babkin_selivanov (550243), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Конкретный вид поверхностидеформации зависит от характера деформированного состояния. Например, для деформированного состояния всестороннего растяжения (бд > 0, £2 > 0, £3 > 0) поверхность деформации представляется эллипсоидом, т.е.где а2 = const /еи b2 = const /е^ с2 = const /£3. Для равноосного растяжения (ej = £2 = £3 = £) поверхность деформацииявляется сферической поверхностью, а для более сложного деформированного состояния (^1 > 0, £2 > 0> £з < 0) — сочетанием однополостного и двухполостного гиперболоидов и т.д.1402.2.3. Инварианты тензора деформацииТензор деформаций является математическим объектом,характеризующим деформированное состояние в данной точкематериального континуума. Деформированное состояние объективно определяется изменением расстояний между индивидуальными точками сплошной среды и не зависит от субъективно выбираемой для его описания системы координат.
Поэтому тензор деформаций инвариантен относительно преобразования системы координат:(£) = ецЯЯ = (Eirfr'ri =Он остается неизменным математическим объектом в любойпроизвольной системе координат. Как известно из тензорногоисчисления, именно поэтому компоненты тензора деформацийзависят от выбранной системы координат и преобразуютсяпри переходе от одной системы к другой по определенному (вданном случае ковариантному) закону:(_^хОСТакая зависимость компонент тензора деформаций от произвольно выбираемой системы координат затрудняет анализ деформированного состояния и приводит к необходимости введения так называемых инвариантов тензора деформаций.Инварианты тензора деформаций — это скалярные величины, составленные из компонент тензора деформаций, независящие от выбора системы координат и не изменяющиесяпри переходе от одной системы координат к другой.
Тензордеформаций имеет три основных инварианта: первый 71(e)— линейный; второй ^(е) — квадратичный; третий 2з(е) —кубический.Первый основной инвариант в произвольной системе координат образуется с участием ковариантных компоненттензора деформаций и контрвариантных компонент дг} фундаментального метрического тензора в этой же системе координат и определяется как сумма их произведений: 7\(е) =.141Образуемая указанным образом скалярная величина действительно является инвариантом ввиду взаимно обратного характера преобразования ковариантных компонент тензора деформаций и контрвариантных компонент метрического тензорапри переходе от одной системы координат к другой.
В частном случае ортогональной системы координат (декартова, цилиндрическая и т.д.) первый основной инвариант выражаетсячерез физические компоненты тензора деформаций с одинаковыми индексами:21(e) = £11£П + £22922 + £зз?3 = £11Первый основной инвариант может быть также выражен ичерез компоненты тензора деформаций в декартовой прямоугольной системе координат, связанной с главными осями деформации, как= £1 + £2 + £3Второй основной инвариант в общем случае образуется как сумма произведений ковариантных и контрвариантныхкомпонент тензора деформаций: ^(б) == ^ij^a^9ai9^•Он может быть выражен через физические компоненты тензора деформаций в какой-либо ортогональной системе координатили же через главные значения тензора деформаций:Очевидно, что при записи второго основного инварианта в ортогональной системе координат он представляет собой суммуквадратов всех девяти физических компонент тензора деформаций.Третий основной инвариант образуется с использованием смешанных компонент тензора деформаций и при выражении через главные значения тензора деформаций определяетсясуммой их кубов:ВД —142— £га£ЛЗ£ку9а^9^к9Уг- £1 + £2 + £3‘Более удобными для анализа деформированного состояния являются не основные инварианты 71 (б), Т2(£), 7з(б), апроизводные инварианты — средняя деформация 8 и интенсивность деформаций £г.Средняя деформация является производным инвариантомпервого основного инварианта:е= ТЦ^/З.(2.27)Физический смысл 8 наглядно выявляется в частном случае деформированного состояния, когда деформации малы,при сравнении объемов индивидуальной частицы материального континуума до и после деформирования.
Выделим вокрестности индивидуальной точки М материального континуума индивидуальную частицу, имеющую до деформирования форму элементарного параллелепипеда с ребрами длиной dr/1, с?772, drj\ направленными по главным осям тензора деформаций. Объем выделенной индивидуальной частицыдо деформирования определяется произведением длин реберdV = dr]1 dr/2dr^, В результате деформирования изменяютсядлины ребер элементарного параллелепипеда (элементарныхматериальных отрезков вдоль главных направлений).
В соответствии с геометрическим смыслом компонент тензора деформаций с одинаковыми индексами длины ребер станут равными dr)1 +dT}2(l + 82 \ </?73(1 + £з)> а объем индивидуальной частицы после деформирования dV* = dr]1 dr]2dr^(1 + 81) Xx(l + £2)(1 + £з)- Относительное изменение объема индивидуальной частицы может быть охарактеризовано величинойобъемной деформации {коэффициента кубического расширения) в = (dV* —dV)/dV.
При малых деформациях, когда произведениями главных деформаций можно пренебречь по сравнению с самими главными деформациями, коэффициент кубического расширения определяется суммой главных деформаций, а следовательно, первым основным инвариантом тензорадеформаций или средней деформацией:0=—~ £1 + £2 + £з = 7^1 (е) = 3£.143Таким образом, средняя деформация и первый основной инвариант тензора деформаций характеризуют изменение объема индивидуальных частиц материального континуума.Интенсивность деформаций et- является производным инвариантом первого и второго основных инвариантов тензорадеформаций и определяется как(2.28)Учитывая возможность представления второго и первогоосновных инвариантов через физические компонентытензора деформаций или же через его главные значения £i, £2? £з>получаем соответствующие выражения и для интенсивностидеформаций:£i =+(е(33) - £(11))2 + 6(е(12) + £(13) + £(23));(2-29)(£1 - £г)2 + (S2 - £з)2 + (£3 - £1)2-(2.30)Значение коэффициента \/2/3 выбрано из условия равенстваинтенсивности деформаций главной деформации £1 в направлении растяжения для случая одноосного растяжения несжимаемого стержня.
При одноосном растяжении стержня направление растяжения и два любых перпендикулярных емунаправления (радиальное и тангенциальное) являются главными осями деформации. Главные деформации в радиальноми тангенциальном направлениях связаны с главной деформацией в направлении растяжения (£2 = £3 = —0, 5£i), что вытекает из принятого предположения о несжимаемости материала стержня и физического смысла первого основного инварианта тензора деформаций. Тогда из (2.30) следует, чтодействительно е, =Физический смысл интенсивности деформаций заключается в том, что эта величина является обобщенной144интегральной характеристикой сдвиговых деформаций вокрестности данной индивидуальной точки материальногоконтинуума.
Так как сдвиговые деформации определяются изменениями углов между координатными линиями сопутствующей системы координат и связаны только с изменениемформы индивидуальных частиц (см. рис. 2.7), то интенсивность деформаций характеризует формоизменение индивидуальных частиц материального континуума.Однако из выражений (2.29) и (2.30) не очевидно, чтоинтенсивность деформаций £г действительно обобщенно характеризует сдвиговые деформации в окрестности индивидуальной точки материального континуума.
Например, интенсивность деформаций может быть выражена через главные деформации — коэффициенты относительных удлиненийэлементарных материальных отрезков, направленных вдольглавных осей, испытывающих при деформировании лишь изменение длины. Сдвиги же в главных осях отсутствуют.Тем не менее отсутствие сдвиговых деформаций в главныхосях не означает их отсутствие вообще в окрестности данной точки. В общем случае сдвиговые деформации отличны от нуля и их экстремальные значения определяются разностями главных деформаций. Это можно показать, опираясь на геометрический смысл тензора деформаций в целом.Будем считать тензор деформаций в индивидуальной точке заданным в главных осях 771, т/2, т/3: (е) = eiR^R^ ++ e2-R^^v +Выберем в исходном недеформированном состоянии материальный отрезок единичной длины и произвольного направления п = nlR{ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
