составляющих векторов ах, ау, aZb каждый из которыхколлинеарен соответствующей координатной оси (рис. 1.9).В свою очередь, каждый изтрех составляющих векто­ров может быть предста­влен в виде произведениянекоторой скалярной вели­чины и единичного век­тора, параллельного соот­ветствующей координатнойоси: а>х ==ау =az = azk.

Скалярные вели­чины ах, ау, az называютсяРис. 1.918проекциями вектора на координатные оси или компонентамивектора. Совокупность трех единичных взаимно ортогональ­ных векторов г, j, fe, направленных по осям координат, обра­зует ортонормированный базис декартовой прямоугольной си­стемы координат. Таким образом, всякий вектор может бытьпредставлен в виде суммы трех произведений его компонент ибазисных векторов: а = ахг + ayj + azk.Сумма квадратов компонент всякого вектора а в декарто­вой прямоугольной системе координат равна квадрату модуляэтого вектора: а2 + а2 + а2 = а2 (см.

рис. 1.9). Отношениекомпоненты к модулю вектора определяет косинус угла, соста­вляемого данным вектором с соответствующей осью коорди­нат, т.е. cos(a, х) = ах/ау cos(a, у) = ay/a, cos(a, z) =■ az/a.Тогда тождество, связывающее направляющие косинусы век­тора, имеет видcos2(a, ж) + cos2(a, у) + cos2(a, z) = 1.(1.1)Скалярное произведение двух векторов определяется какпроизведение модулей обоих векторов, умноженное на коси­нус угла между этими векторами: а Ь = abcosa (рис. 1.10).Если скалярно перемножаемыевекторы заданы своими компо­нентами, т.е.

а = axi + ayj + azkи Ь = bxi + byj + bzk, то с уче­том равенства нулю скалярныхпроизведений разноименных ба­зисных векторов (i’j = 0, i k = ОРис. 1.10и т.д.) и равенства единице ска­лярных произведений одноимен­ных базисных векторов (г i = 1, j • j = 1, kk = 1) скалярноепроизведение двух векторов определяется выражениемл‘Ъ—“h ^yby 4" azbz.(1.2)Векторное произведение двух векторов определяется каквектор, по модулю равный площади параллелограмма, по­строенного на двух данных векторах, и направленный пер­пендикулярно плоскости двух данных векторов, так, что с19цс=а*ЬаРис. 1.11льРис. 1.12его конца вращение первого вектора по кратчайшему путико второму вектору должно происходить против хода часо­вой стрелки (рис.

1.11). Векторное произведение может бытьвыражено через компоненты перемножаемых векторов: а —= axi + ayj + azk и Ь = bxi + byj + bzk. Так как единичныевекторы ортогонального базиса г, j, к связаны между собойсоотношениями ixj=k,jxi = -к, j х к = i и т.д. (см.рис. 1.9), векторное произведение двух векторов определяетсяследующим образом:(1-3)Векторно-скалярное {смешанное) произведение трехвекторов не является самостоятельной операцией векторнойалгебры. Однако ввиду его частого использования в тензор­ном исчислении отметим, что результатом смешанного про­изведения трех векторов а • (Ь х с) = ±V является скаляр­ная величина, численно равная объему V параллелепипеда,построенного на перемножаемых векторах (рис. 1.12). Дей­ствительно, результатом векторного перемножения векторовЬ и с является вектор d, направленный перпендикулярно осно­ванию этого параллелепипеда (параллелограмм, построенныйна векторах Ь и с на рис.

Характеристики

Список файлов книги