babkin_selivanov (550243), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Из (2.12)следует, что значения компонент, различающихся порядкомчередования индексов, противоположны:— 0, 5 ( VjUjVj'U’i) —0,5 (Х7уUjVjUj) =CJji•Следовательно, тензор поворота является антисимметричным. Совокупность компонент тензора поворота образуетТензор поворота характеризуется не более чем тремя различными по модулю компонентами и представляет собой псевдовектор.Покажем, что составляющая dun относительного перемещения действительно связана с поворотом окрестности даннойточки М. Из выражения (2.13) следует dun = iv^d^lRk, чтос учетом антисимметричности тензора поворота (2.14) приводит к развернутой записи: dun = R^-w^dt3 — u>i2</£2) —-A2(u23 df3 - ^12+ Л3(u?i3 d^1 -I- U23 d£2).
Правая частьпоследнего выражения представляет собой результат векторного умножения вектора Я = Я, Я* на вектор dR = d^3 Rj, такчтоип = (Я) х (dK) = (ЯгЯг) х (dt3 Rj}.(2.15)При этом компоненты вектора Я определяются компонентамитензора поворота Qi = и>2з, ^2 — — ^13 > ^3 = <*>12- Формула (2.15) соответствует известным соотношениям кинематики вращательного движения абсолютно твердого тела. Действительно, при вращении абсолютно твердого тела вокругзакрепленной оси линейная скорость v любой точки этого тела равна векторному произведению вектора угловой скорости5 - 9712129о; и радиус-вектора г, характеризующего положение выбранной точки относительно оси вращения: v = cb X т (рис. 2.9).В то же время перемещение, совершаемое рассматриваемойточкой за бесконечно малый интервал времени Л, определится как dun = (cv dt) х г = П х г, где П = cb dt — вектор малого поворота, коллинеарный вектору угловой скорости.
Последнеесоотношение практически эквивалентно выражению (2.15). Различие заключается лишь в том, чтодля абсолютно твердого тела рассматривается движение тела в целом, а приведенное соотношение длялинейной скорости справедливо длялюбой его индивидуальной точки.В случае деформируемой среды рассматривается вращательное движение лишь бесконечно малой окрестности точки М, а выражение (2.15)справедливо лишь для индивидуальных точек, находящихся в этойокрестности.Таким образом, полное перемещение индивидуальнойточки Mi, находящейся в малой окрестности данной точкиМ, складывается из ее поступательного перемещения вместе с точкой М и относительных перемещений вследствие деформирования, а также за счет поворота всей окрестностиданной точки как единого жесткого целого:щ = и + dun + dun.(2.16)Установим теперь геометрический смысл тензора деформаций в целом.
Рассмотрим частный случай движения индивидуальной частицы материального континуума и сопоставимего с простейшим примером деформирования стержня при егоодноосном растяжении. Будем считать, что после перемещения индивидуального объема материального континуума его130£м.MjI *■*aI — &*lgРис. 2.10индивидуальная точка M не перемещается (и = 0) и остаетсяв исходном положении (рис. 2.10). Будем также считать, чтоотсутствует и поворот бесконечно малой окрестности точкиМ как единого жесткого целого, т.е.
(cj) = 0. Предположим, что, несмотря на отсутствие перемещения точки М иповорота ее окрестности, деформированное состояние в данной точке определено и задается тензором деформаций (б). Вэтом случае любая индивидуальная точка Mi, находящаяся вбесконечно малой окрестности данной точки М и в начальномне деформированном состоянии занимающая положение, задаваемое вектором dA, вследствие деформирования получает перемещение, определяемое в соответствии с (2.16) и (2.11) какгц = du% — (е) • dJt,(2.17)и занимает новое положение М[.
Это случай так называемойчистой деформации.Рассмотрим теперь стержень с начальной длиной /о,один из торцов которого М—М неподвижно закреплен (см.рис. 2.10). Будем считать, что стержень подвергается одноосному растяжению, в результате чего он удлиняется, а еготорец Mi—М\ получает перемещение А/ и занимает новоеположение М[—М{. Полученное перемещение AZ связано сдеформацией е в направлении растяжения очевидным соотношениемA/ = d0.(2.18)5*131В обоих случаях существуют точка среды, остающаясяпри деформировании неподвижной (в первом случае это индивидуальная точка Л/, а во втором — торец М—М стержня),и точка с заданным (до деформирования) положением относительно неподвижной точки (в первом случае это находящаяся в бесконечно малой окрестности точки М индивидуальнаяточка Л/i, положение которой характеризуется вектором с/Я, аво втором случае это торец М\—начальное положение которого задается скалярной величиной /о)- Точки с заданнымначальным положением совершают перемещения вследствиедеформирования, но в первом случае индивидуальная точкаможет совершать пространственное перемещение, характеризуемое вектором с/ид, а во втором случае торец М\—М\ совершает лишь осевое перемещение, характеризуемое скалярнойвеличиной А/.
В обоих случаях деформированное состояниехарактеризуется с помощью специальной величины, но в первом случае, когда возможно пространственное движение точекв окрестности данной точки, используется тензор второго ранга (е), а во втором, когда возможны лишь осевые перемещенияплоских сечений, достаточно скалярной величины осевой деформации е. Наконец, в обоих случаях зависимость перемещения вследствие деформирования от характеристик деформированного состояния и начального положения точек описываетсясовершенно одинаковыми по своей структуре соотношениями(2.17) и (2.18): в левых частях соотношений содержатся величины, определяющие перемещения за счет деформирования, ав правых — скалярные произведения величины, характеризующей деформированное состояние, и величины, определяющейначальное положение индивидуальных точек.На основании приведенного сопоставления можно сделатьвывод о том, что тензор второго ранга (тензор деформаций)вводится в связи с переходом от простейшего случая деформированного состояния, соответствующего одноосному растяжению стержня при возможных перемещениях его плоских сечений только в одном направлении, к более сложному случаюдеформированного состояния, когда имеют место пространственные перемещения индивидуальных точек.
Тензор деформаций, по существу, является обобщением известной из курса132сопротивления материалов осевой деформации на этот болеесложный случай деформированного состояния.Итак, тензор деформаций является характеристикойдеформированного состояния в индивидуальной точкесплошной среды и позволяет определить перемещение любойточки, находящейся в окрестности данной точки, возникшее в результате деформирования.Определив тензор деформаций в точке материальногоконтинуума, можно установить коэффициент относительного удлинения произвольно направленного бесконечно малогоматериального отрезка, взятого в окрестности данной точки.Действительно, полученное в результате деформирования перемещение du^ индивидуальной точки Mi (см.
рис. 2.10) фактически означает, что бесконечно малый материальный отрезок ММ\, имевший до деформирования длину dR = \dR\и ориентацию, задаваемую единичным вектором п так, чтоdR = ndR, в результате деформирования изменяет свою длину и подвергается сдвигу, занимая новое положение ММ{. Изменение длины этого материального отрезка определится величиной dun проекции вектора относительного перемещенияdu% на первоначальное направление этого отрезка, поэтому сучетом (2.17) получимdun — du^ • n = ((б) • nj п dR.Отношение изменения длины бесконечно малого материального отрезка к его начальной длине dun/dR определяет коэффициент относительного удлинения 1п материального отрезкав данной индивидуальной точке в выбранном направлении п,поэтому получим/„=((£)•«)•«(2.19)или с учетом правил скалярного умножения тензоровln =■ (nkRk^ ■ (n'Rt) = е^п'п?,где eij,— соответственно компоненты тензора деформацийв данной точке и единичного вектора п, характеризующеговыбранное направление.133Очевидно, что в любой точке материального континуумаможет быть выбрано бесконечно большое число различных направлений (в телесном угле 47т) и каждому из этих направлений будет соответствовать свое значение коэффициента относительного удлинения.
Деформированное состояние в индивидуальной точке сплошной среды можно считать полностьюохарактеризованным, если известна вся бесконечно большаясовокупность направлений и соответствующих им коэффициентов относительных удлинений. Тензор деформаций как бысодержит в себе всю эту информацию и позволяет определитьотносительное удлинение для конкретного направления в соответствии с приведенной выше формулой. Значит, тензордеформаций является характеристикой деформированного состояния в индивидуальной точке сплошной среды, т.е. позволяет определить коэффициент относительного удлинения материального отрезка в произвольном направлении в окрестности данной точки.2.2.2.
Главные оси деформациии главные деформации.Геометрическое представлениетензора деформацииБудем считать, что задано деформированное состояние виндивидуальной точке сплошной среды, т.е. определен тензор деформаций (s) = tijR'R3. В общем случае элементарный материальный отрезок вдоль произвольного направленияп в результате деформирования испытывает изменение длиныи вследствие сдвига меняет ориентацию в пространстве (см.рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
