babkin_selivanov (550243), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Тензор напряжений охватывает всю эту бесконечно боль­шую совокупность, позволяя определить конкретные значенияэтих величин на любой площадке, ориентация которой зада­ется единичным вектором нормали п к ней. Действительно,из определения тензора напряжений (2.39) следует соотноше­ние, выражающее вектор полного напряжения на площадкепроизвольной ориентации, сгп = (сг) • п = antrl, где компо­ненты вектора полного напряжения на выбранной площадкеопределяются компонентами тензора напряжений и зависят оториентации этой площадки, т.е. от компонент п3 единичноговектора нормали п к этой площадке:<тп, = <т^пЛ(2.41)Нормальное напряжение определяется как проекция векто­ра полного напряжения на направление нормали к площадке<7(п) =• П = (<т) • п ■ п = (aijnir*') ■ (nkrk^ = Vijni (nk9tk>)и также зависит от компонент тензора напряжений и ориентации площадки:а(п) “ (а) ’ п п = &ijnln3(2.42)(сравните с формулой (2.19) для вычисления коэффициен­та относительного удлинения бесконечно малого произволь­но ориентированного материального отрезка в окрестностиданной точки материального континуума).

Наконец, каса­тельное напряжение г, действующее на выбранной площадке6*163(см. рис. 2.17), в соответствии с очевидными геометрически­ми соображениями определяется из выражения т2 = сгп • сгп —Таким образом, зная тензор напряжений в индивидуаль­ной точке сплошной среды, можно рассчитать полное, нор­мальное и касательное напряжения на любой площадке, про­ходящей через данную точку, что и позволяет рассматриватьтензор напряжений как характеристику напряженного состо­яния среды в данной точке.2.3.3. Главные оси, главные площадкии главные значения тензора напряжений.Геометрическое представлениетензора напряженийИз бесконечно большого числа площадок, которые можнопровести через точку материального континуума, где суще­ствует напряженное состояние, целесообразно выделить глав­ные площадки — площадки, на которых отсутствуют каса­тельные напряжения.

Направления по нормали к этим пло­щадкам определяют главные направления, или главные оси,тензора напряжений, а нормальные напряжения, действую­щие на этих площадках, называются главными напряжения­ми или главными значениями тензора напряжений. Из при­веденного определения следует, что на главной площадке век­тор полного напряжения ап коллинеарен единичному векторуп данного главного направления, т.е. сгп = Ап, где скаляр­ная величина А характеризует главное напряжение на данной164главнойплощадке(рис. 2.21).При по­ложительном значенииЛ на данной главнойплощадке действуетрастягивающее напря­жение, а при отрица­тельном — сжимаю­щее.Главные оси и главные значения тензора напряженийопределяются по аналогии с принципом нахождения главныхосей и главных значений тензора деформаций.

Единичныйвектор п будет определять главное направление, если выпол­няется условие ап = (сг)-п = Ап, где А — главное напряжениена главной площадке, ортогональной искомому главному на­правлению. Указанное уравнение с использованием соотноше­ния (2.39) и правил тензорной алгебры может быть приведенок условию— Xgij)n3rl = 0, что формирует систему урав­нений типа (2.21), содержащую компоненты тензора напря­жений и включающую в качестве неизвестных величин трикомпоненты (п1, п2, п3) единичного вектора искомого главно­го направления и величину А соответствующего главного на­пряжения. Полученная система уравнений замыкается усло­вием (2.22) единичности вектора п.Дальнейшее решение этой системы уравнений, опреде­ление главных напряжений А = Aj = crj, А = А2 = <^“2,А = A3 = аз и соответствующих каждому из трех главных на­правлений единичных векторов ni, П2, П3 проводится анало­гично тому, как это выполнялось в теории деформаций.

Мож­но показать, что все три главных направления тензора напря­жений взаимно перпендикулярны, т.е. с ними можно связатьдекартову прямоугольную систему координат (т/1, ?/2, ?/3), еди­ничные базисные векторы которой совпадают с единичнымивекторами главных направлений R^ = ni, R^ = п?, R^ = П3.В этой системе координат площадки, совпадающие с коорди­натными поверхностями, являются главными площадками и165на них действуют только нормальные (главные) напряжения,а касательные напряжения отсутствуют.

В соответствии сфизическим смыслом компонент тензора напряжений в декар­товой прямоугольной системе координат, связанной с его глав­ными осями, отличны от нуля лишь три компоненты с одина­ковыми индексами <7ц = <71, с?22 — ^2, 67 33 = ^з> поэтому тен­зор напряжений в этой системе координат можно представитьчерез его главные значения:(<т) = ai R\R\ +(2.43)Так же как и при геометрическом представлении тен­зора деформаций, геометрическим образом тензора напряже­ний (сг), характеризующего напряженное состояние в индиви­дуальной точке материального континуума, является поверх­ность второго порядка — поверхность напряжений.

Она вво­дится в рассмотрение так же, как и поверхность деформацииКоши, и обладает аналогичными свойствами, поэтому в этомразделе ограничимся лишь установлением геометрическогосмысла поверхности напряжений.Поверхность напряжений — это геометрическое место то­чек, окружающих данную точку и подчиняющихся условию(ст) г г = const или aijx'x} = const, где г — радиус-вектор,направленный из данной точки к точке поверхности; х' — ко­ординаты точек поверхности относительно данной точки. По­скольку радиус-вектор г может быть представлен как г = пг,где п характеризует направление от данной точки к точкеповерхности, ат — расстояние от данной точки до точки по­верхности, уравнение, описывающее поверхность напряжений,может быть записано в виде (а) • п • nr2 = const или с учетом(2.42) в виде cr^ = const /г2, где= (а)-п-п — нормальноенапряжение на площадке, ориентация которой задается нор­малью п.

Следовательно, поверхность напряжений — этогеометрическое место точек, окружающих данную точку,таких, что величина нормального напряжения на площадках,перпендикулярных направлению от данной точки к точке по­верхности, обратно пропорциональна квадрату расстоянияот данной точки до точки поверхности.1662.3.4. Инварианты тензора напряженийТензор напряжений ранее вводился в рассмотрение в де­картовой прямоугольной системе координат.

Однако, как ивсякий тензор, он может быть представлен и в любой другойсистеме, например в декартовой прямоугольной системе коор­динат, связанной с главными направлениями. Являясь объек­тивной характеристикой напряженного состояния материаль­ного континуума, не зависящей от субъективно выбираемойсистемы координат, тензор напряжений остается инвариант­ным по отношению к преобразованию системы координат:Из тензорного исчисления известно, что именно это обстоя­тельство приводит к изменению компонент тензора при пере­ходе от одной системы координат к другой, что неудобно дляанализа напряженного состояния.Проводить анализ напряженного состояния более удобнос помощью инвариантов тензора напряжений — скалярныхвеличин, составленных из компонент тензора напряжений ине изменяющихся при переходе от одной системы координат кдругой.Основные инварианты тензора напряжений — линей­ный Ti(cr), квадратичный ^(сг) и кубический Тз(сг) — вво­дятся аналогично основным инвариантам тензора деформа­ций.

Каждый из трех основных инвариантов может быть вы­ражен через компонентытензора напряжений в произволь­ной системе координат и метрические коэффициенты д'} этойже системы координат, через физические компонентывкакой-либо ортогональной системе координат или через глав­ные напряжения — компоненты тензора напряжений в глав­ных осях:167Т1(ст) == (7П011 + cr22g22 + cr33<?33 == <T(11) + CT(22) + <^(33) =al + a2 + <?3 >Г2(<т) = a0<7*> == ^apgtag3p = <7(2n) + <t(222)+ 2ct212j + 2<t213) + 2<t223)+ ct(233)+(2.44)= <т2 + <т2 + ct3;T3(cr) = alrfv'k =- ViaVjpVkig 99= <4 +°2+ ^3-Однако наиболее удобно проводить анализ напряженно­го состояния с помощью производных инвариантов тензоранапряжений — среднего напряжения а и интенсивности на­пряжений О’,.Среднее напряжение является производным инвариантомпервого основного инварианта: а = Ti(cr)/3 = (crj + сгз ++сгз)/3.

Физический смысл среднего напряжения установимна частном примере напряженного состояния всестороннегоравноосного сжатия, реализуемого, например, при сжатиипоршнем жидкости в цилиндре (рис. 2.22). В этом случаена гранях любой индивидуальной частицы жидкости действу­ют одинаковые сжимающие напряжения ai = —р, 0*2 = — р,аз = —р. Среднее напряжение с точностью до знака равнодавлению, действующему в данной индивидуальной частице:сг = —р, т.е.

среднее напряжение и первый основной инвари­ант тензора напряжений определяют давление в индивиду­альной частице сплошной среды, появление которого связанос изменением объема индивидуальных частиц./XРис. 2.22168Интенсивность напряжений является производным ин­вариантом первого и второго основных инвариантов тензоранапряжений, т.е.<7,- =у/зТ2(а)-Т?(а),(2.45)и с учетом (2.44) может быть выражена через физические ком­понентыв любой ортогональной системе координат илиже через главные напряжения o*i, сг2,Oi =V22+ (ст(33) - ^(11))2+ 6 (ст(12) + а(23) + а(213))** 5- <^г)2 + (<^2 - <?з)2 + (<?з - <71 )2-(2Л6)(2.47)Форма (2.47) представления интенсивности напряжений по­зволяет обосновать выбор постоянного коэффициента \/2/2.Он выбран исходя из того, что для простейшего случаянапряженного состояния одноосного растяжения (criО,сгз = сгз = 0) интенсивность напряжений должна равнять­ся единственному отличному от нуля главному напряжению:сгг = CFj .Физический смысл интенсивности напряжений заключа­ется в том, что эта величина является интегральнойобобщенной характеристикой касательных напряжений,действующих в окрестности данной точки материально­го континуума.

Так как появление касательных напряже­ний связано с изменением формы индивидуальных частиц ма­териального континуума, то интенсивность напряжений —это обобщенная характеристика напряжений, возникающихв связи с формоизменением частиц сплошной среды.Последнее утверждение нуждается в обосновании, таккак в выражение (2.47) касательные напряжения вообще не169включены ввиду их отсутствия на главных площадках. Од­нако это отсутствие вовсе не означает, что касательных на­пряжений нет на любых других площадках, проведенных че­рез данную индивидуальную точку материального контину­ума. Из курса сопротивления материалов известно, что экс­тремальные значения касательных напряжений действуют наплощадках, равнонаклоненных к главным площадкам, и опре­деляются полуразностями главных напряжений.

Характеристики

Список файлов книги