babkin_selivanov (550243), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Оче­видно, ЧТО П2 — —П1, поэтомуилиа • ni dS + / а • П2 dS = О,т.е. сумма поверхностных интегралов, взятых по внутреннимповерхностям, равна нулю.Ротор (вихрь) вектора. Это вторая основная вели­чина, характеризующая изменение векторной функции век­торного аргумента а(г) или векторной функции координатa(xi У у z) в окрестности точки векторного поля.

Определениеротора вектора связано с понятием линейного интеграла илициркуляции вектора по какому-либо контуру. Если в обла­сти пространства, в которой задано векторное поле а(я, у, z),задана некоторая кривая Z, ориентация которой в каждой ееточке характеризуется единичным вектором касательной Z, толинейным интегралом (или циркуляцией вектора по контуруL) называется интеграл от скалярного произведения векто­ра а и единичного вектора касательной I, взятый по длине37контура L, т.е./ а • Idl,где dl — длина бесконечно малого участка контура (рис.

1.26).Ротор вектора в данной точке векторного поля вводит­ся как вектор, проекция которого на направление, характе­ризуемое единичным вектором нормали п, равна пределу от­ношения циркуляции вектора по замкнутому контуру, огра­ничивающему площадку, перпендикулярную единичному век­тору нормали, к ограниченной замкнутым контуром площа­ди при стремлении последней к нулю. На рис. 1.27 показанапроизвольная точка Л7(х, у, z) векторного поля, через кото­рую проходит плоскость, ориентация которой в пространствехарактеризуется единичным вектором нормали п. Точку Мна плоскости охватывает замкнутый контур С, ограничива­ющий плоскую фигуру площадью S. Ориентация кривой С впроизвольной ее точке характеризуется единичным векторомкасательной Z. В соответствии с определением ротор вектораrot (а) есть вектор, проекция которого на направление еди­ничного вектора нормали п представляет собой следующийпредел:a *ldlrot (а) • n = lim —— ---- .38(1.16)Выражение для ротора вектора через его компоненты вдекартовой прямоугольной системе координат выводится с по­мощью соотношений векторного анализа на основании опреде­ления (1.16) и имеет формуили более удобный для запоминания видrot (а) —гд_дхdx3ддуdy*ддг&Z(1-18)Физический смысл ротора вектора проанализируем напримерах определения ротора вектора скорости v при враще­нии недеформируемого тела относительно неподвижной осии ротора вектора скорости течения жидкости.

Рассмотримнедеформируемое (абсолютно твердое) тело, вращающееся спостоянной угловой скоростью ш вокруг неподвижной оси z(рис. 1.28, а). Линейная скорость движения произвольной39точки тела определяется угловой скоростью вращения о? и рас­стоянием г до точки от оси вращения как v — шт. Векторскорости направлен перпендикулярно оси вращения в сторонувращения тела.

Определим вектор ротора скорости rot (v) внекоторой точке 0, находящейся на оси вращения. Выделимплощадку, проходящую через точку 0 и ортогональную осивращения z. Ориентация этой площадки в пространстве ха­рактеризуется единичным вектором нормали, совпадающим сбазисным вектором k. В качестве замкнутого контура, охва­тывающего выбранную точку 0, примем окружность с цен­тром в точке 0 радиусом R и длиной 2x2?, ограничивающуюкруг площадью irR?. В соответствии с определением роторавектора (1.16) проекция ротора скорости на ось z находитсяпо формуле• Idlrot (v) • k = [ rot (v)jz =- --- 7---vvS—0SС учетом того, что в любой точке выбранного замкнутого кон­тура вектор скорости v направлен по касательной к этомуконтуру, циркуляция вектора скорости по окружности опре­деляется какОтсюда следует, что проекция вектора ротора скорости наось zг/rot(v)k= lim —-5— = 2ш.irRzВыделим теперь прямоугольную площадку, проходящуючерез точку 0 перпендикулярно оси х так, что нормалью кэтой площадке является базисный вектор i (рис.

1.28, б'). Вкаждой точке выбранного замкнутого контура вектор ско­рости v ортогонален контуру ABCD, поэтому циркуляциявектора скорости по замкнутому контуру ABCD равна нулю.40Да основании определения (1.16) проекция вектора ротора наось х также будет равна нулю:vldl[ rot (v)l • i = [ rot (v)lx = limS->0S------- = 0.Аналогично проекция ротора скорости на ось у [rot (v)]^ = 0.Следовательно, вектор ротора направлен по оси вращения и сточностью до постоянного сомножителя равен угловой скоро­сти вращения тела и.

Ротор вектора скорости при вращенииабсолютно твердого тела относительно неподвижной оси пред­ставляет собой удвоенный вектор угловой скорости вращениятела: rot (v) = 2ола56Рис. 1.29Аналогичным образом может быть интерпретирован фи­зический смысл ротора вектора скорости течения жидкости(рис. 1.29). Рассуждения, подобные приведенным выше, могутбыть отнесены к бесконечно малой индивидуальной частицежидкости, находящейся в данный момент времени в некоторойточке М пространства (и включающей эту точку).

Роторскорости течения жидкости в данной точке М пространства,в котором задано векторное поле скорости v(ж, у, г), будетотличен от нуля, если найдется хотя бы одна площадка, накоторой циркуляция вектора скорости по охватывающему дан­ную точку замкнутому плоскому контуру будет отлична от410. Но это означает, что индивидуальная• Idlнуля:Счастица жидкости, находящаяся в точке М, участвует во вра­щательном, вихревом движении (рис. 1.29, а).

Равенство нулюциркуляции вектора по любому из замкнутых контуров, охва­тывающих точку Л/, означает, что индивидуальная частицалишь расширяется (рис. 1.29, б) или сжимается (рис. 1.29, в),но не вращается. Таким образом, ротор вектора скорости vтечения жидкости в данной точке поля характеризует модульи направление угловой скорости вращения бесконечно малогообъема жидкости: rot (v) = 2и.С понятием ротора векторной функции связана еще однатеорема векторного анализа — теорема Стокса, которая фор­мулируется следующим образом (рис. 1.30): циркуляция век­тора по замкнутому контуру равна потоку ротора векторачерез поверхность, ограниченную этим контуром, т.е.а • Idl = У rot (а) • nds,СSПростое эвристическое до­казательство этого утвер­ждения следует непосред­ственно из определения ро­тора вектора (1.16) и про­водится аналогично дока­зательству теоремы Остро­Рис.

1.30градского — Гаусса.Использование векторного дифференциальногооператора Гамильтона в дифференциальных операци­ях первого порядка. Операции определения градиента ска­лярной функции, дивергенции и ротора векторной функцииявляются дифференциальными операциями первого порядка,так как они связаны с вычислением частных производныхпервого порядка скалярных величин или компонент векторовпо координатам. Градиент, дивергенция и ротор вводятся всоответствии с их определениями (1.6), (1.7), (1.11) и (1.16), на42основании которых в декартовой прямоугольной системе коор­динат выводятся соответствующие выражения для этих вели­чин: (1.6), (1.13), (1.17), (1.18).

В практическом обращении сдифференциальными операциями первого порядка удобно ис­пользовать символический подход, который основан на при­менении векторного символического дифференциального опе­ратора Гамильтона.Оператор Гамильтона представляет собой символиче­ский вектор, компонентами которого являются частные произ­водные некоторых математических объектов по соответству­ющим координатам:(Ы9)С использованием векторного символического дифференци­ального оператора Гамильтона градиент скалярной функции9? — ^(х, у, z) определяется как результат воздействия этогооператора на скалярную функцию, т.е.Дивергенция векторной функции г(я, у, z) = vx(x, у, z)i ++vy(x, у, z)j + vz(x, у, z)k может быть найдена как результатскалярного умножения векторного символического оператораГамильтона на данный вектор, т.е.dvzdz ’Ротор векторной функции г(я, у, z) определяется как резуль­тат векторного умножения оператора Гамильтона на задан­ную векторную функцию:irot (v) = V xv =dxjддуVyкдdzVz431.3.

Основные элементы тензорного исчисления1.3.1. Характеристика системы координатВ соответствии с общим определением тензора (как ма­тематического объекта) основным его свойством в физиче­ском отношении является инвариантность относительно вы­бора или преобразования системы координат. Опираясь наэто ключевое положение, рассмотрим основные понятия, опре­деления и положения тензорного исчисления, правила прове­дения операций с тензорами в общем случае задания криволи­нейной системы координат.К числу характеристик произвольной криволинейной си­стемы координат в точке пространства относятся совокуп­ность трех векторов, образующих основной базис, совокуп­ность трех векторов, образующих взаимный базис, а такжеметрические матрицы основного и взаимного базисов.Основной базис системы координат. Произвольнаякриволинейная система координат (ж1, ж2, ж3) представляетсобой совокупность точки 0, принятой за начало координат,и координатных линий, проведенных через начало координат(рис.

1.31). Рассмотрим произвольную точку М, имеющую ко­ординаты х1, ж2, ж3. Через нее могут быть проведены три ко­ординатные линии (ж1), (ж2), (ж3) — геометрические места то­чек, соответствующие изменению только одной из трех коор­динат. Положение произвольной точки М относительно точкиО начала координат определяется радиус-вектором г, которыйобусловлен значением трех координат, т.е.

Характеристики

Список файлов книги