babkin_selivanov (550243), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Составим частные производные метрическихкоэффициентов по координатам с учетом выражения (1.25) иобозначений (1.63), а также правил дифференцирования произведения:(1-67)d9jkд /83В правых частях выражений (1.67) находятся одинаковые члены, например rij = rji •Это следует из выражения(1.63) и определения векторов основного базиса (1.20), так какl]дггdxiд / дг \dxi \дхг)д2гdxi дхг'эгdrjдхгд / дг \дхг \дхЗ Jд2гдхгдх1'а результат двукратного дифференцирования не зависит отпорядка дифференцирования. С учетом отмеченного факта иопределения символов Кристоффеля (1.64) получимdgjk I ®9ikдхгдхздхк— 2гг^ • rk — 2Г,у/г •— 2Гу|..Окончательное выражение для символов Кристоффеля первого рода через метрические коэффициенты принимает видг^к_ £ / dgjk2 \ дхгdgjk _ dgjj \dxiдхк)(1.68)Формула (1.68) позволяет вычислить значения символов Кристоффеля в любой системе координат, если известны метрические коэффициенты дг] основного базиса.
Например, в декартовой прямоугольной системе координат все 27 значенийсимволов Кристоффеля Ггд = 0, так как метрические коэффициенты являются постоянными величинами (см. (1.30)), ав цилиндрической системе координат (ж12= г, я2 = 0, ж3 = z)в совокупности 27 значений символов Кристоффеля присутствуют члены, отличные от нуля:Г212 = Г122 =Г2211 ^22 _ 1__2 дх^ ~ 2 дтУ ) ~1 ^222 дх1Абсолютная {ковариантная) производная ковариантныхкомпонент тензора первого ранга вводится в рассмотрение84при дифференцировании по координатам вектора (а) = а =щт1, заданного ковариантными компонентами аг. В этомслучаеи возникает необходимость в определении производной векторов взаимного базиса гг по координате х3.
Эта величинанаходится из соотношения гг г к = (5£, связывающего векторыосновного и взаимного базисов. Дифференцируя это соотношение по координате х3 с учетом того, что при данной паревекторов г1 и Гк символы Кронекера 6гк есть постоянные величины, получаемили в соответствии с определением символов Кристоффеля(1-64)Очевидно, что при скалярном умножении вектора дгг/дх3на базисный вектор г к получается скалярная величина —Ц •,если компонентами первого вектора являются взятые со знаком минус символы Кристоффеля второго рода, т.е.£ = -r-rm-(L69)так как_ ргQxj ' гк ~ * mjrт _ pi „т _ рг* rk — 1 mj9k ~ 1 к]'Теперь можно найти выражение для производной вектора,заданного ковариантными компонентами, по координатам.С учетом изменения обозначений индекса суммирования получаем3(a) _ Заг гдх3дх385Производной тензора первого ранга, заданного ковариантными компонентами, является вектор, компоненты которого(171>=являются абсолютными производными ковариантных компонент исходного вектора.
Так же как и в предыдущем случае,абсолютная производная отличается от частной производнойдополнительными членами, учитывающими переменность базисных векторов.Абсолютная (ковариантная) производная контрвариантных компонент тензора второго ранга вводится в рассмотрение по аналогии с вектором, заданным контрвариантными компонентами. При дифференцировании по координатехк тензора второго ранга (а) = аг]ггг^ заданного контрвариантными компонентами агз, с учетом формулы (1.64) и изменения обозначений индексов суммирования получаемд(а) _дхк ~дхк_ даг} ~ ~ ,~ дхк ' 3 +дг. ~дхк 3 +„• drj da'i„■ /ц+ а r,di=d^ TiTj + а ikrirj + а ri зкГ1 =rirj + a'3Tlkrirj + a>lrikrirJ ===+ ahVlk +TiTj =TiTi-Производной тензора второго ранга, заданного контрвариантными компонентами, является также тензор второго ранга,компоненты которого — абсолютные производные контрвариантных компонент исходного тензора:+ а“Г3к.(1.72)В заключение приведем вывод абсолютной (ковариантной) производной ковариантных компонент тензора второго ранга.
С учетом выражения (1.69) производную тензора86второго ранга (а) = а^г1г}, заданного ковариантными компонентами a{j, по координате хк запишем в виде+== & г'г’ - а'л‘г'г’ - а‘^г'т‘=- abrlirtrJ - anr‘kjrirJ == (^- «<л. -=(V‘M т'г’’где абсолютная производная ковариантных компонент тензоравторого ранга определяется формулой^kaij —~ alj^ki ~ аг1?kj •(1-73)Подчеркнем еще раз, что все абсолютные производные отличаются от обычных частных производных дополнительными членами, учитывающими искривленность координатных линий системы координат. Полученные формулы (1.66),(1.71)—(1.73) для абсолютных производных компонент тензоров первого и второго рангов являются фундаментальнымисоотношениями тензорного анализа и широко используютсяпри постановке и решении задач механики сплошных сред.Дифференциальные операции первого порядка стензорами.
К числу дифференциальных операций первогопорядка относятся операции определения градиента, дивергенции и ротора тензора. В тензорном анализе дифференциальные операции первого порядка с тензорами вводятся с использованием символического подхода. В принципе каждая изперечисленных операций с тензорами первоначально вводится с помощью соответствующего определения (см., например,определения градиента скалярной величины, дивергенции иротора вектора).
Однако в практическом использовании более прост и удобен именно символический, абстрагированный87от изначального определения рассматриваемых операций подход. В соответствии с этим подходом в тензорном анализевводится векторный символический дифференциальный оператор Гамильтона(1-74)V=компонентами которого являются абсолютные (ковариантные) производные некоторых математических объектов.Частным случаем этого символического оператора являетсяоператор Гамильтона (1.19), используемый в векторном исчислении в декартовой прямоугольной системе координат. С помощью векторного символического дифференциального оператора Гамильтона (1.74) выполняются дифференциальные операции первого порядка с тензорами.
При этом следует иметьв виду, что абсолютные производные V,(...) берутся толькоот компонент математических объектов, на которые действует дифференциальный оператор (1.74).Градиент тензора — это результат действия оператораГамильтона на заданный тензор (или же результат неопределенного умножения оператора Гамильтона на заданный тензор — см. раздел 1.3.3), т.е.grad (а) = V(a).(1-75)Градиентом тензора нулевого ранга (а) = а является векторgrad (а) = Vi(a)rl, компоненты которого равны абсолютнымпроизводным заданной скалярной величины а по соответствующим координатам. Абсолютные производные скалярных величин совпадают с обычными частными производными, поэтому градиент тензора первого ранга представляется выражениемgrad (а) =до:до,=^г1даодо,□+^згОчевидно, что в частном случае декартовой прямоугольнойсистемы координат полученные формулы для градиента скалярной величины совпадают с формулой (1.6) векторного анализа.88Градиентом тензора первого ранга (вектора) (а) = ajT3является тензор второго рангаgrad (а) = V(a) = Vг(ау) ггг}\компоненты которого — абсолютные производные компонентисходного тензора.
Очевиден вывод о том, что в результате нахождения градиента тензора получается математическийобъект, ранг которого на единицу выше ранга исходного объекта.Дивергенция тензора определяется как результат скалярного умножения оператора Гамильтона на заданный тензор, т.е.div(a) = V • (а).(1.76)Дивергенция тензора первого ранга (а) = ajr3 в соответствиис (1.76) определяется какdiv(a) = [Vj(.. .)?•*] • (дуг7) = Vj(ay) г’ • г-7 = Vj(ay) j’AОтметим без доказательства, что компонентыдг\ gj метрического тензора ведут себя по отношению к абсолютномудифференцированию как постоянные величины и их можновносить под знак и выносить из под знака абсолютной производной. В соответствии с этой особенностью метрическихкоэффициентов выражение для дивергенции тензора первогоранга приобретает видdiv(a) = V,(ay5‘J) = Vtal = Vja1 + V2a2 + V3a3.(1.77)Очевидно, что в частном случае декартовой прямоугольнойсистемы координат, в которой отсутствует различие междуабсолютной и частной производными компонент вектора, полученное соотношение приводит к известной формуле (1.13)векторного анализа.
В случае же криволинейной системы координат выражение (1.77) дивергенции вектора отличается отформулы (1.13) дополнительными членами, учитывающимиискривленность координатных линий системы координат.89Дивергенцией тензора второго ранга (а) = aj^r3rk является тензор первого ранга, т.е. векторr* r3^ =div(a) = [V,(.. .)*■'] • (ajkr3rk^ == V,(ajfc)(r’ • r3)rk ==gt}rk =rk = V,(aQ rk = ckrk,компоненты которого — суммы абсолютных производныхсоответствующих смешанных компонент исходного тензора.Таким образом, операция нахождения дивергенции тензорауменьшает ранг математического объекта на единицу.Ротор тензора определяется как векторное произведениеоператора Гамильтона на заданный тензор, т.е.rot (a) = V х (a).(1.78)Операцию нахождения ротора тензора рассмотрим на примеретензора первого ранга (a) = aJrj.
В соответствии с (1.78)ротором тензора первого ранга является также тензор первогоранга:rot(a)= [Vj(-• .)»•’] X (a3rj) ==r‘ x rj =В образовании компонентXljkrk = ckrk.(1.79)A®*, полученного тензораучаствуют абсолютные производные компонент а3 исходноготензора и компоненты Л*-* дискриминантного тензора. Такимобразом, при определении ротора тензора ранг математического объекта не изменяется.Интегральные теоремы тензорного анализа. В связи с операциями интегрирования тензоров, переменных по координатам, в механике сплошных сред наиболее часто употребляются две интегральные теоремы: Остроградского — Гаусса и Стокса. Эти теоремы являются обобщением известных90теорем векторного анализа на случай тензоров произвольного ранга.
Доказательство теорем Остроградского — Гаусса иСтокса применительно к векторам (тензорам первого ранга)следует непосредственно из определений дивергенции (1.11) иротора (1.16) вектора. Исходя из аналогии, ограничимся формулировкой и записью этих теорем для случая тензоров произвольного ранга.Теорема Остроградского—Гаусса формулируется следующим образом (см. рис. 1.23): поток тензора через замкнутую поверхность равен интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции тензора, т.е.В выражении (1.80) под п =понимается единичный вектор внешней нормали к замкнутой поверхности 5, ограничивающей объем V. Если в качестве тензора (а) рассматриваетсятензор второго ранга (а) = а^ггг3, то выражение теоремыОстроградского — Гаусса через компоненты тензоров будетиметь видУ а^п^г' dS = У Vjrl dV.(1.81)SVТеорема Стокса имеет следующую формулировку(см. рис.
1.30): циркуляция тензора по замкнутому контуруравна потоку ротора тензора через поверхность, ограниченную этим контуром, т.е.n dS,(1.82)где под I = l^rk понимается единичный вектор, направленный по касательной к замкнутому контуру С, а п = пага —единичный вектор внешней нормали к поверхности S, ограниченной этим контуром.91Вопросы и задачи1. В чем состоит предмет механики сплошных сред?2. В чем заключается основное отличие механики сплошныхсред от теоретической механики?3.
Какова сущность статистического подхода к изучениюдвижения деформируемых сред?4. В чем заключается сущность феноменологического подхода к изучению движения деформируемых сред?5. Сформулируйте понятие материального континуума.6. С чем связана необходимость введения такой идеализацииреальной деформируемой среды, как материальный континуум?7. С чем связана возможность введения такой идеализацииреальной деформируемой среды, как материальный континуум или сплошная среда?8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
