babkin_selivanov (550243), страница 28
Текст из файла (страница 28)
если для каждой индивидуальной точки будет выполняться условиеF+ div(cr) = 0.(2.51)Соотношение (2.51) представляет собой условие равновесия вобъеме тела, согласно которому распределение напряжений внаходящемся в равновесии материальном континууме не может быть произвольным, а должно быть определенным образом взаимосвязанным с объемными силами.Из тензорной формы записи условий равновесия (2.51)можно получить запись этих условий через компоненты тензоров. Для этого необходимо представить каждый участвующий в уравнении (2.51) тензор через соответствующиекомпоненты, например через контрвариантные: F = F'ri,(а) =а затем на основе символического подхода кпроведению дифференциальных операций первого порядка стензорами определить дивергенцию тензора напряжений:div(cr) =[vfc(...)r*] • (<7VT4Tj) == (v*a‘')(rk. r.) rj = (vfc<?>) gkrj = V^’gty rj == V*(<7*J) rj= (VjCTJl) Г{= (Vjffv) Ti.В процессе преобразования приведенных выражений использовались правила скалярного умножения тензоров, учитывалось постоянство метрических коэффициентов по отношению176к абсолютному дифференцированию, принимались во внимание возможность замены одного индекса другим и возможность обозначения индекса суммирования любой буквой, а также симметричность тензора напряжений.
Из тензорного условия (2.51) следуют три условия равновесия в объеме тела, выраженные через компоненты тензоров:F' += 0.(2.52)2.4. Законы сохраненияв механике сплошных сред.Элементы термодинамики сплошных сред2.4.1. Полная, локальная и конвективнаяпроизводныеПоведение сплошных сред при их нагружении, движениии деформировании подчинено основным фундаментальным законам природы — законам сохранения массы, импульса, энергии (первый закон термодинамики) и второму закону термодинамики. Применительно к материальному континууму законысохранения выражаются через дифференциальные уравненияв частных производных. К их числу относятся уравнения неразрывности, движения и энергии.Прежде чем перейти к выводу соответствующих уравнений, рассмотрим частный вопрос, связанный с особенностямивычисления производной какой-либо величины по времени приописании движения с позиций Лагранжа и Эйлера, что приводит к определению понятий полной, локальной и конвективнойпроизводных.Пусть движение сплошной среды описывается с позиций Лагранжа, т.е.
для любой величины, характеризующейдвижение и состояние сплошной среды, определена ее зависимость от лагранжевых координат f1, £2, £3, индивидуализирующих точки материального континуума, и времени t.177Для определенности будем считать заданным изменяющееся во времени распределение температуры в сплошной среде:Т = Т(^1, £2, £3, /). Найдем частную производную,полагая фиксированными переменные £*, £2, £3.
Так как лагранжевы координаты £*, £2, £3 навсегда закрепляются за каждой индивидуальной точкой (или индивидуальной частицей)сплошной среды и не зависят от времени, рассматриваемаячастная производная является полной производной по времени, т.е.dTdi ’и характеризует скорость изменения значения рассматриваемой величины для выделенной, фиксированной лагранжевымикоординатами f1, £2, £3 индивидуальной точки (или индивидуальной частицы) среды. Определенная подобным образомпроизводная по времени называется полной, или индивидуальной, или субстанциональной производной.Нахождение полной производной по времени при описании движения с позиций Эйлера существенно усложнено. Вэтом случае изменяющееся во времени распределение какойлибо величины в сплошной среде задается в виде зависимости этой величины от времени t и от текущих координат ж1, ж2, ж3 индивидуальных точек среды относительносистемы отсчета наблюдателя (эйлеровых координат): Т == Т^х1, ж2, я3, /).
При движении сплошной среды текущиекоординаты ж1, ж2, ж3 ее индивидуальных точек зависят отлагранжевых координат f1, £2, £3, а также от времени t: х' ==£2, £3, /)• Тогда178vl — компоненты вектора скоростигдедвижения индивидуальных точек материального континуума;дТ/дх1 — компоненты вектора gradT = (д77&гг)г1. В целом полная производная по времени представляется в видесуммы двух составляющих:dTdtОТdtдТдх1+ v • grad Т,первая из которых называется локальной, или местной, производной, а вторая — конвективной производной. Локальная производная определяется при фиксированных значенияхэйлеровых координат х1, х2, х3 и характеризует скоростьизменения значения какой-либо величины в данной точкепространства. Очевидно, что локальная и полная производные по времени не совпадают и различие между ними, характеризуемое конвективной производной v • grad Т, связанос движением сплошной среды (в конвективной производнойфигурирует вектор скорости движения индивидуальных точек) и с неравномерностью пространственного распределениярассматриваемой величины (неравномерность характеризуется градиентом этой величины, фигурирующим в выражениидля конвективной производной).Физический смысл полной, локальной и конвективнойпроизводных и их взаимосвязи (2.53) могут быть уяснены с помощью следующего примера (рис.
2.25). Будем считать, что вмомент времени t в точке 1 пространства находится индивидуальная частица сплошной среды температурой 1\. В течениемалого интервала времени Д/ рассматриваемая индивидуальная частица совершает малое перемещение Дг = гД/, приэтом в общем случае ее температура изменяется и к моменту времени t + Дt становится равной Т[. Однако к моментувремени t + Д/ в точку 1 пространства приходит некотораядругая индивидуальная частица температуройнаходившаяся в момент времени t в точке 2 пространства и имевшая температуру Т2, причем положение точки 2 относительно точки 1 задано вектором —Дг = —гД£.
За время Д/ изменение температуры в точке 1 пространства с фиксированными эйлеровыми координатами хг определяется величиной179(д.г),<^ATj . = Т2 - 7\, a изменение температуры индивидуальной частицы с фиксированными лагранжевыми координатами— величиной (а?1) . = ^2 - 72- Следовательно, локальное изменение температуры отличается от изменения температуры индивидуальной частицы потому, что в данной точке пространства начальное и конечное значения температурыопределяются температурой совершенно различных индивидуальных частиц сплошной среды.
Изменение температуры вданной точке пространства может быть представлено в видесуммы двух составляющих:(дт)1. = ^-Г1 = (^-т2) ++ (Т2-Т1)= (дт)+(T2-Ti),(2.54)одна из которых выражает изменение температуры индивидуальной частицы, а вторая (72 — 71) связана с пространственной неравномерностью распределения температуры в исходный момент времени t Но для этого момента времени припереходе от точки 1 пространства к точке 2 в соответствии саналитическим смыслом градиента скалярной функции изменение температуры Т2 — 71 = —Ar * grad Г, где grad Т отнесен180к точке 7, а вектор —Дг = —гД/ характеризует относительное положение точки 2, взятой в малой окрестности точки 1.Тогда изменение температуры в данной точке пространства(дт) .
= (дт)^. - vbt • grad Т,что при Д/ —» О эквивалентно взаимосвязи (2.53) между полной, локальной и конвективной производными.Таким образом, конвективная производная определяетту часть изменения во времени какой-либо величины в данной точке пространства, которая связана с движением индивидуальных частиц сплошной среды и с неравномернымраспределением этой величины по частицам среды. Если жесреда не движется (г? = 0) или пространственное распределение величины равномерно (grad 7 = 0), значения полной илокальной производных совпадают.2.4.2.
Закон сохранения массы —уравнение неразрывностиСущность закона сохранения массы состоит в том,что при нагружении, движении и деформировании материального континуума масса т любого его индивидуальногообъема (или масса dm любой индивидуальной частицы) остается неизменной:т — j р dV = const;(2.55)Vdm = р dV = /?о dV$ — const,(2.56)где pg, dV^ — начальные плотность и объем индивидуальнойчастицы; р, dV — текущие (после деформирования) плотностьи объем индивидуальной частицы; V — значение индивидуального объема.181Более удобно выразить закон сохранения массы в дифференциальной форме, установив взаимосвязь между скоростьюизменения плотности индивидуальных частиц и полем скорости движения индивидуальных точек. С этой целью рассмотрим движение материального континуума относительно системы отсчета наблюдателя (ж1, ж2, ж3) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
