babkin_selivanov (550243), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

На рис. 2.5 для момента времени t = t$ показанытри взаимно перпендикулярные координатные оси f1, £2, £3,проходящие через точку отсчета 01, а также три взаимно пер­пендикулярные координатные линии (^), (£2), (£3), проходя­щие через индивидуальную точку М. В общем случае такойвыбор сопутствующей системы координат не обязателен, ноудобен для дальнейшего выяснения геометрического смыслакомпонент тензора деформаций.

К текущему моменту време­ни индивидуальная точка М совершает перемещение и и за­нимает положение М1, определяемое радиус-вектором г. Ин­дивидуальная точка Afi также совершает перемещение, ее но­вое положениеотносительно нового положения М1 даннойточки М будет характеризоваться вектором dr, который мож­но рассматривать как дифференциал радиус-вектора г. Рас­стояние между выбранными индивидуальными точками по­сле деформирования будет определяться модулем вектора dr:(dZ*)2 = dr • dr.115Радиус-векторы Лиг, характеризующие начальное и те­кущее положения индивидуальной точки М относительно си­стемы отсчета наблюдателя, зависят от того, положение ка­кой именно точки материального континуума они определя­ют, а следовательно, являются функциями лагранжевых ко­ординат: R = /£(£*, £2, £3), г = г^1, £2, £3). Это делаетвозможным представление dR и dr в виде разложения по век­торам основного базиса сопутствующей системы координат спомощью их компонент, в качестве которых выступают беско­нечно малые приращения (дифференциалы) лагранжевых ко­ординат £г, соответствующие переходу от данной точки М кбесконечно близкой точке М\.

Действительно, в соответствиис правилами дифференцирования функций нескольких пере­менных и определением векторов основного базиса имеемdR =е2, е3) =8Rde = Rt de-,4г = аг(ел\^ = ^е = т^е,где Ri и тг — соответственно векторы основного базиса сопут­ствующей системы координат в исходном (недеформирован­ном) и текущем (деформированном) состояниях, определенныев индивидуальной точке Мна рис. 2.5.

При этом квадратрасстояния между индивидуальными точками М и М\ до де­формирования(d/)2 = dR dR = (я,- df ) • (Rj d£j) == RiRjdede = gijdede,где g{j = R{ • Rj — определенные в данной точке М метриче­ские коэффициенты основного базиса сопутствующей системыкоординат в исходном состоянии. По аналогии квадрат рас­стояния между теми же самыми индивидуальными точками[М1 ипосле деформирования(<г)2 = dr dr = (ri116• (г, de) = rt-rj de de = д*ц de de,где g*j = ri - rj — определенные в той же самой индиви­дуальной точке метрические коэффициенты деформированнойсопутствующей системы координат.

Изменение расстояниямежду данной точкой и точкой, находящейся в бесконечно ма­лой ее окрестности, описывается выражениемИ+)2 - (dl)2 = (g'j - gij) de de,из которого следует, что в качестве меры изменения расстоя­ний между данной индивидуальной точкой и точками, взяты­ми в ее окрестности, может быть принята разность (</?. — gij)метрических коэффициентов, определенных в данной индиви­дуальной точке после деформирования и до деформированиясопутствующей системы координат.На основе изложенного выше ковариантные компонентытензора второго ранга (тензора деформаций)£ij = 0,5 (g-j -gtj).(2.4)Они образуют во взаимодействии с базисными математиче­скими объектами тензор деформаций=(2.5)В качестве базисных математических объектов при образо­вании тензора деформаций наиболее удобно принять диадныепроизведения базисных векторов RlR] недеформированной со­путствующей системы координат.Получим явное выражение введенных формальным обра­зом компонент тензора деформаций (2.4) через модули базис­ных векторов и углы между ними (углы между координатны­ми линиями сопутствующей системы координат в данной ин­дивидуальной точке) в соответствии с рис.

2.6. Метрическиекоэффициенты основного базиса сопутствующей системы ко­ординат выражаются через указанные величины с помощьюсоотношений9ij — Ri ‘ Rj = \Ri\ \Rj \ cos V’i/,6)9ij = • rj = |rt-| |ry| cosV’ij,где— углы между базисными векторами сопутствующейсистемы координат в исходном состоянии; Vfy’ — углы между117базисными векторами деформированной сопутствующей си­стемы координат.

Так как ранее в качестве сопутствующейсистемы координат принята декартова прямоугольная систе­ма координат, то в начальный момент времени t = t$ началь­ные углы между векторами основного базиса будут равныч 7г/2 при i 0 j,О при г = j-Относительно значений углов между базисными векторамипосле деформирования можно определенно утверждать лишьто, что хрг} = 0 при i = j (угол, который составляет любойбазисный вектор с самим собой, равен нулю). Значения угловпри г j могут быть произвольными вследствие искривле­ния координатных линий сопутствующей системы координат,которые, как отмечалось в разделе 2.1, являются как бы “вмо­роженными” в среду и деформируются вместе с ней.Сопоставим модули одноименных базисных векторов вданной индивидуальной точке М после деформирования и додеформирования, определив их отношение|rt||dr/d£,Mi _ ldrM|к,|\dRidt?\\w\|аД|^|dSjdSoi118dSoi+ 1 — Ц + 1.(2-7)В процессе преобразования выражений (2.7) числитель и зна­менатель исходного соотношения были домножены на диф­ференциал d£l соответствующей г-й лагранжевой координа­ты(суммирование по г в выражениях (2.7) не производит­ся).

Произведение частной производной dR[d£' (или дт/д£г)радиус-вектора R (или г) по координате £г и дифференциа­ла d£l этой же координаты определяет приращение вектора(или dr\d£i), соответствующее приращению только г-йкоординаты на величину d£l. Задать приращение d£l какойлибо координаты в исходном или в деформированном состо­янии физически означает перейти от данной индивидуальнойточки М (или Л/') к бесконечно близкой индивидуальной точ­ке, находящейся на г-й координатной линии сопутствующейсистемы координат (на рис. 2.6 для определенности изобра­жен случай, когда г = 1). Поэтому модуль| определяетдлину dSoi элемента дуги г-й координатной линии, проходя­щего через определенные индивидуальные точки материаль­ного континуума до деформирования, а модульравендлине dSi элемента дуги координатной линии, проходящегочерез те же самые индивидуальные точки, но после дефор­мирования.

По существу, величины dSoi и dSi представляютсобой длины материальных отрезков (материальных волокон),направленных вдоль координатных линий сопутствующей си­стемы координат, до деформирования и после него. Отноше­ние изменения длины материального отрезка к его начальнойдлине= (dSi — dSoi)/dSoi определяет коэффициент отно­сительного удлинения в данной индивидуальной точке вдольг-й координатной линии сопутствующей системы координат.Таким образом, модули векторов основного базиса сопутству­ющей системы координат до и после деформирования взаимо­связаны с помощью коэффициентов относительных удлиненийвдоль соответствующих координатных линий:|rt| = IJ^I (Z,; + 1).(2.8)Из соотношений (2.4), (2.6)—(2.8) следует явное выра­жение компонент тензора деформаций через коэффициенты119относительных удлинений, модули базисных векторов и углымежду ними:2бу = [(1 + /,) (1 + lj) cos- cos V’J-] l-R,11Rj|.Эти соотношения позволяют установить геометрическийсмысл компонент тензора деформаций с одинаковыми индек­сами ец.

Действительно, в случае i = j получаем 2ец == [(1 + /г)2 —где дц = 1 — метрические коэффициентыосновного базиса недеформированной сопутствующей системыкоординат. Компоненты тензора деформаций с одинаковымииндексами в таком случае оказываются связанными с коэф­фициентами относительных удлинений: Ц = (1 + 2егг)1/2 — 1.При малых деформациях (е1г мало) взаимосвязь /г и ец име­ет следующий вид: Ц — 1 + 0,5 • 2ец + о^ец) - 1 = ец, гдео(ец) — величины более высокого порядка малости, чем ец.Следовательно, компоненты тензора деформаций с одинако­выми индексами для случая малых деформаций совпадаютс коэффициентами относительных удлинений материальныхотрезков, ориентированных вдоль координатных линий со­путствующей системы координат.Геометрический смысл компонент тензора деформацийс различными индексами (г 7^ j) следует из выражений (2.4) и(2.6).

При г 7^ j ф^ = 7Г/2 и gij = 0. В этом случае2£у = gtj = Гг • г, = |rj |ryI COS^ij,где углы фу между координатными линиями деформирован­ной сопутствующей системы координат отличаются от на­чальных углов ф^ = 7г/2 на некоторую величинуфу == ^ij - Xij = я/2 - Xij- Здесь Xij — изменение углов меж­ду первоначально ортогональными координатными линиямисопутствующей системы координат вследствие деформирова­ния. В рассматриваемом случае при i j2егу = HI \rj\== y/ri ■ Т1 ■ FTF cos(7r/2 - Xij~) = y/gti Jgfj sinXij,120откуда следует, что компоненты тензора деформаций с раз­личными индексами связаны с изменением угловмеж­ду первоначально ортогональными координатными линиямисопутствующей системы координат. При малых деформа­циях изменения углов малы и siny^- « Хгу, а метрическиекоэффициенты с одинаковыми индексами д*г сопутствующейсистемы координат после деформирования мало отличают­ся от одноименных коэффициентов дгг в исходном состоянии:9ii ~ да = 1, 9jj ~ 9jj = 1- Поэтому в случае малых де­формаций 2бгу « хгу, т.е.

компоненты тензора деформаций сразличными индексами для случая малых деформаций опреде­ляют изменения углов между первоначально ортогональны­ми координатными линиями сопутствующей системы коор­динат.Компоненты тензора деформаций с различными индекса­ми e£j называются также сдвиговыми деформациями, так какони, по существу, характеризуют относительный сдвиг сло­ев среды в окрестности данной индивидуальной точки. Этовидно, например, на рис. 2.7,где показана индивидуаль­ная частица материально­го континуума, имевшая додеформирования форму эле­ментарного прямоугольногопараллелепипеда и приоб­ретшая в результате дефор­мирования форму непрямо­угольного параллелепипеда.Изменение угла между ко­ординатными линиями (£2)и (£3) на величину Х23 де^'ствительно соответствуетсдвигу слоя индивидуальных точек на верхней грани элемен­тарного параллелепипеда относительно нижнего слоя.Выражения (2.4), определяющие компоненты тензора де­формаций как полуразности метрических коэффициентов д*}121и gij сопутствующей системы координат, не удобны в практи­ческом использовании.

Чтобы вычислить компоненты тензо­ра деформаций в произвольной индивидуальной точке сплош­ной среды, необходимо знать закон движения материальногоконтинуума г = г^1, £2, £3, /). Однако при решении задачмеханики сплошных сред часто определяется не закон движе­ния, а поле перемещений сплошной среды и = u(^, £2, £3, /).В связи с этим более удобным является выражение компо­нент тензора деформаций через компоненты вектора переме­щения и. Соотношения, выражающие компоненты тензорадеформаций через компоненты вектора перемещения, назы­ваются геометрическими соотношениями.

Их получают извыражений (2.4) с учетом определения метрических коэффи­циентов основного базиса сопутствующей системы координат(<7гу = ri ’ rjb 9ij = Ri -Rj) и очевидной взаимосвязи радиусвекторов, характеризующих начальное и текущее положенияиндивидуальных точек материального континуума, и вектораперемещения (г = R + и):Полагая вектор перемещения заданным своими ковариантны­ми компонентами в разложении по векторам взаимного базисасопутствующей системы координат в исходном недеформированном состоянии (u = ukRk — uiR1) и учитывая правиладифференцирования тензоров первого ранга по координатам(^ди/д£г = d(ukRk^ !df? — (V±ик) Rk^, получаем2б1,j = ^Ri + (Vi'Ufc) Rk] • ^Rj + (Vjuf) R^ — R{ • Rj ==Rk • Rj + (Vyuz) Rt Rl + (yiUk)Rk • Rl,где X\uk — абсолютная (ковариантная) производная ковари­антных компонент вектора перемещения по г-й лагранжевой122координате £г.

Характеристики

Список файлов книги