babkin_selivanov (550243), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Изучение движения земной атмосферы с практиче­ской целью формирования метеопрогноза проводится с пози­ций феноменологического подхода. Воздушная среда рассма­тривается как сплошная, при этом необходимо знать такие еехарактеристики, как температура Т, давление р (величины,описывающие состояние воздушной среды), скорость v дви­жения воздушных масс, т.е. скорость ветра. Основой фор­мирования достоверного метеорологического прогноза явля­ются данные наблюдений за текущим состоянием атмосфе­ры.

Соответствующие данные могут быть получены двоя­ким путем: со стационарных метеостанций и с подвижныхметеозондов (рис. 2.4). Каждая стационарная метеостанцияразмещена в определенной точке пространства с неизменны­ми координатами ж1, х2, х3 относительно системы отсчетанаблюдателя. При определении изменения во времени значе­ний интересующих исследователей величин на каждой стаци­онарной метеостанции и дальнейшем обобщении информации109XSy=U(X,t xz,x3,t)T=T(X1,X3X3t)Рис. 2.4получают описание движения атмосферы с позиций Эйлера:v = ^(z1, z2, z3, /), Т — Т(х\ z2, z3, /) и т.д.

Подвижныеметеозонды, движущиеся в воздушном потоке, имеют нуле­вую скорость относительно потока, а относительно системыотсчета наблюдателя — скорость, равную скорости движениявоздушной массы. Они позволяют получить информацию обизменении во времени значений интересующих исследовате­лей величин для каждой из индивидуальных точек воздушнойсреды, в окрестности которых были запущены эти зонды вначальный момент времени. Путем обобщения получаемой сметеозондов информации получают описание поведения атмо­сферы с позиций Лагранжа.Подходы к описанию движения сплошной среды с пози­ций Эйлера и Лагранжа с точки зрения механики эквива­лентны. Имея описание движения сплошной среды с позицийЛагранжа, можно перейти к его описанию с позиций Эйле­ра, и наоборот.

Пусть, например, получено описание движе­ния сплошной среды с позиций Лагранжа для поля скоростейv — ^(f1, £2, f3, £) и определен закон движения (2.3). Триуравнения вида хг = zl(^, £2, £33)> представляющие собойзакон движения материального континуума, могут рассматри­ваться как три уравнения относительно трех неизвестных ве­личин f1, £2, £3. Можно определить эти величины из уравне­ния закона движения и получить обратный закон движения ввиде £г = ^(z1, z2, z3, t), который показывает, какая именноиндивидуальная точка сплошной среды (однозначно определя­емая — индивидуализируемая — тремя значениями f1, £2, £3)110находится в данный момент времени t в данной точке про­странства с координатами z1, х2, х3 относительно системыотсчета наблюдателя. Подставляя эти выражения в урав­нение для поля скоростей, получаем v = ^(f1, £2, £3,/) ==х2, х3, /), ^(г1,®2,®3,^, ^(х1,®2,®3,/),^ и переходим к зависимостям, характеризующим поведение сплошнойсреды, от координат точек пространства и времени, т.е.

к опи­санию движения среды с позиций Эйлера: v = ^(z1, z2, z3, /).Следовательно, лагранжев и эйлеров подходы действитель­но эквивалентны. Использование того или другого подходаопределяется спецификой решаемой задачи механики сплош­ных сред.2.2. Основы кинематикиматериального континуума.Теория деформаций2.2.1. Тензор деформаций —характеристика деформированного состоянияматериального континуумаВ соответствии с феноменологическим подходом к изу­чению поведения деформируемых сред в механике сплошныхсред вводятся в рассмотрение различные физические величи­ны, количественно описывающие движение и состояние иссле­дуемой среды.

К числу величин, описывающих движение ма­териального континуума, относятся такие известные из кур­сов общей физики и теоретической механики векторные ве­личины, как радиус-вектор г, перемещение и, скорость v иускорение а.Напомним, что радиус-вектор т определяет положениеиндивидуальных точек материального континуума относи­тельно системы отсчета наблюдателя (см. рис. 2.1). Найтизависимость т = r^1, £2, £3, t) радиус-вектора т от лагран­жевых координат f1, £2, £3 (или zj, z2, Zq), индивидуализи­рующих точки материального континуума, и времени t озна­чает найти закон движения сплошной среды и знать движение111любой ее индивидуальной точки из бесконечно большого ихчисла.По определению, перемещение и — векторная величина,характеризующая изменение положения индивидуальных то­чек относительно системы отсчета наблюдателя (см. рис.

2.1).Перемещение вводится как разность радиус-векторов, харак­теризующих текущее и начальное положения индивидуальнойточки: и = r — R. Как и всякий вектор (тензор первого ранга),вектор перемещения может быть представлен в разложении повекторам основного или взаимного базиса через свои ковари­антные или контрвариантные компоненты: и = игт1 — игГ}.Компоненты перемещения связаны с компонентами радиусвектора (или координатами индивидуальных точек относи­тельно системы отсчета наблюдателя) согласно очевиднымсоотношениям иг = хг — х$.Скорость v — векторная величина, характеризующая бы­строту изменения перемещения индивидуальных точек (илииндивидуальных частиц) материального континуума относи­тельно системы отсчета наблюдателя.

Значение скоростиопределяется значением частной производной перемещения ипо времени /, вычисляемой при фиксированных значениях ла­гранжевых координат f1, £2, £3:дгdtС учетом того, что в общем случае перемещения индивиду­альных точек различны, т.е. и = ,н(£1, £2, £3, ^), а значениялагранжевых координат f1, £2, £3 раз и навсегда закрепляют­ся за каждой индивидуальной точкой и от времени не зависят,скорость, по существу, определяется как полная производнаяперемещения и (или радиус-вектора индивидуальной части­цы) по времени, т.е.du _ drVdtdt'Вектор скорости может быть представлен в разложении повекторам основного или взаимного базиса через свои ковари­антные или контрвариантные компоненты: v == vlT{.112При этом компоненты вектора скорости определяются пол­ными производными компонент вектора перемещения (илитекущих координат индивидуальных точек) по времени:vl = du1 /dt = dxl/dt.Ускорение a — векторная величина, которая может бытьзаписана через свои компоненты как а = аггг = агГ{ и харак­теризует быстроту изменения скорости движения индивиду­альных точек относительно системы отсчета наблюдателя:dvdtdtКомпоненты вектора ускорения связаны с компонентами век­торов скорости и перемещения, а также с текущими коорди­натами индивидуальных точек следующими соотношениями:аг = dv1 /dt = d2ul/dt2 = d2xl/dt2.

Необходимо отметить, чтов общем случае для криволинейных систем координат взаимо­связь между компонентами аг вектора ускорения и скоростямиизменения компонент вектора скорости dv1 /dt выглядит болеесложным образом в связи с зависимостью базисных векторовгг от координат х] точек пространства, изменяющихся придвижении индивидуальных точек (см. (2.3)). Эта взаимосвязьвыявляется из преобразованийdvd(ylrt)а а'Г1dtdtidridxJdv1ik;_dv1= HTi + v ai>-dT = ^ + vr4riV ~=+ '’’’’‘V- = (1Г +и выглядит какОднако для большинства представляющих практический ин­терес случаев (многомерные течения, рассматриваемые в де­картовой прямоугольной системе координат, двумерные и од­номерные осесимметричные течения, рассматриваемые в ци­линдрической системе координат, одномерные течения с цен­тральной симметрией, рассматриваемые в сферической систе­ме координат) vkv3Tlkj = 0.

Поэтому в дальнейшем будем по­лагать аг = dv1 /dt (см., например, разделы 2.4.3 и 4.1.3).113Для описания движения сплошной среды используются нетолько приведенные выше кинематические величины. В связис тем, что объектом изучения в механике сплошных сред явля­ются деформируемые среды, расстояния между индивидуаль­ными точками которых могут изменяться в процессе движе­ния под действием внешних сил, в рассмотрение вводятсядополнительные величины, количественно характеризующиедвижение материального континуума.

К их числу относят­ся тензоры второго ранга: тензор деформаций (е) = tijr'r3,тензор скоростей деформаций (ё) = ё^тгт3, тензор поворота(и) = сог]тгт], тензор скоростей поворота (cj) = Со^ггт3.Тензор деформаций является характеристикой деформи­рованного состояния материального континуума и определя­ется для его произвольной точки. Поле тензора деформаций,найденного для любой индивидуальной точки материальногоконтинуума, характеризует деформированное состояние телав целом.

Тензор деформаций вводится в рассмотрение присравнении расстояний между данной индивидуальной точкойи точками, находящимися в бесконечно малой ее окрестности,до и после деформирования.На рис. 2.5 показан индивидуальный объем материаль­ного континуума, занимающий в начальный момент времениt = to (соответствующий исходному недеформированному со­стоянию) область пространства Do- Будем считать, что поддействием внешних сил индивидуальные точки материально­го континуума совершили перемещения и к моменту време­ни t > to этот индивидуальный объем занимает область про­странства D}. Выделим в начальный момент времени произ­вольную точку Л/, для которой и определим тензор дефор­маций.

В исходном не деформированном состоянии положе­ние выделенной индивидуальной точки М относительно систе­мы отсчета наблюдателя характеризуется радиус-векторомR. Выберем теперь в начальный момент времени t = to произ­вольную индивидуальную точку Л/i, находящуюся в бесконеч­но малой окрестности данной точки М. Положение точки М\относительно точки М определяется вектором djR, который114можно рассматривать как бесконечно малое приращение илидифференциал радиус-вектора R. Очевидно, что расстояниемежду двумя выбранными индивидуальными точками опреде­ляется модулем вектора dR: (dZ)2 = dR • dR.Введем в начальный момент времени сопутствующую си­стему отсчета, выбрав в качестве точки отсчета индивиду­альную точку 01 и приняв декартову прямоугольную системукоординат.

Характеристики

Список файлов книги