babkin_selivanov (550243), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Приведенному векторному уравнению соответ­ствуют три скалярных уравнения видахг = х1(1\i = 1, 2, 3,определяющих зависимость от времени текущих координатматериальной точки относительно системы отсчета наблюда­теля. Уравнения (2.1) называются законом движения мате­риальной точки. Получение этого закона — основная задачамеханики при изучении движения материальной точки. Опре­делить движение материальной точки — значит установить еетекущие координаты в любой момент времени (см. (2.1)).104Существенно сложнее описать движение материальногоконтинуума. Определить движение материального континуу­ма — значит установить параметры движения всех его инди­видуальных точек.

Но, с одной стороны, любой индивидуаль­ный объем сплошной среды в силу гипотезы непрерывности(сплошности) состоит из бесконечно большого числа индиви­дуальных точек. С другой стороны, индивидуальные точкиматериального континуума на первый взгляд совершенно рав­ноправны и неотличимы друг от друга.

Поэтому, для тогочтобы описать движение сплошной среды и знать движениевсех ее индивидуальных точек, необходимо ввести правилоиндивидуализации точек материального континуума, позво­ляющее различать индивидуальные точки континуума другот друга и получать закон движения для всех этих точек.Индивидуализация точек материального континуума осуще­ствляется, как правило, путем задания значений их координатв начальный момент времени.Рассмотрим два близких по своей сущности способа ин­дивидуализации.Первый способ индивидуализации точек сплошной сре­ды заключается в задании значений их начальных коорди­нат относительно системы отсчета наблюдателя.

На рис. 2.1положение произвольной индивидуальной точки М относи­тельно системы отсчета наблюдателя в начальный моментвремени t = t$ характеризуется радиус-вектором R или жетремя значениями начальных координат zj, Zq, z3, которыеуказывают на вполне определенную, единственную индиви­дуальную точку сплошной среды. При таком способе инди­видуализации точек материального континуума определитьего движение — значит найти зависимости текущих коор­динат индивидуальных точек х1 от их начальных координатZq и времени t: z1 = z2(zq, z2, z3, /), z2 = z2(zj, Zq, Zq, £),z3 = z3(zq, z2, z3, /) или в сокращенной записи с использова­нием свободного индексахг = x\xq, Xq, Xq, t).(2.2)105Зависимости (2.2) носят название закона движения матери­ального континуума.

Этот закон в принципе действительноопределяет движение сплошной среды, так как дает возмож­ность знать движение каждой из бесконечно большого числаее индивидуальных точек, различаемых с помощью их началь­ных координат относительно системы отсчета наблюдателя.Второй возможный способ индивидуализации заключает­ся в задании координат индивидуальных точек в системе от­счета, связанной с частицами среды, т.е. в сопутствующейсистеме отсчета.

Действительно, так как выбор тела илиточки отсчета достаточно произволен, в качестве последнейможет быть взята вполне конкретная индивидуальная точкаматериального континуума, например точка 01 (см. рис. 2.1).Являясь индивидуальной точкой сплошной среды, она движет­ся вместе со средой, занимая в произвольный момент времениположение Ор чем и объясняется название системы отсчета.В начальный момент времени через точку 01 могут быть про­ведены координатные оси. Положение любой индивидуальнойточки материального континуума относительно точки 01, при­нятой за начало координат, определяется тремя значениямикоординатПри таком способе индивидуализацииточек сплошной среды закон движения принимает видг =(2.з)который также содержит информацию о движении всех ее ин­дивидуальных точек. При этом, задавая конкретные значе­ния f1, £2, £3, указывают на одну (и только одну!) индивиду­альную точку сплошной среды, для которой закон движенияпозволяет определить ее текущие координаты относительносистемы отсчета наблюдателя в зависимости от времени t.Специфика сопутствующей системы отсчета не исчерпы­вается тем, что в качестве точки отсчета принимается однаиз индивидуальных точек материального континуума.

Сопут­ствующей системе отсчета присуще также то, что координат­ные линии (в частности, координатные оси, проходящие через106точку отсчета) всегда проходят через одни и те же индивиду­альные точки среды. Таким образом, вводимая при описаниидвижения сопутствующая система отсчета — это подвижная,деформируемая, криволинейная в общем случае система ко­ординат, координатные линии которой всегда проходят черезодни и те же индивидуальные точки сплошной среды.Введенная указанным образом сопутствующая системаотсчета имеет следующие особенности.Первая особенность сопутствующей системы координатзаключается в следующем.

В начальный момент времениt = to выбор системы координат зависит от желания исследо­вателя. Например, на рис. 2.1 при t = /q в качестве сопутству­ющей системы координат принята декартова прямоугольнаясистема координат: координатные оси f1, £2, £3, проходящиечерез точку отсчета 01, и координатные линии (f1), (£2), (£3),проведенные через произвольную индивидуальную точку Мматериального континуума, представляют собой взаимно пер­пендикулярные прямые. Однако в дальнейшем, при движениисплошной среды, сопутствующая система координат выходитиз под власти исследователя.

По определению, ее координат­ные линии, проходя всегда через одни и те же индивидуальныеточки, являются как бы “вмороженными” в среду, движутся идеформируются вместе с ней [t > to на рис. 2.1). Сопутствую­щая система координат рассматривается в основном для того,чтобы по деформациям ее координатных линий ввести вели­чины, количественно характеризующие деформирование ма­териального континуума, — компоненты тензора деформацийи тензор деформаций в целом.Вторая особенность сопутствующей системы координатсостоит в том, что все индивидуальные точки сплошной сре­ды имеют не изменяющиеся во времени координаты £х, £2, £3относительно данной системы отсчета. Это следует из самогоспособа определения значений координат £х, £2, £3, индиви­дуализирующих точки материального континуума.

Действи­тельно, три значения координат f1, £2, £3 точек относительносопутствующей системы отсчета определяются для фиксиро­ванного начального момента времени t = to, раз и навсегда107закрепляются за каждой индивидуальной точкой и в связи сэтим уже не могут изменяться в зависимости от времени. Под­тверждением может служить следующий пример частного ха­рактера.

В начальный момент времени t = /о индивидуальнаяточка 01, принятая за точку отсчета сопутствующей системыкоординат, имеет в этой системе координаты £1 = £2 = £3 = 0.К произвольному моменту времени t > to (см. рис. 2.1) инди­видуальная точка перемещается в положение Ор продолжаяоставаться точкой отсчета, имеющей относительно самой се­бя те же самые координаты— £3 = 0. Таким образом,все индивидуальные точки материального континуума как быпокоятся относительно сопутствующей системы отсчета.2.1.2. Сущность точек зрения Лагранжа и Эйлерана изучение движения сплошной средыТочка зрения Лагранжа на изучение движения сплош­ной среды (лагранжев подход) заключается в исследованииизменения величин (например, скорости v, температуры Г),описывающих движение и состояние сплошной среды для ка­ждой из ее индивидуальных точек.

В качестве независи­мых переменных при математическом описании движения спозиций Лагранжа используются координаты £*, £2, £3 (илих0’ х0’индивидуализирующие точки сплошной среды иназывающиеся лагранжевыми координатами, и время I. Ла­гранжевы координаты С1, £2, £3 и время t носят название ла­гранжевых переменных.

Формально при использовании ла­гранжева подхода находят зависимости величин, описываю­щих поведение сплошной среды, от лагранжевых переменныхС1, €2, f3, t, например:** =е2, е3, о, v = «(е1, е, е3, о, т =е2, е3, <)•Точка зрения Эйлера на изучение движения сплошнойсреды (эйлеров подход) заключается в исследовании измене­ния величин, описывающих движение и состояние среды длякаждой из точек пространства, в которые с течением времени108могут приходить различные индивидуальные точки. В каче­стве независимых переменных при описании движения среды спозиций Эйлера используются координаты ж1, ж2, ж3, опреде­ляющие положение точек пространства относительно системыотсчета наблюдателя и называющиеся эйлеровыми координа­тами, и время I.

Эйлеровы координаты ж1, ж2, ж3 и время tназываются эйлеровыми переменными. Эйлеров подход пред­полагает поиск зависимостей всех величин, описывающих по­ведение деформируемой сплошной среды, от эйлеровых пере­менных х1, х2, ж3, /, например:v = v^x1, х2, х3, t),Т = Т(х1, х2, ж3, t)и т.д.Итак, различие подходов Лагранжа и Эйлера заключает­ся в том, что в первом случае следят за каждой индивиду­альной точкой (или индивидуальной частицей) движущейсясплошной среды, а во втором — за каждой точкой простран­ства, в котором движется сплошная среда.Сущность лагранжева и эйлерова подходов и их прин­ципиальное различие можно уяснить на следующем простомпримере.

Характеристики

Список файлов книги