babkin_selivanov (550243), страница 23
Текст из файла (страница 23)
2.14). Перемещение,которое в результате деформирования получает конец Afj выбранного материального отрезка, в соответствии с (2.17) определится выражениемdun = (е) • п = Eijn^R1 — fin1#* + E2n2R2 + е3п3Я3.Материальный отрезок изменяет свою длину на величинуdun = du^ • п = sin2 + ^2П2 + £Зпз> а модуль тангенциальной составляющей перемещения duT определяет сдвиговую145деформацию в окрестности данной точки, соответствующуювыбранному направлению вектора п. Очевидно, чтоdu2 = \dua\2-dv2l=e2n2 + е2п2 + t^n2 - (einj + £2^ + ^3) ,или с учетом единичности длины вектора п получимdu2 = £j(l - п22 - nj) + e2nl + ejnl -[£1(1 - п22 - п|) + £2«2 + £з^з] •Значение тангенциальной составляющей перемещения du^зависит от направления материального отрезка и является функцией компонент п2 и П3 направляющего вектора(П1 = У1 - п2 - п3 .
Направления, которым соответствуют максимальные значения тангенциальной составляющей относительного перемещения, а следовательно, и максимальные сдвиги, определяются из условий d(du^/дп2 = 0 иd(^du^ Удп^ = 0. Например, из первого условия следует, что2(е2 - £1) п2 [(е2 + £1) - 2ei - (е2 - £1) п2 - (ез - £1) ™з] = °Это позволяет определить одно из направлений экстремальных сдвиговых деформаций пз = 0, ni = п2 = 1/х/2 и соответствующую этому направлению максимальную тангенциальную составляющую перемещения (du^)= [(ei — £2)/2]2X146/ maxили \ duT)= (fi — e2)/2. Аналогичным образом определяX/ maxются и два других направления в окрестности данной точки,которым соответствуют экстремальные значения сдвиговыхдеформаций, и устанавливается тот факт; что они характеризуются разностями главных деформаций.Таким образом, интенсивность деформацийдействительно является обобщенной характеристикой сдвиговыхдеформаций в окрестности индивидуальной точки материального континуума.2.2.4.
Шаровой тензор деформацийи девиатор тензора деформацийВ общем случае при деформировании может происходитьизменение как объема индивидуальных частиц материальногоконтинуума, так и их формы. В полных деформациях, характеризуемых тензором деформаций (е), может быть выделеначасть, которая определяет изменение объема, и часть, котораясвязана с изменением формы. Соответственно и тензор деформаций в целом (б) может быть представлен в виде суммы двухтензоров второго ранга — шарового тензора деформаций (5е)и девиатора тензора деформаций(б) = (Sg) + (£>е).Компоненты шарового тензора деформаций (5е) образуются на основе производного инварианта тензора деформацийв целом — средней деформации — с использованием компонент gij (или glJ, или д?) фундаментального метрическоготензора системы координат: S£{j = egij.
Совокупность девяти компонент шарового тензора деформаций образует диагональную матрицу, содержащую на главной диагонали величину средней деформации. Поверхность деформации Кошидля определенного таким образом тензора будет являться сферической, чем и объясняется его название “шаровой тензор”.Убедимся в том, что шаровой тензор деформаций действительно характеризует часть полных деформаций, определяющих изменение объема индивидуальных частиц материального континуума и не связанных с изменением их формы.147Для этого необходимо определить производные инвариантышарового тензора — среднее значение S и интенсивность St— и сравнить их с соответствующими инвариантами тензорадеформаций в целом (б и £t).
Действительно, первый и второйосновные инварианты шарового тензора деформаций в соответствии с определением инвариантов и компонент шаровоготензора равны:T1(S£) = Seijg^ = egij9^ == £ (<7ц<7П + 922S22 + 9зз933) = 3£;T2(Se) == e2gtjg^ = Зе2.При определении выражений для основных инвариантов имелось в виду, что сумма произведений ковариантных и контрвариантных компонент метрического тензора gijgl} вследствиевзаимно обратного характера преобразования указанных компонент является величиной, инвариантной относительно преобразования системы координат. Значит, эта величина можетбыть вычислена в любой ортогональной системе координат,где отличны от нуля лишь метрические коэффициенты с одинаковыми индексами, а метрические коэффициенты основногои взаимного базисов взаимно обратны.
Из соотношений (2.27)и (2.28) следует, что среднее значение шарового тензора S совпадает со значением средней деформации е, а интенсивностьшарового тензора 5г = 0. Таким образом, производный инвариант шарового тензора, характеризующий изменение объемаиндивидуальных частиц сплошной среды, совпадает с соответствующим производным инвариантом тензора деформацийв целом, а производный инвариант шарового тензора, характеризующий формоизменение, равен нулю. Это дает основаниеутверждать, что шаровой тензор деформаций характеризуетту часть полных деформаций, которая определяет изменение объема индивидуальных частиц материального континуума и не связана с изменением их формы.Девиатор тензора деформаций (D£) (в дальнейшем — девиатор деформаций) представляет собой тензор второго ранга,дополняющий шаровой тензор до тензора деформаций в целом.148Девиатор деформаций как бы показывает, насколько тензордеформаций в целом отклоняется от шарового (от латинскогослова deviatio — отклонение).
Компоненты девиатора деформаций — это разности компонент тензора деформаций в целоми компонент шарового тензора: D£{j =— egij. Первый ивторой основные инварианты девиатора деформаций определяются выражениямиT^D£) = Deijg^ = (etj-e9lj)g^ == £ijglj -sgtjgij = Т^е)-Зе = О-T2(De) = D£ijDl£j = {el} - eg^) (£‘> - eg”) == etje^ — 3e2= T2(£)-|t2(£).Но тогда среднее значение девиатора деформаций равно нулю,а его интенсивность с учетом (2.28) можно определить какЛ = ^Узт2(Ре)-т2(Ре) === ^ф>Т2(е) - Т^е) = ег,(2.31)т.е. она равна интенсивности деформаций е,. Таким образом,производный инвариант девиатора деформаций, характеризующий изменение объема индивидуальных частиц, равен нулю,а производный инвариант, характеризующий формоизменениеиндивидуальных частиц, совпадает с соответствующим производным инвариантом тензора деформаций в целом.
Это дает основание утверждать, что девиатор тензора деформацийхарактеризует ту часть полных деформаций, которая определяет изменение формы индивидуальных частиц материального континуума и не связана с изменением их объема.2.2.5.
Понятие об уравненияхсовместности деформацийУравнения совместности деформаций устанавливают взаимосвязи между компонентами тензора деформаций, являющимися в общем случае функциями координат. В этом разделе ограничимся обоснованием необходимости существования149уравнений совместности деформаций, описанием принципа ихполучения и физического смысла.Будем считать заданным поле перемещений сплошнойсреды и = и(х1, х2, ж3). В соответствии с этим для каждойточки пространства с координатами х1, х2, х3 относительносистемы отсчета наблюдателя определяется вектор перемещения, которое получила индивидуальная точка, находящаясяв данной точке пространства. Векторное поле перемещенияможно считать заданным, если известны три скалярные функции вида щ = ^(х1, х2, х3).
В соответствии с геометрическими соотношениями (2.9), выражающими компоненты тензорадеформаций через компоненты щ вектора перемещения, можно по заданному полю перемещений определить поле компонент тензора деформаций. Тензор деформаций имеет девятькомпонент, поэтому на основе трех функций, компонент вектора перемещения от координат щ = цДх1, х2, х3) получаютсядевять функций компонент тензора деформаций от координат:£ij = Cijfa1, х2, х3\ =0,5 (vtuy + Vyu,' + VjUfcVyu*).Очевидно, что девять функций координат Sij = Eij(x\ х2, х3),определенные всего лишь по трем исходным функциям координат щ — цДх1, х2, х3), не могут быть совершенно произвольными и должны быть определенным образом взаимосвязаны, причем число устанавливающих взаимосвязи соотношений должно равняться шести.
Уравнения, устанавливающиевзаимосвязи между компонентами тензора деформаций какфункциями координат, называются уравнениями совместности деформаций.Уравнения совместности деформаций вытекают из геометрических соотношений, в чем можно убедиться на следующем частном примере. Будем считать поле перемещений заданным в декартовой прямоугольной системе координат(х1 = х, х2 = у,— z). Предположим также, что деформации малы. В таком случае геометрические соотношения (2.10)принимают вид150Из девяти приведенных здесь геометрических соотношенийвыделим лишь три, необходимые для получения одного изуравнений совместности деформаций:дих£п=егг = —;диу£22 =£уу =Продифференцируем теперь первое из выделенных соотношений дважды по координате у, второе — дважды по координатеж, а результаты сложим:д^ихд^иуду2дх + дх2дуд2дхдудихдудиу \дх /Полученная смешанная производная второго порядка удвоенной сдвиговой деформации 2еху = дих/ду + диу/дх позволяетзаписать одно из уравнений совместности деформаций:д2е хх I д2£р __ 2 д2ехуду2дх2дхдуАналогичным образом могут быть получены остальные пятьуравнений совместности деформаций.Физический смысл уравнений совместности деформаций заключается в том, что их выполнение соответствует сохранению сплошности материального континуума приего деформировании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
