babkin_selivanov (550243), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Используя далее теорему Остроград-pndS =SSского — Гаусса (1.14), преобразуем (2.63) в соотношениекоторое в силу произвольности индивидуального объема V мо­жет выполняться лишь при условии равенства нулю подынте­грального выражения для любой индивидуальной частицы ма­териального континуума. Это и приводит к дифференциаль­ному уравнению, выражающему закон сохранения импульсадля сплошной среды:dv= F+ div(cr).(2.64)Согласно (2.64), получаемые индивидуальными частицамиускорения определяются объемными силами F, плотностью рданной частицы и зависят от пространственного распределе­ния напряжений.Подчеркнем, что дифференциальное уравнение (2.64) ма­тематически описывает один из законов природы, которыйявляется объективным и не зависит от субъективно выбира­емой исследователем той или иной системы координат. В со­ответствии с этим в полученном математическом выражениизакона сохранения импульса участвуют тензоры, инвариант­ные относительно выбора системы координат.

Это тензор ну­левого ранга — плотность р, тензоры первого ранга — векторобъемных сил F и вектор скорости г>, тензор второго ранга— тензор напряжений (а). Уравнение движения было получе­но без каких-либо предположений и ограничений на агрегат­ное состояние и физико-механические свойства среды, т.е. оносправедливо для описания движения любых сплошных сред.190Частным случаем движения сплошной среды является ееравновесие, когда индивидуальные точки или индивидуаль­ные частицы среды не получают ускорений и dv/dt = 0. Урав­нение движения в этом случае сводится к ранее полученномуусловию равновесия материального континуума (2.51).В заключение приведем запись закона сохранения импуль­са через компоненты соответствующих тензоров. Имея в виду,что тензорному уравнению (2.64) соответствуют три скаляр­ных дифференциальных уравнения, и определяя дивергенциютензора напряжений по аналогии с тем, как это делалось приполучении условий равновесия (2.52) в объеме тела, получаемискомые дифференциальные уравнения движения(2.65)=r+2.4.4.

Баланс механической энергии —теорема “живых сил”Из механики материальной точки известна теорема обизменении кинетической энергии, являющаяся прямым след­ствием второго закона Ньютона d(mv) = Fdt. При скалярномумножении этого уравнения на вектор скорости движения ма­териальной точки v получаем d(mv) • v = Fdt - v, где леваячасть d(mv)-v = d(mv^v/2) = d(mv2/2) определяет изменениекинетической энергии материальной точки за малый интервалвремени d/, а правая часть Fdt v = F- dr — работу равно­действующей внешних сил, совершаемую над материальнойточкой при ее перемещении на dr = vdt. В конечном счете иззакона сохранения импульса следует, что изменение кинети­ческой энергии материальной точки равно работе внешнихсил:mv^mv2~2~<2-/ F-vdt.<1191Для материального континуума полным аналогом тео­ремы об изменении кинетической энергии является теорема“живых сил”, приводящая к уравнению баланса механическойэнергии для сплошной среды.

Теорема “живых сил” такжеявляется прямым следствием закона сохранения импульса дляматериального континуума и выводится из уравнений движе­ния (2.65). Для доказательства теоремы “живых сил” и выво­да уравнений баланса механической энергии умножим каждоеиз уравнений движения на соответствующую компоненту Viвектора скорости, а результаты сложим. В итоге получимсоотношение, записываемое с использованием соглашения осуммировании (см. раздел 1.3):p^tvi =+ (v><r*J)Vi'Проинтегрируем полученное выражение по индивидуальномуобъему V материального континуума (см.

рис. 2.28):р ItVi dv = / г*г’’dv+ IVVVi dv-(2-66)VРассмотрим физический смысл каждого интеграла в вы­ражении (2.66). Объемный интеграл, стоящий в левой части(2.66), с учетом неизменности во времени массы индивидуаль­ных частиц dm = pdV и на основании правил дифференциро­вания произведения и правил скалярного умножения векторовможет быть представлен в видеfJ dt\ 2 JVVv2d Iv•v\dt VT" J/V192VT“dEK~dt~Он определяет скорость изменения кинетической энергии/*fЕк — / dm — — Ip dV — всего индивидуального объема маVVтериального континуума (или тела в целом).Первый интеграл, стоящий в правой части (2.66), опре­деляет полную (для всего тела) мощность объемных сил:j F*vi dV =У F-vdV = У (FdV) -v = Nv.VVVВторой объемный интеграл в правой части (2.66) с использо­ванием правил дифференцирования произведения может бытьпредставлен как разность двух интегралов:V;ct’>) Vi dV =Vj V, (aijv^ dV - j a'iVjVi dV.V(2.67)VВ свою очередь, первый из вновь образовавшихся инте­гралов (2.67) представляет собой взятый по объему тела ин­теграл от дивергенции вектора(ст) • г> = (c^TiTj} ■ (vkrk^ - at}Tivkgk = a^Vjri,являющегося результатом скалярного умножения тензора на­пряжений на вектор скорости.

Тогдаdiv[(cr) • v] = [V/(...) г*] • (аг} Vjr^ == ^(ст%) g[ = V. pvy) =На основании теоремы Остроградского — Гаусса (1.14) этотинтеграл преобразуется в интеграл, взятый по ограничиваю­щей индивидуальный объем замкнутой поверхности S от по­тока вектора (ст) • v:VjV7 - 9712dV = У div[(cr) • v] dV =Vn • (a) • v dS.s193Но скалярное произведение тензора напряжений (а) и единич­ного вектора нормали п, задающего ориентацию площадки,определяет вектор полного напряжения ап на этой площадке,совпадающий в рассматриваемом случае с вектором поверх­ностных сил рп.

Поэтому первый из интегралов правой частивыражения (2.67) приводится к видуУ V; (?ч) dV = j рп • V dS = У (Pnd5) • V = NsV(2.68)ssи определяет полную (для всего тела) мощность поверхност­ных сил.Второй из интегралов правой части (2.67) с учетом кине­матических соотношений может быть преобразован к виду(2.69)Действительно, абсолютная производнаяможет быть вы­ражена через компоненты тензоров скоростей деформаций искоростей поворота:что и приводит к (2.69)ввиду равенства нулю суммы произведений компонент симме­тричного тензора напряжений и антисимметричного тензораскоростей поворота.Таким образом, на основе проведенных преобразований(2.66)—(2.69) приходим к интегральному соотношению, явля­ющемуся прямым следствием закона сохранения импульса(2.65):УdVV-IF-vdV +pn-vdSили+УV194dV = Ny + NS.Установим теперь физический смысл комплекса a13длякаждой индивидуальной частицы материального континуумаи объемного интеграла J al}£ijdV в целом.

Отметим преждеVвсего, что для каждой индивидуальной точки сплошной средывеличина сггзёц образуется как сумма произведений контрва­риантных компонент агз тензора напряжений и ковариантныхкомпонент kij тензора скоростей деформаций. В силу этогообстоятельства величина a'3€ij является инвариантной отно­сительно преобразования системы координат, а ее значениене зависит от того, в какой конкретно системе координат онобудет определяться. В частности, это значение можно опре­делить в декартовой прямоугольной системе координат, свя­занной с главными осями т;1, т/2, 7?3 тензора напряжений, в ко­торой собственно тензор напряжений имеет наиболее простоепредставление через свои главные значения (2.43). В этомслучае девятичленная сумма al3£ij сводится к трехчленной:£ij —+ ^2^22 + ^3£33,(2.70)где £ц, £22 > £зз — компоненты тензора скоростей деформацийв указанной системе координат.На рис.

2.29 показаны индивидуальная точка М сплошнойсреды и проведенные через нее главные оси т/1, г}2, г]3 тензоранапряжений (а), характеризующего напряженное состояние вданной точке, причем единичные взаимно ортогональные векторы kJ, kJ, kJ — базисные векторы, связанные с главнымиосями тензора напряжений. Выделим в окрестности точки Миндивидуальную частицу в форме элементарного прямоуголь­ного параллелепипеда с ребрами длиной drj1, dr}2, dr}3, напра­вленными по главным осям тензора напряжений.

По гранямэтого параллелепипеда действуют внутренние силы, предста­вляемые главными нормальными напряжениями cq, сг2, &з-195Рис. 2.29Преобразуем выражение (2.70), умножив и разделив его пра­вую часть на объем выделенной индивидуальной частицы:ц.(aidrfdrfR^ (dr^nR?)°t3£ij =d^d^dr]3+(<?2 dr^d^R2}+(dT]2€22R2^d-r^dr^dr]3+fad^R3} (dr^lty+dT^dr^dr]3Очевидно, что произведение значений любого главного напря­жения и площади грани, на которую оно действует, в со­четании с единичным вектором данного главного направле­ния определяет вектор полной внутренней силы, действующейна данную грань элементарного параллелепипеда, а именноdpx = (Tidrpdr^Rl, dp2 = a2dr)1dri3R^, dp$ = asdr^dr^R^(см. рис.

2.29). В то же время в соответствии с кинемати­ческим смыслом тензора скоростей деформаций (е) вторыесомножители в числителе последнего соотношения определя­ют относительную скорость движения граней элементарно­гого параллелепипеда (2.35). Например, скорость движенияdvgi фронтальной грани относительно тыльной, обусловлен­ная развивающимся во времени процессом деформирования,определяется как dvgi = (е) • {dr^R*) = cadr^R*. По анало­гии задаются скорость движения правой грани относительнолевой (dvg2 = bizdr^Rfy и верхней грани относительно ниж­ней (dvg$ = c^dr^R^). В итоге интерпретируемая величинапредставляет собой удельную {отнесенную к единицеобъема среды) мощность внутренних сил, или, иначе говоря,удельную мощность деформирования:dV ’dVОтметим, что в ряде случаев удельная мощность деформиро­вания рассматривается относительно единицы массы среды:р_ dNs _ dNsрdVdm(2.72)Теперь несложно установить, что объемный интегралdV от удельной мощности деформирования предстаVвляет собой полную {для всего тела) мощность внутреннихсил, или полную мощность деформирования:(2.73)VVИз физики известно, что всякая мощность определяется скоро­стью выполнения какой-либо работы.

Характеристики

Список файлов книги