babkin_selivanov (550243), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Учитывая далее, что скалярные произведениябазисных векторов определяют соответствующие метрическиекоэффициенты (^Rk -R} = дк, Ri 'Rf = д\, Rk Rl = gkl^ , являющиеся по отношению к ковариантному дифференцированиюпостоянными величинами, и используя такую операцию тензорной алгебры, как жонглирование индексами, получаем2е^' =+^iuk)gj+^j^i)si+^^k)^jm)g kl = Vi(ukgty +(«/<?!) += VtUj + VjUi +Окончательно геометрические соотношения, определяющие компоненты тензора деформаций через перемещения, приобретают видEij = 0,5 (v,u, + VjUt- +VjUk).(2.9)Здесь индексы i и j являются свободными, каждый из нихможет принимать любое значение (г = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3),поэтому одной формулой (2.9) с использованием индексныхобозначений записано девять различных соотношений.
Геометрические соотношения включают два члена, линейных относительно абсолютных производных, и квадратичный членпредставляющий собой сумму трех попарных произведений соответствующих абсолютных производных. Дляважного частного случая малых деформаций, когда перемещения ц, индивидуальных точек материального континуумамало отличаются друг от друга, а следовательно, малы и абсолютные производныекомпонент по координатам, квадратичный член имеет более высокий порядок малости посравнению с линейным и им можно пренебречь. Геометрические соотношения для случая малых деформаций приобретают вид£lj =0,5(V^ +(2.10)В дальнейшем при изложении вопросов теории деформацийбудем считать, что деформации малы, а геометрические соотношения имеют вид (2.10).123Приведем краткую характеристику введенного в рассмотрение тензора деформаций — тензора второго ранга. Значения его компонент, различающихся порядком чередованияиндексов, одинаковы.
Это следует, например, из геометрических соотношений (2.10):£ij — 0,5(Vl'Uj 4~ Vytij) — 0,5(Vj'i/’j H- Vjt/j) —т.е. тензор деформаций является симметричным. Совокупность девяти его компонент образует симметричную матрицувторого ранга£11£12£13 V£12£22£23£13£23£зз,'задаваемую не более чем шестью различными членами. В соответствии с установленным выше геометрическим смысломкомпонент тензора деформаций на главной диагонали приведенной матрицы находятся коэффициенты относительныхудлинений материальных отрезков, взятых вдоль координатных линий сопутствующей системы координат. Остальныеэлементы этой матрицы (£12, 613, £23) характеризуют изменения углов между координатными линиями сопутствующей системы координат вследствие деформирования материальногоконтинуума в окрестности данной индивидуальной точки.Помимо введенных компоненттензора деформаций(см.
(2.4)) в теории деформаций рассматривают также физические компонентытензора деформаций, или истинные деформации, что целесообразно по следующим причинам.Тензор деформаций (б) =введен в декартовой прямоугольной системе координат, где базисные векторы не имеютразмерности. Не имеют размерности в этом случае и компоненты тензора деформаций.
Поэтому в исходной системе координат тензор деформаций в целом является математическимобъектом, не имеющим размерности. Однако, как и всякийтензор, он может быть представлен в любой другой системе124координат, оставаясь инвариантным по отношению к такому преобразованию, а следовательно, оставаясь безразмернымобъектом:В новой системе координат базисные векторы могут приобретать размерность. Например, в цилиндрической системе координат (ж1 = г, х2 = 0, ж3 = z) два базисных векторат*1 = дт/дх1 = дт/дт и гз = дт/дх^ = dr/dz не имеют размерности, а третий Г2 == дт/дх2 = дт/д0 обладает размерностью длины, что является следствием выбора в качествевторой координаты х2 угла 0. Таким образом, в случае задания тензора деформаций (б) =в произвольной системе координат базисные математические объекты могут обладать размерностью.
Но тогда обратной размерностью должны обладать компоненты тензора деформаций в этой же системе координат, так как только в этом случае тензор останетсябезразмерным математическим объектом.Итак, физические компоненты тензора деформаций вводятся в случае его задания в произвольной системе координат. Это компоненты, образующиеся при использовании вкачестве базисных математических объектов единичных безразмерных векторов, коллинеарных векторам основного иливзаимного базиса.
Выражение для физических компонент получается при преобразовании тензора деформаций к виду, прикотором базисные математические объекты нормируются относительно собственного модуля, что сопровождается дополнительными преобразованиями для сохранения неизменноститензора в целом:(£) = Cijr'rJ = £0|гг| HI== Eij \/г* ■ гг у/ri ■ ri ele^ =,где еге} — диадные произведения единичных безразмерныхбазисных векторов;yfg" у/g]] — физические компоненты тензора деформаций (суммирование по i и j отсут125ствует!). Очевидно, что физические компоненты имеют размерность деформации, т.е.
являются безразмерными величинами. Отметим также, что в общем случае введенные в соответствии с (2.4) компоненты £гу, которые в противовес физическим компонентам могут быть названы геометрическими,отличаются от физических компонент £(гу)- В частном случаедекартовой прямоугольной системы координат (дгг = д}} = 1)различие между ними отсутствует и= £(гу)Из курса теоретической механики известно, что движениеабсолютно твердого (недеформируемого) тела складываетсяиз поступательного движения центра масс и вращательногодвижения вокруг оси вращения, проходящей через центр масс.Движение деформируемой среды является более сложным, таккак возможно изменение расстояний между индивидуальнымиточками материального континуума. При этом появляется дополнительная деформационная составляющая движения. Движение деформируемой среды усложняется еще и потому, чтовращательная и деформационная составляющие могут бытьсовершенно неодинаковыми в различных индивидуальных частицах среды.На рис.
2.8 показано положение индивидуального объемасплошной среды для момента времени t = to, принятогоза начало отсчета времени. Положение произвольной индивидуальной точки М относительно системы отсчета наблюдателя характеризуется радиус-вектором R = Я(^, £2, £3)-126Выберем в бесконечно малой окрестности данной индивидуальной точки М другую индивидуальную точку Л/j, положение которой относительно точки М характеризуется векторомdR = (dR/dt?) d£l = R{ d£\ где R± — базисные векторы недеформированной сопутствующей системы координат в даннойиндивидуальной точке М; d£l — бесконечно малые приращения переменных, индивидуализирующих точки сплошной среды (лагранжевы координаты), соответствующие переходу отточки М к точке Mi. Будем считать, что к произвольномумоменту времени t > Zq индивидуальный объем переместилсяв новое положение.
При этом индивидуальная точка М совершает перемещение и и занимает положение М\ а находящаясяв ее окрестности точка Mi совершает перемещение uiи изанимает положение М{. Перемещение щ отличается от перемещения данной индивидуальной точки М на бесконечно малую величину относительного перемещения du: ui = и + du.В общем случае перемещения, совершаемые разными индивидуальными точками, различны: и =£2, £3). Поэтому величина относительного перемещения определяется какdu = du^1, £2, f3) = (du/d^dt?.
С использованием представления вектора перемещения через ковариантные компоненты (u = u^R^} и на основе правил дифференцированиятензоров получимdu —В соответствии с правилами скалярного умножения тензоров представим величину относительного перемещения du какскалярное произведение вектора dR = Rid%\ характеризующего начальное положение точки Mi относительно даннойточки М, и некоторого тензора второго ранга (yiU^R'Rk,компонентами которого являются абсолютные производныекомпонент вектора перемещения:du =Rk d? = (Ri■ (ViUkRiR*').127Очевидно, что тензор второго ранга ViUkRlR^ может бытьпредставлен как результат действия оператора ГамильтонаV =на вектор перемещения и = ukRk и в соответствии с символическим подходом является градиентом перемещения grad (u) = ^iU^RlRk.
Представим теперь градиент перемещения в виде суммы двух тензоров второго ранга,в связи с чем относительное перемещение разделится на двесоставляющие:du = (Rt df)• [о, 5 (угик + VkUi) RlRk] ++ (я,^) • [0,5 (V.-ujt - V^t)fll7?].Первая составляющая в соответствии с (2.5) и (2.10) равна скалярному произведению вектора dR и определенного вданной индивидуальной точке М тензора деформаций (б) —= C{kRlRk. Очевидно, что эта составляющая относительногоперемещения индивидуальных точек за счет деформированияравнаdua = (Ri df) ■ ^i^R^ = dR ■(s) = (s) • dR.(2.11)Вторая составляющая равна скалярному произведению тогоже самого вектора dR и некоторого определенного в даннойточке тензора второго ранга (u>) = u^R^R^, компоненты которого представляются как полуразности абсолютных производных компонент вектора перемещения:"ik = 0,5(VW- Ъкщ).(2.12)Отметим, что вторая составляющая относительного перемещения точки, находящейся в бесконечно малой окрестностиданной точки, связана с поворотом всей окрестности даннойточки как единого жесткого целого:dua = (Rt df) ■ (uikR'R*) = dR • (w).128(2.13)Тензор второго ранга (и) = cu^RR^ характеризует относительное перемещение индивидуальных точек сплошной среды за счет вращательной составляющей движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
