babkin_selivanov (550243), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

По аналогии с выражением векто­ра а через компоненты и базисные математические объекты(см. (1.45)) тензор второго ранга представляется как суммадевяти слагаемых, каждое из которых является произведениемнекоторого числа (компоненты тензора) и соответствующегодиадного произведения:(а) = а^ггг} = a^r^rj = alrlrj.(1-46)В соответствии с соотношением (1.46) можно дать полноеопределение тензора произвольного ранга: тензор есть мате­матический объект, инвариантный относительно преобра­зования системы координат, представляющий собой сум­му произведений некоторых чисел — компонент тензора— и базисных математических объектов] инвариантностьтензора обеспечивается взаимно обратным характером пре­образования компонент и базисных математических объек­тов при переходе от одной системы координат к другой.Рассмотрим возможные формы представления тензоравторого ранга (1.46).

Тензор второго ранга может задаватьсясвоими компонентами aZJ с использованием в качестве базис­ных математических объектов диадных произведений векто­ров взаимного базиса rlrJ. Чтобы при переходе от одной систе­мы координат к другой тензор (как математический объект)оставался неизменным, а именно(а) = ацг'г3 = (а,у)'(г*) (т3^ ,при условии, что векторы взаимного базиса преобразуются поконтрвариантному закону (1.43), т.е.(1-47)64компоненты a{j тензора должны преобразовываться по кова­риантному закону(1-48)(сравним с формулой (1.44) преобразования ковариантныхкомпонент вектора). Действительно, из формул (1.47) и (1.48)следует, чтоТак как символ Кронекера принимает значения6 ак1 при к = о,О при к а,окончательно получаем(av) (r‘) (rJ) = akirkrl - atJrlr}(а),что говорит об инвариантности тензора относительно пре­образования системы координат.

Компоненты аг] тензора,преобразуемые при переходе от одной системы координатк другой по ковариантному закону (1.48), носят названиековариантных компонент тензора второго ранга (формаль­ный признак — индексы внизу). Ковариантный закон (1.48)преобразования ковариантных компонент atj тензора второгоранга является обратным по отношению к контрвариантно­му закону преобразования базисных математических объек­тов (1.47), что и обеспечивает инвариантность тензора отно­сительно преобразования системы координат.3 - 971265Тензор второго ранга может задаваться и своими контр­вариантными компонентами аг] при использовании в каче­стве базисных математических объектов диадных произведе­ний векторов основного базисаКомпоненты а1] тензораносят название контрвариантных компонент тензора (фор­мальный признак — индексы вверху) в связи с тем, что дляобеспечения инвариантности математического объекта(а) = a^riTj = (а*}) (14) (г,)при условии преобразования векторов основного базиса поковариантному закону( Vдха/дх$они должны преобразовываться по обратному — контрва­риантному — законуakl ду' dyjдхк дх{Наконец, третья возможная форма представления тензоравторого ранга определяется заданием смешанных компонента* тензора при использовании в качестве базисных математи­ческих объектов диадных произведений векторов основного ивзаимного базисов г* ту:(а) = afr’ry = (а0 (г‘) (г,) .В этом случае при переходе от одной системы координат кдругой базисный вектор гг преобразуется по контрвариантно­му закону, а базисный вектор ту — по ковариантному закону:( Л'а дУг( Vдх/3Для обеспечения инвариантности математического объекта(а) относительно преобразования системы координат необхо­димо преобразование компонент aj по смешанному закону:( j\' _ I дхк ду](1.50)Ы ~ak~dtfdJ-661.3.4.

Ряд тензоровСформулируем понятие ранга тензора и построим рядтензоров (от простого тензора к сложному).Ранг тензора — это число, определяющее количествокомпонент тензора и равное количеству индексов у компонент.Число компонент тензора N связано с рангом тензора г какN = З г.Тензор нулевого ранга (г = 0) является простейшим тен­зором с числом компонент N = 1. Это скалярная величина,характеризуемая только одним числовым значением.Тензор первого ранга (г = 1) — более сложный тензор счислом компонент N = 3. Это вектор а = аггг (или а = аггг),характеризуемый тремя числами — компонентами aj, 02, <*з(или а1, а2, а3).

Число индексов у компонент аг соответствуетрангу тензора и равно единице.Тензор второго ранга (г = 2) имеет девять компонент(JV =. 9). Он может быть представлен либо через свои ко­вариантные компоненты atj, либо через свои контрвариант­ные компоненты а%3, либо через свои смешанные компонентыal (см. (1.46)). Каждому тензору второго ранга можно по­ставить в соответствие матрицы размером 3.x 3. Совокуп­ность ковариантных, контрвариантных и смешанных компо­нент образует соответствующие матрицы:<*12<*22<*32<*13<*23 II;<*33 J J67Тензор третьего ранга (г = 3) имеет число компонентN = 27. Число индексов у компонент а^^ соответствует ран­гу тензора.

Тензор третьего ранга может быть выражен черезсвои ковариантные компоненты а^^, контрвариантные компо­ненты аг^к, смешанные компоненты различного вида ак^ a?kи т.д. В качестве базисных математических объектов в дан­ном случае выступают триадные произведения базисных век­торовтгг]тк и т.д., представляющие собой результатнеопределенного умножения трех векторов основного и взаим­ного базисов. Тензор третьего ранга имеет следующую струк­турную запись:(а) = а^кггг}гк = аг}кг{г,гк = ак^т^тк = ...В механике сплошных сред наиболее часто употребляют­ся тензоры нулевого ранга (скаляры), тензоры первого ран­га (векторы) и тензоры второго ранга. Примером тензоравторого ранга является фундаментальный метрический тен­зор, компоненты которого — метрические коэффициентысистемы координат:($) = 9ijr'r3 = 9t}rtrj = g^r'rj.При этом метрические коэффициенты gij основного базиса си­стемы координат являются ковариантными компонентами ме­трического тензора, метрические коэффициенты дг} взаимногобазиса представляют его контрвариантные компоненты, ме­трические коэффициенты смешанного типа gj соответству­ют смешанным компонентам тензора (д\ Покажем, напри­мер, что совокупность девяти метрических коэффициентов gijосновного базиса дает ковариантные компоненты тензора вто­рого ранга.

Ранее было доказано, что векторы основного ба­зиса при переходе от одной системы координат к другой пре­образуются по ковариантному закону (1.40):68Соответственно метрические коэффициенты основного базиса,определяемые как скалярные произведения векторов основногобазиса, преобразуются по законудхкдх1дхк дх1Тк ~ду* Т1ду>~ 9kl ~ду* дуйСопоставление полученной формулы с формулой (1.48) пока­зывает, что метрические коэффициенты д^ основного базисапри переходе от одной системы координат к другой преобразу­ются по закону преобразования ковариантных компонент тен­зора второго ранга. Следовательно, совокупность девяти ме­трических коэффициентов дг] действительно определяет кова­риантные компоненты некоторого тензора второго ранга —фундаментального метрического тензора.В общем случае тензор второго ранга (а) = а^ггг} харак­теризуется девятью различными компонентами аг} (или аг} уили aj).

В двух важных частных случаях количество различ­ных компонент, которыми определяется тензор второго ранга,менее девяти, так как некоторые компоненты взаимосвязанымежду собой. Это случаи симметричных и антисимметрич ­ных тензоров.Симметричным называется тензор, значения компо­нент которого не изменяются при перестановке одноимен­ных индексов: a{j = а]г. Под одноименными следует пониматьлибо только нижние индексы, либо только верхние. В послед­нем случае условие симметричности тензора записывается ввиде аг} = aJl.

Очевидно, что симметричному тензору второ­го ранга соответствует симметричная относительно главнойдиагонали матрица)) , среди элементов которой не бо­лее шести различных компонент:<*12<*22<*23«13 '«23<*33 >>Примером симметричного тензора второго ранга являетсяфундаментальный метрический тензор, для которого выпол­няется условие симметричности g4 = gji.69Антисимметричным называется тензор, значения ком­понент которого изменяются на противоположные при пе­рестановке одноименных индексов: аг] = —ац или= —а3'.Компоненты антисимметричного тензора с одинаковыми ин­дексами равны нулю, а элементы соответствующей тензо­ру матрицы, симметричные относительно главной диагонали,различаются знаками:«12«13«12О“«23?|)Антисимметричный тензор второго ранга в общем случае ха­рактеризуется только тремя отличными от нуля числами: ai2>«13, «23- Поэтому он иногда называется псевдовектором, по­скольку вектор также характеризуется только тремя компо­нентами.1.3.5. Элементы тензорной алгебрыТензорная алгебра является разделом тензорного исчисле­ния, в котором определяются правила проведения алгебраиче­ских операций с тензорами: сложение и вычитание тензоров;умножение тензора на скаляр; операции жонглирования ин­дексами; свертывание тензора; скалярное и векторное умно­жение тензоров.Сложение и вычитание тензоров.

Операция сложе­ния тензоров выполняется при следующих ограничениях: ран­ги суммируемых тензоров должны быть равными; структу­ра суммируемых тензоров должна быть одинаковой. Суммойдвух тензоров(а) = а^т'т3 = al3TiTj = a\rlTjи(Ь) = bijrlr} = b^riVj = birlrj70является тензор того же ранга и той же структуры(с) = (а) + (6) = ctjrlr3 = c^rirj = cir'rj,компоненты которого равны сумме соответствующих компонент исходных тензоров (или только ковариантных, или толь­ко контрвариантных, или только смешанных):с,; = at} + bij,с'3 = а*7 + b*3,с3 = a3 + bj.Суммирование компонент разных типов, например аг} + Ьи, недопускается.Вычитание тензоров определяется как действие, обрат­ное сложению, и выполняется при аналогичных ограниче­ниях. Разностью двух тензоров (а) и (Ь) является тензор(с) = (а) - (Ь) того же ранга и той же структуры, компо­ненты которого равны разности соответствующих компоненттензора уменьшаемого и тензора вычитаемого:с,у = а,у - Ь,,,c'3 = a'3-b'3,cj^aj-bj.Умножение тензора на скаляр.

Эта операция выпол­няется без каких-либо ограничений. Результатом умноженияпроизвольного тензора(a) = aijr'r3 - alJriVj = atr'rjна скалярную величину а является тензор (с) = a(a) тогоже ранга и той же структуры, что и исходный тензор (а),компоненты которого равны произведению данной скалярнойвеличины и компонент исходного тензора:Cij - aaij,сгз = аа13,с? = аа\.Операции жонглирования индексами. Эти опера­ции позволяют осуществить переход от одного типа компо­нент тензора (например, от контрвариантных) к компонентамдругого типа (например, к ковариантным). Необходимость71этих операций покажем на следующем примере.

Характеристики

Список файлов книги