babkin_selivanov (550243), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

В данном случае полнаямощность внутренних сил определяется скоростью выполне­ния работы внутренних сил, или скоростью выполнения пол­ной работы деформации:(2-74)197Под полной работой деформации следует понимать работу,которую совершают внутренние силы (напряжения) над все­ми индивидуальными частицами тела в связи с перемещения­ми индивидуальных точек (а следовательно, и граней частиц)вследствие деформирования.Уравнение баланса механической энергии можно записатьв видеdEdtK + ]Г crl4ijdV = j F-vdV + У pn-vdSVV(2.75)sили с учетом физического смысла входящих в это соотношениеобъемных и поверхностных интегралов в видеdEv~—E + Ns^Nv + ns.Последнее соотношение означает, что при нагружении, дви­жении и деформировании материального континуума мощ­ность внешних сил (объемных и поверхностных) воспроизво­дится в виде мощности деформирования и определяет ско­рость изменения кинетической энергии тела.В заключение подчеркнем, что выражающее содержаниетеоремы “живых сил” уравнение баланса механической энер­гии (2.75), как и закон сохранения импульса (2.65), следствиемкоторого оно является, справедливо по отношению к любымсплошным средам независимо от их агрегатного состояния иконкретных физико-механических свойств.2.4.5.

Закон сохранения энергиипри отсутствии тепловых явленийРассмотрим частный случай движения материальногоконтинуума, когда отсутствуют переход механической энер­гии в тепловую и передача тепловой энергии телу со сторо­ны окружающей среды. В этом случае работа, совершаемаявнутренними силами над каждой индивидуальной частицей,198является мерой изменения внутренней энергии индивидуаль­ных частиц — внутренней потенциальной энергией деформа­ции. Вычисленная для всего тела работа внутренних сил Asопределит потенциальную энергию деформации U тела в це­лом: As = U. Таким образом, при отсутствии тепловых явле­ний полная мощность деформирования определяет скоростьизменения потенциальной энергии деформации тела:<2-76’VДальнейшее использовацие теоремы “живых сил” (2.75)позволяет получить соотношение, выражающее закон сохра­нения энергии при отсутствии тепловых явлений:K+U) = j FvdV +fpn-vdS,V(2.77)sсогласно которому изменение полной механической энергиитела (сумма кинетической энергии Ек и потенциальной энер­гии деформации U) равно совершаемой над телом работевнешних сил (объемных и поверхностных).2.4.6.

Закон сохранения энергиипри наличии тепловых явлений.Первый закон термодинамики,уравнение энергииРассмотрим общий случай описания движения матери­ального континуума, когда учитывается возможный переходмеханической энергии в тепловую, а также принимается вовнимание обмен тепловой энергией между различными части­цами сплошной среды. Для описания происходящих в сплош­ных средах тепловых процессов вводятся специальные физи­ческие величины, характеризующие состояние материальногоконтинуума. К их числу относятся абсолютная температураУ, удельная внутренняя энергия У, вектор теплового потокаq, энтропия S и т.д.199Удельную внутреннюю энергию Е удобно ввести на осно­ве определения внутренней энергии тела U при чисто меха­нических процессах, когда внутренняя энергия равна потен­циальной энергии деформации тела.

В этом случае скоростьизменения потенциальной энергии деформации тела определя­ется полной (для всего тела) мощностью внутренних сил, илиполной мощностью деформирования (2.76). Но тогда внутрен­няя энергияПолученный интеграл с учетом неизменности во времени мас­сы индивидуальных частиц и независимости от времени tпеременной интегрирования во внутреннем интеграле можнопредставить в видеpdV =У EpdV - У Edm.VтпВ приведенном выражении Е определяется взятым по време­ни интегралом от удельной (отнесенной к единице массы сре­ды) мощности деформирования (2.72) и представляет собойудельную работу деформации. При чисто механических про­цессах работа деформации “переходит” во внутреннюю потен­циальную энергию деформации, так что удельная внутрен­няя энергия материального континуума Е представляет собойудельную (отнесенную к единице массы среды) потенциаль­ную энергию деформации.

Отметим, что употребляемому врамках феноменологического подхода понятию “потенциаль­ная энергия деформации” в реальных деформируемых средах,имеющих дискретное, молекулярное строение, соответству­ет понятие “потенциальная энергия взаимодействия молекулмежду собой”.200В более общем случае, при наличии тепловых явлений ипроцессов в сплошной среде, под удельной внутренней энер­гией понимается внутренняя энергия единицы массы сре­ды, включающая как потенциальную энергию деформации ма­териального континуума (потенциальную энергию взаимо­действия молекул в единице массы среды), так и тепловуюэнергию (в реальных средах — кинетическую энергию хаоти­ческого движения молекул, взятых в единице массы среды).Как и все величины, описывающие движение и состояниесплошной среды, в общем случае удельная внутренняя энергияразлична для разных индивидуальных частиц материальногоконтинуума, поэтому внутренняя энергия тела (или индиви­дуального объема материального континуума) определяетсясоответствующим интегралом, взятым по массе или объемутела:EpdV.Е dmт(2.78)vПри наличии тепловых явлений внутренняя энергия тела вцелом представляет собой сумму потенциальной энергии де­формации тела и тепловой энергии.Введем физическую величину, с помощью которой харак­теризуется интенсивность обмена тепловой энергией междуразличными частицами сплошной среды, — вектор тепло­вого потока q, который характеризует направление наибо­лее интенсивной передачи тепловой энергии в окрестностиданной точки сплошной среды и по модулю равен количе­ству теплоты, переносимой в единицу времени через единич­ную площадку, перпендикулярную этому направлению.

Нарис. 2.30 показана индивидуальная точка материального кон­тинуума, в котором, по предположению, существуют условиядля теплообмена между индивидуальными частицами. Выде­лим площадку dS, проходящую через эту точку, зафиксируеммалый интервал времени dt 0 и предположим, что известноколичество теплоты dQ, переносимой за малый интервал вре­мени через данную площадку.

При фиксированных значениях201пVuk,. 2.31dS и dt количество переносимой теплоты dQ зависит от ори­ентации площадки и при некоторой ее ориентации достигаетмаксимального для данной индивидуальной точки значения.Направление нормали к такой площадке определяет направле­ние вектора теплового потока q в данной точке континуума,модуль которогоdQ(2.79)q ~ dtdSВ свою очередь, определенный в точке сплошной среды вектортеплового потока q позволяет оценить количество теплотыdQ, переносимой за малый интервал времени dt через проходя­щую через данную точку площадку dS произвольной ориента­ции, задаваемой единичным вектором нормали п (рис.

2.31).Действительно, количество теплоты, переносимой за времяdt через площадку dS, равно количеству теплоты, переноси­мой через площадку dSn — проекцию данной площадки нанаправление, ортогональное вектору теплового потока q. Всоответствии с определением вектора теплового потока (2.79)dQ = qdSndt =■ qdS cos a dt, откуда следует выражение дляколичества теплоты, передаваемой за малое время через ма­лую площадку произвольной ориентации:dQ = q ndS dt.(2.80)Известны три вида теплообмена (теплопередачи): излу­чение, конвекция, теплопроводность.

Из них лишь теплопро­водность реализуется в любых сплошных средах независимо202от их агрегатного состояния и физико-механических свойств,в то время как теплообмен посредством излучения возможенлишь в прозрачных средах, а теплообмен посредством конвек­ции — в газообразных или жидких средах. Поэтому в даль­нейшем ограничимся анализом только одного вида теплообме­на между частицами сплошной среды — теплопроводности.Теплообмен посредством теплопроводности происходитлишь при условии существования неравномерного распреде­ления температуры Т в объеме сплошной среды.

Поэтомудолжна существовать взаимосвязь между вектором тепловогопотока, характеризующим интенсивность теплообмена междучастицами сплошной среды, и величиной, характеризующейнеравномерность пространственного распределения темпера­туры в теле. В качестве последней может выступать векторградиента температуры grad У = Уг(У)гг = (дТ/дхг)т\ мо­дуль которого тем больше, чем неравномернее распределенатемпература, т.е. чем больше значения производных по ко­ординатам дТ/дхг.

Такая взаимосвязь действительно суще­ствует и выражается законом теплопроводности Фурье, обоб­щающим опытные факты. Согласно закону теплопроводно­сти Фурье, вектор теплового потока в данной индивидуаль­ной точке сплошной среды прямо пропорционален градиентутемпературы в этой же точке:q= -Л grad У,(2.81)где А — коэффициент теплопроводности или просто теплопро­водность данной среды.Физическое истолкование закона теплопроводностиФурье может быть дано на основе определения физическо­го смысла градиента скалярной функции координат, проил­люстрированного на рис. 2.32. В соответствии с векторныманализом градиент температуры в какой-либо точке сплош­ной среды направлен по нормали к проходящей через даннуюточку изотермической поверхности, ориентирован в сторонунаиболее быстрого возрастания температуры, а по модулюравен производной по этому направлению дТ/дп.

Закон же203теплопроводности Фурье показывает, что тепловая энергия вокрестности данной точки распространяется по направлениюнаиболее быстрого убывания температуры, и тем интенсив­ней, чем более резко изменяется температура в окрестностиэтой точки, т.е. чем большее значение имеет производнаядТ/дп,Для получения интегрального выражения первого на­чала термодинамики рассмотрим индивидуальный объем Vматериального континуума, ограниченный поверхностью S(рис.

2.33). Будем считать, что материальный континуум под­вержен действию объемных F и поверхностных р сил. Кро­ме того, примем во внимание теплообмен между частицамисплошной среды и будем считать определенным поле векторатеплового потока q, заданного для каждой индивидуальнойточки среды, включая точки, находящиеся на поверхности.Закон сохранения энергии утверждает, что изменение пол­ной энергии выделенного индивидуального объема матери­ального континуума, которая равна сумме кинетической Еки внутренней U энергий, определяется работой внешних сил(объемных и поверхностных) и количеством теплоты, пе­реданной телу через ограничивающую его поверхность. Ко­личество теплоты, передаваемой за малый интервал времениdt через малый участок поверхности dS, ориентация которойзадается единичным вектором внешней нормали п, определя­ется в соответствии с выражением (2.80).

Полное же коли­чество теплоты, передаваемой за время dt ограниченной по­верхностью S сплошной среде, определяется поверхностным204интегралом —у> q -ndS dt или взятым co знаком минус потоSком вектора теплового потока q через указанную замкнутуюповерхность. При этом знак минус учитывает то обстоятель­ство, что положительный поток вектора q (в каждой точкеповерхности вектор q направлен в одну сторону с единичнымвектором внешней нормали — индивидуальный объем отдаеттеплоту) соответствует уменьшению полной энергии индиви­дуального объема, а отрицательный поток того же векторасоответствует увеличению полной энергии индивидуальногообъема.Работа, совершаемая за время dt объемными силами, вы­ражается объемным интегралом У (FdV) • v dt. За тот же отVрезок времени поверхностные силы совершают работу(pd5) • vdt.SЗакон сохранения (а точнее, изменения) полной энергии дляиндивидуального объема материального континуума теперьможет быть выражен интегродифференциальным соотноше­ниемd(EK + U) =/F- vdV dt +• vdS dt —* tidS dtили эквивалентным уравнениемdEKdUdt + dt-IF-vdV +Pn-vdSndS.(2.82)VРанее было получено уравнение (2.75) баланса механи­ческой энергии, вытекающее из закона сохранения импульсаи справедливое поэтому для описания любого движения мате­риального континуума независимо от того, сопровождается ли205это движение тепловыми явлениями или же они отсутствуют.Сопоставляя выражения (2.75) и (2.82), нетрудно убедиться,что баланс механической энергии (2.75) составляет часть ба­ланса полной энергии (2.82).

Характеристики

Список файлов книги