babkin_selivanov (550243), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Напротив, если какое-либо тело раз­бить на множество элементарных параллелепипедов и задать­ся совершенно произвольными функциями координат eij =— eij(x\ х2, ж3), не связанными уравнениями совместностидеформаций, то из отдельных элементарных параллелепипе­дов, деформированных в соответствии с заданными произ­вольными деформациями, нельзя будет составить сплошноедеформированное тело.1512.2.6. Тензор скоростей деформацийТензор скоростей деформаций (£) = е^т'т3 — еще однафизическая величина, вводимая для описания движения ма­териального континуума. Он характеризует скорость изме­нения деформированного состояния в индивидуальных точкахсплошной среды.Тензор деформаций вводился в рассмотрение на осно­ве сравнения расстояний между индивидуальными точкамиматериального континуума до деформирования и после не­го.

Компоненты тензора деформаций определялись как по­луразности метрических коэффициентов деформированной иисходной сопутствующих систем координат. По существу,при введении тензора деформаций сравнивались два состоя­ния сплошной среды: исходное при t =и текущее для про­извольного момента времени t. Тензор скоростей деформацийтакже вводится на основе сравнения двух состояний: текуще­го для произвольного момента времени t и отстоящего от негона малую величину At В общем случае происходит движениесплошной среды, а быстрота изменения положения индивиду­альных точек относительно системы отсчета наблюдателя ха­рактеризуется вектором скорости v = dr/dt = dujdt =Индивидуальные точки сплошной среды за малый интервалвремени А/ получают малые перемещения Диг- = vtAt Присравнении двух близких состояний t и t + Д/ в соответствиис геометрическими соотношениями (2.9) можно найти компо­ненты тензора малых деформацийДе,; = 0,5+ Vj^Au,) + V,-^A«^V,(Au*)J,характеризующие приращения компонент тензора деформа­ций, получаемые за малый интервал времени Д/.Тензор скоростей деформаций вводится как тензор, ком­поненты которого определяются пределом отношения прира­щений деформаций к интервалу времени, в течение которогоэти приращения были получены, при стремлении последнегок нулю:= д&о152= °’5+■(2-32)Соотношения {2.32), выражающее компоненты тензора ско­ростей деформаций через компоненты вектора скорости,называются кинематическими соотношениями.

В целом жетензор скоростей деформаций, как и всякий тензор второгоранга, образуется при участии базисных математических объ­ектов — диадных произведений векторов взаимного базиса си­стемы координат:(б) = €ijrlr^.(2.33)Из кинематических соотношений следует, что значения ком­понент тензора скоростей деформаций, различающихся поряд­ком чередования индексов, одинаковы (егу = £уг), т.е. тензорскоростей деформаций является симметричным.При движении материального континуума можно выде­лить три его составляющие: поступательную, деформаци­онную и вращательную.

Подтвердим это положение путемсопоставления скоростей движения некоторой произвольнойиндивидуальной точки М и точкинаходящейся в бес­конечно малой окрестности точки М (рис. 2.15). Будем счи­тать, что некоторая произвольная индивидуальная точка М,положение которой относительно системы отсчета наблюда­теля для произвольного момента времени t характеризуетсярадиус-вектором г, имеет скорость движения v.

Выберем вбесконечно малой ее окрестности индивидуальную точку Mi.Положение этой точки относительно точки М может быть за­дано вектором dr, являющимся бесконечно малым прираще­нием радиус-вектора г (его дифференциалом). Ввиду зависи­мости радиус-вектора г от координат индивидуальных точек153вектор dr может быть представлен в разложении по базиснымвекторам произвольной системы координат через свои ком­поненты, в качестве которых выступают бесконечно малыеприращения соответствующих координат, отвечающие пере­ходу от точки М к точке Му.

dr = (dv/dx^dx1 = V{dxl.В общем случае скорость движения Г] точки М\ отличает­ся от скорости v точки М на бесконечно малую величинуdv = (dv/дх1) dx1. Учитывая зависимость скорости от ко­ординат индивидуальных точек (г? = ^(z1, z2, я3)) и опира­ясь на правила дифференцирования векторов по координатам,правила скалярного умножения тензоров и правила определе­ния дифференциальных операций первого порядка с тензора­ми, получаем, что различие в скорости движения рассматри­ваемых индивидуальных точек определяется выражением= (r/dzj • \= dr • grad v.Здесь тензор второго ранга V{Vjrlr^ т.е. результат дей­ствия символического дифференциального оператора Гамиль­тона V =.

V(...)r® на вектор скорости v = v^r3, являетсяградиентом вектора скорости (в этом случае действие сводит­ся к неопределенному умножению: Vv = [V,(.. .)rl](vyr7) =— VjVjrlr} = grad v). Указанный тензор второго ранга можетбыть представлен в виде суммы двух тензоров: V{Vjrlr} == 0,5(VjVj + Vyvjr’r-7 + 0,5(ViVj При этомпервый является тензором скоростей деформаций, а второй— (cu) = шг]ггг] — характеризует мгновенное вращение всейокрестности данной точки М как единого жесткого целого иназывается тензором скоростей поворота. С учетом разложе­ния grad v = (б) + (си) получаем vi = v + dv = v + dv% + dvn,где dvji = dr • (e) определяется тензором скоростей дефор­маций в данной точке, зависит от относительного положенияточки, взятой в окрестности данной точки, и представляет со­бой деформационную составляющую относительной скорости154движения точек, a dvn = dr-(и) характеризует вращательнуюсоставляющую относительной скорости движения.Последнее утверждение можно обосновать по аналогии собоснованием геометрического смысла тензора поворота.

Дей­ствительно, компоненты тензора (о>), предположительно ассо­циированного с вращением окрестности данной точки, опре­деляются как полуразности абсолютных производных компо­нент вектора скорости: dfy* = 0,5(ViVj — Vyvt’), что приво­дит к выполнению условия антисимметричности этого тензо­ра:= ~^ji- Совокупность его компонент образует матри­цуГ' 0«12«13 ’—«120«23—«13-«230,характеризуемую не более чем тремя различными и отличны­ми от нуля величинами: и>12, и>1з, <*>23- Тогда выражение длясоответствующей составляющей относительной скорости дви­жения точек может быть представлено в виде векторного про­изведения некоторого вектора fl = йггг и вектора dr = гг dx\характеризующего относительное положение точек, т.е.где компоненты вектора fl определяются компонентами тен­зора (cj): Qi = й>235 ^2 — —^13 > Оз = ^12- В справедливостиподобного преобразования можно убедиться, приведя его раз­вернутую запись применительно к некоторой декартовой пря­моугольной системе координат, в которой векторное произве­дение векторов fl X dr находится наиболее простым образомс помощью соответствующего определителя.

Это не отрица­ет справедливости подобного преобразования применительнок произвольной криволинейной системе координат ввиду инва­риантности тензоров по отношению к преобразованию систе­мы координат, а следовательно, и результатов алгебраических155операций с ними. Выражение для составляющей относитель­ной скорости движения dvn = Six dr соответствует известно­му из теоретической механики выражению v = си х г для ли­нейной скорости движения точек абсолютно твердого тела приего вращении вокруг закрепленной оси с угловой скоростью си(см. рис. 2.9).

Поэтому тензор второго ранга (cu) = cuy-r’i^действительно характеризует мгновенное вращение окрестно­сти данной точки как единого жесткого целого, а угловая ско­рость вращательного движения П определяется компонентамиэтого тензора.На основе проведенного кинематического анализа пред­ставляется возможным уяснить кинематический смысл тен­зора скоростей деформацийв целом (рис. 2.16).Знаятензор скоростей деформа­ций в произвольной индиви­дуальной точке М сплош­ной среды, можно для любойточки Mi, находящейся в ееокрестности, определить от­носительную скорость дви­жения, возникающую вслед­ствие деформирования:= (£) ’(2.35)где dr = ndr\ dr — расстояние между этими точками или те­кущая длина материального отрезка; п — единичный вектор,характеризующий направление элементарного материальногоотрезка, состоящего из индивидуальных точек между точка­ми М и М\.

Проекция dvn вектора относительной скоростидвижения точки М\ на направление элементарного матери­ального отрезка определит скорость изменения длины этогоотрезка: dvn = dv% п = (e)-n-ndr. Но тогда скорость отно­сительного удлинения выбранного элементарного материаль­ного отрезка ln — dvn/dr = (е) • п • n = £ijn'nJ, т.е. тен­зор скоростей деформаций позволяет найти и скорость отно­сительного удлинения материального отрезка в произвольномнаправлении в окрестности данной точки.1562.3. Теория напряжений2.3.1.

Характеристики

Список файлов книги