babkin_selivanov (550243), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Сформулируйте основные гипотезы механики сплошныхсред.9. Что понимается под геометрическим пространством?10. Чем определяется мерность пространства?11. Какие геометрические пространства называют евклидовыми?12. Чем принципиально отличаются двумерные геометрические пространства совокупностей точек, образующих плоскость и сферическую поверхность?13. Почему при решении прикладных задач механики сплошных сред время можно считать абсолютным и не зависящим от выбора системы отсчета?14. В чем преимущество феноменологического подхода к изучению движения деформируемых сред по сравнению со статистическим при решении технических задач?15. Сформулируйте понятия системы координат, координатных линий и координатных поверхностей.9216.
Постройте три координатные линии через произвольнуюточку пространства в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.17. Постройте три координатные поверхности через произвольную точку пространства в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.18. Как показать, что цилиндрическая и сферическая системыкоординат являются криволинейными?19. Почему математические объекты математического аппарата механики сплошных сред должны быть инвариантными относительно преобразования системы координат? Какследует понимать это требование?20.
Каково основное свойство тензоров в физическом отношении?21. Сформулируйте основную идею, используемую при введении в рассмотрение тензоров.22. Определите понятия вектора, его составляющих, компонент, направляющих косинусов.23. Сформулируйте основные правила проведения алгебраических операций с векторами: сложения, вычитания, умножения вектора на скаляр, скалярного и векторного умножениявекторов.24. В чем заключается геометрический смысл векторного произведения векторов?25. В чем заключается геометрический смысл смешанноговекторно-скалярного произведения трех векторов?26.
Приведите выражения скалярного и векторного произведений двух векторов, а также скалярно-векторного произведения трех векторов через их компоненты в декартовойпрямоугольной системе координат.27. Докажите взаимную перпендикулярность векторов а == 2i — 4j + 5fe и Ь = 4г — 3j — 4fc.28. Определите площадь параллелограмма, построенного наотложенных от одной точки векторах а = 2г — 4j + 5fe иЬ — 4г - 3j - 4fe.9329. Определите объем параллелепипеда, построенного на отложенных от одной точки векторах а = 1г + 2j + 3fe,Ь = —2г + 3j + fe, с = 2г - 5j + 2к.30.
Сформулируйте понятия векторной функции скалярногоаргумента, скалярной и векторной функций векторного аргумента.31. Определите понятие поля, приведите примеры скалярныхи векторных полей.32. В связи с чем в механике сплошных сред приходится иметьдело с полями физических величин?33. Каким образом графически представляются скалярные ивекторные поля?34. Как будут выглядеть векторные линии скорости движениячастиц абсолютно твердого тела при вращении его вокругзакрепленной оси?35. Как будут выглядеть в пространстве поверхности уровнядля поля температуры с равномерным распределением Т == Т(х, уь z} = const?36.
Задано поле температуры Т =у, z) = 2х + Зу — 5z.Что будут представлять собой поверхности уровня? Каково значение температуры на изотермической поверхности,проходящей через начало координат?37. Каков физический, геометрический и аналитическийсмысл градиента скалярной функции векторного аргумента?38. Задано поле скалярной величины р = р(х, у, z) — 2ху + z.Для точки пространства с координатами х = 1, у = 2,z = 3 определите значение производной по направлениюединичного вектора s = г/\/2 + Ц\/2.39.
Задано скалярное поле температуры Т = Т(х, у, z) =— ху — 5z. В точке пространства (ж = 2, у = 3, z = 0)определите максимально и минимально возможные значения производной по направлению.9440. В точке пространства с координатами х = у = z = 0заданы значение давления р = 1 и градиент давленияgradp = 1г + 3j + 4fe. Определите приближенно значение давления в точке, расположенной в малой окрестностиданной точки и имеющей координаты х = 0,01, у = 0,02,z = -0,01.41.
Определите понятия потока вектора через поверхность,циркуляции вектора по какому-либо контуру.42. Дайте определения дивергенции и ротора вектора. Приведите выражения для дивергенции и ротора через компоненты вектора в декартовой прямоугольной системе координат.43. Каков физический смысл дивергенции вектора скороститечения жидкости (в случае отсутствия источников массы в потоке)?44. Каков физический смысл ротора вектора скорости движения частиц среды (на примерах вращения абсолютно твердого тела вокруг закрепленной оси и движения деформируемой среды)?45. Чему равны дивергенция и ротор вектора скорости движения частиц абсолютно твердого тела при вращении еговокруг закрепленной оси с угловой скоростью и?46. Определите поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда Е = д/(47Г££ог2)> находящегосяв центре сферической поверхности радиусом Л, через этуповерхность.
Чему будет равна циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру,лежащему на этой сферической поверхности?47. Для некоторого момента времени задано векторное поле скорости течения жидкости v = vxi + vyj + vzk == Ъхуг — 5yj + xzk. Что можно сказать о характере движения частицы среды, находящейся в точке пространствас координатами х = 1, у = 2, z — 3?9548.
С использованием векторного символического дифференциального оператора Гамильтона определите в декартовойпрямоугольной системе координат rot (gradиdiv(grad^), где <р — скалярная функция координат.49. Сформулируйте теоремы Остроградского — Гаусса иСтокса с использованием понятий векторного анализа идайте их эвристическое обоснование.50. Дайте определения основного и взаимного базисов в точкепространства в случае произвольной системы координат.51. Получите выражения для векторов взаимного базиса черезвекторы основного базиса.52.
Дайте определения метрики пространства и метрическихкоэффициентов основного базиса, истолковав их геометрический смысл.53. Сформулируйте правило суммирования Эйнштейна. Поясните различие между индексами суммирования и свободным индексом на примере выражения aZJbJ.54. Сколько различных соотношений содержит выражение9ij = Ti ’ rj^55. Приведите развернутую запись выражения А = а^хгх3.56. Как определяются метрические коэффициенты основного ивзаимного базисов, а также смешанного типа? Каковы особенности соответствующих метрических матриц в общемслучае и для ортогональных систем координат?57.
Покажите, что в декартовой прямоугольной системе координат основной и взаимный базисы совпадают, не зависят от координат и образуют ортонормированный базис.58. Определите для цилиндрической системы координат впроизвольной точке пространства векторы основного и взаимного базисов и соответствующие метрические коэффициенты?59. Различаются ли матрицы, составленные из метрическихкоэффициентов смешанного типа, в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат?9660.
Докажите инвариантность вектора dr = dxlrt, которыйможно рассматривать как дифференциал радиус-вектораг, относительно преобразования системы координат, получив контрвариантный закон преобразования координат хги ковариантный закон преобразования векторов основногобазиса тг.61. Какие формы представления произвольного вектора Вамизвестны? Каким образом обеспечивается инвариантностьвектора относительно преобразования системы координат,несмотря на изменения при этом преобразовании и его компонент, и базисных векторов?62.
Что является базисным математическим объектом приобразовании тензора второго ранга?63. Что понимается под диадным произведением двух векторов? Каковы основные свойства, проявляемые диаднымипроизведениями?64. В каком из следующих случаев результат алгебраическихопераций может отличаться от нуля: ах(аЬ-с); ах(с-аЬ);(аЬ х Ь); а х (ab х с)?65. Сформулируйте общее определение тензора как математического объекта, инвариантного относительно преобразования системы координат.66. Какие формы представления тензора второго ранга Вамизвестны? Каким образом обеспечивается инвариантностьтензора второго ранга относительно преобразования системы координат, несмотря на изменение при этом преобразовании и его компонент, и базисных векторов?67.
Что такое ранг тензора? Сколько компонент имеет тензорчетвертого ранга и какова его структурная запись?68. Каким образом доказывается, что метрические коэффициенты основного и взаимного базисов, а также смешанноготипа являются соответственно ковариантными, контрвариантными и смешанными компонентами тензора второгоранга — фундаментального метрического тензора даннойсистемы координат?4 - 97129769.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
