babkin_selivanov (550243), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2.10). Из множества направлений, которые могут бытьвыбраны в данной точке, главными направлениями (главными осями деформации) называются направления, в которыхматериальные отрезки в результате деформирования испытывают только изменение длины. Сдвиги в главных осях деформации отсутствуют (рис. 2.11), т.е. индивидуальная точка Mi, находящаяся в окрестности точки М на главной оси134деформации, в результате деформирования получает перемещение вдоль этого направления:du^ — XdR,(2.20)где dR = ndR — вектор, определяющий главное направление; п — единичный вектор главного направления; А — некоторая скалярная величина.
Величина А есть отношение изменения длины |<Й1Д | элементарного материального отрезка,направленного вдоль главной оси деформации, к его начальной длине \dR\ = dR, т.е. она является коэффициентом относительного удлинения материального отрезка вдоль рассматриваемого главного направления и соответствующей этомуглавному направлению главной деформацией.При известном деформированном состоянии главные осидеформации и соответствующие им главные деформации определяются из условий (2.17) и (2.20) как du% = (е) dR = XdR,что приводит к тензорному уравнению (б) • п - Хп — 0. Результатом скалярного умножения тензора деформаций (б) =на вектор п = n^R^ искомого главного направления является вектор (б) • п = ег]п}R1.
При скалярном умножении А на тот же вектор n = n^R1 = п3g^R1 получаетсявектор Xn3gijRl. В результате исходное тензорное уравнениеприводится к условию равенства нулю вектора:~ Xg,j)njRl = 0,135что возможно только при условии равенства нулю всех трехего компонент:(бгу — Xgij) nJ = О,где g{j — метрические коэффициенты сопутствующей системы координат в исходном (недеформированном) состоянии.Так как ранее в качестве сопутствующей системы координатпринята декартова прямоугольная система координат (^ = 1при i = j и gij = 0 при г / j), то в развернутой записи система уравнений для определения главных направлений п (иликомпонент п1, п2, п3, определяющих вектор п) и соответствующих главных деформаций А принимает вид(еп- А) п1 4- Е12«2 + E13”3 = 0;£12^Х + (£22 - А)п2 +е2з«3= 0;(2.21)S13H1 + £23”2 + (Езз - А) п3 = 0.Система трех уравнений (2.21) включает четыре неизвестныевеличины: п1, п2, п3 и А, поэтому необходимо ввести еще одноуравнение — условие единичности направляющего вектора п:(n1) + (n2) + (n3) = 1.(2.22)Из (2.22) следует, что величины п1, п2, п3 не могут одновременно принимать нулевые значения, поэтому система (2.21)трех линейных относительно п1, п2, п3 однородных уравнений имеет ненулевое решение.
Из теории систем линейныхуравнений известно, что это может быть лишь в случае равенства нулю определителя этой системы, т.е. когда£11 - А£12£13£12£22 “ А£23£13£23£33 - А=0Раскрытие определителя приводит к кубическому относительно А уравнению, носящему название характеристического(или векового) уравнения. Решение уравнения (2.23) дает тридействительных корня А = Aj = £i, А = А2 = £2 и А = A3 = £3,соответствующих трем главным деформациям для трех покане определенных главных направлений ni, П2 и П3.136Главные направления для каждой из трех главныхдеформаций определяются на основе системы уравнений(2.21), (2.22).
Действительно, система (2.21) справедлива прииспользовании в качестве А любой из уже известных главныхдеформаций. В то же время любая из главных деформацийобращает в нуль определитель, составленный из коэффициентов этой системы уравнений, что говорит о пропорциональности строк определителя (2.23), т.е. одно из трех уравнений (2.21) является следствием двух других. Это уравнениеможет быть исключено из рассмотрения, а оставшиеся двав сочетании с уравнением (2.22) могут рассматриваться каксистема трех уравнений относительно трех неизвестных величин п1, п2, п3, определяющих искомое главное направлениедля данной главной деформации (или £i, или £2> или £з)Итак, при заданном деформированном состоянии (б) —= tijR'R3 в индивидуальной точке сплошной среды могутбыть установлены три главных направления ni, П2, пз и соответствующие им главные деформации £j, £2? £3- Можнопоказать, что все три главных направления взаимно перпендикулярны= 1 при i = к и• Пк = 0 при i ф к).Следовательно, с главными осями деформации можно связатьдекартову прямоугольную систему координат (т/1, т/2, т/3), укоторой единичные взаимно ортогональные базисные векторы/Ц, Я2, /Ц совпадают с единичными векторами nj, П2, пз,определяющими соответствующие главные направления.
Нарис. 2.12 в точке М материального континуума показаны координатные линии (f1), (£2),(£3) недеформированной сопутствующей системы координат(взятой как декартова), в которой задающий деформированное состояние тензор деформаций (е) = tijRlRJ имеет вобщем случае девять отличныхот нуля компонент eij (отрезкиуказанных координатных ли137ний в процессе деформирования изменяют свою длину, углымежду ними также изменяют свои значения).
На этом же рисунке показаны оси т/1, т/2, zy3, совпадающие с главными осямидеформации. Элементарные материальные отрезки, направленные по главным осям до деформирования, не изменяютнаправления и после деформирования, но изменяют свою длину, что характеризуется соответствующими коэффициентамиотносительных удлинений — главными деформациямиб2>£3. Учитывая геометрический смысл компонент тензора деформаций, можно утверждать, что в декартовой прямоугольной системе координат (771, т;2, т;3), связанной с главными осями деформации, тензор деформаций имеет лишь три отличныеот нуля компоненты с одинаковыми индексами, равные главным деформациям (£ц = 6}, £22 = £2, £зз = £3), и приобретаетпростой вид:(£) =++ e3R*R*.(2.24)Эти главные деформации называются также главными значениями тензора деформаций.Геометрическим образом тензора деформаций (б) является поверхность второго порядка — поверхность деформацииКоши, которая вводится следующим образом. Для индивидуальной точки М сплошной среды будем считать заданнымтензор деформаций (б) = £цТгг3 в произвольной системе координат (рис.
2.13). Выберем в области пространства, окружающей данную точку, произвольную точку М\. Ее положениеотносительно точки М характеризуется радиус-векторомт =где хк — компоненты радиус-вектора г (длядекартовой прямоугольной системы координат они совпадают с координатами точки М\относительно точки М).Рис. 2.13138Определим двойное скалярное произведение тензора деформаций и радиус-вектора г, используя правила тензорнойалгебры:((e)-г)Г= (fSijr'r3) • (xkrk^ ■(xlrl'j = EijXlX}.В результате получена скалярная величина, значение которойзависит, во-первых, от деформированного состояния в даннойточке (компоненты £ty), во-вторых, от выбранной точки Mi(компоненты хг радиус-вектора г). Тогда уравнениеtijxlx3 = const(2.25)определит некоторое геометрическое место точек, окружающих данную точку, и для них выполняется условие(е) .
г • г — const.(2.26)Это геометрическое место точек и определяет поверхность деформации Коши.Геометрический смысл поверхности деформации Кошиследует из условия (2.26). Радиус-вектор, направленный изданной точки М к точке Mi поверхности деформации, можетбыть представлен как г = пг, где п — единичный вектор,характеризующий направление от данной точки к точке поверхности деформации. В этом случае уравнение (2.26), описывающее поверхность деформации, представляется в форме(е)-п-п г2 = const и в соответствии с (2.19) приводится к видуln — const /г2, где 1п — коэффициент относительного удлинения бесконечно малого элементарного материального отрезка,взятого в данной точке, по направлению к точке поверхностидеформации.
Следовательно, поверхность деформации — этогеометрическое место точек, окружающих данную точку,таких, что значение коэффициента относительного удлинения по направлению от данной точки к любой точке поверхности деформации обратно пропорционально квадрату139расстояния между этими точками. По виду поверхности деформации Коши можно судить о характере деформированного состояния в данной точке сплошной среды. Например, понаправлению к наиболее удаленным точкам поверхности деформации относительное удлинение материальных отрезковминимально и т.д.Как следует из уравнения (2.25), поверхность деформации является поверхностью второго порядка.
Ввиду инвариантности скалярной величины относительно преобразованиясистемы координат это уравнение сохраняет свой вид в любойсистеме координат (при этом, разумеется, изменяются и компоненты тензора деформаций, и компоненты радиус-вектора,однако эти изменения взаимно обратны и компенсируют другдруга). В частности, в декартовой прямоугольной системекоординат (771, т;2, 773), связанной с главными осями деформации, уравнение поверхности деформации в соответствии с(2.24) приводится к наиболее простому (каноническому) виду:£1(7/) +£2(»72) 4-£з(’?3) = constгде 771, т?2, т/3 — координаты точек поверхности деформации вуказанной системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
