babkin_selivanov (550243), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Поэтому ин­тенсивность напряжений действительно характеризует экс­тремальные значения касательных напряжений, действующихв окрестности данной точки.2.3.5. Шаровой тензор напряженийи девиатор тензора напряженийТак же как и тензор деформаций, тензор напряжений (сг)может быть представлен в виде суммы двух тензоров — ша­рового тензора напряжений (Sa) и девиатора тензора напря­женийкоторый в дальнейшем будем называть простодевиатором напряжений.Компоненты шарового тензора напряжений образуютсяна основе его производного инварианта (среднего напряжения)при использовании метрических коэффициентов системы ко­ординат: Saij = agij. Первый и второй основные инвариантышарового тензора напряжений, согласно (2.44), определяютсявыражениямиТ1(5а) == адцдЧ = За;^(S^) - SaijSlj = agijtrg'i = За2.Но тогда среднее значение шарового тензора напряженийS = 7i(5a)/3 = а совпадает со средним значением тензо­ра напряжений в целом, а интенсивность шарового тензора,определяемая в соответствии с (2.45), Si = 0.

Это позволя­ет утверждать, что шаровой тензор напряжений характе­ризует лишь ту часть полных напряжений, появление ко­торой связано с изменением объема индивидуальных частицматериального континуума и не связано с их формоизмене­нием.170Девиатор напряжений имеет компоненты, дополняющиекомпоненты шарового тензора до полных напряжений:Daij = aij ~При таком определении компонент деви­атора его первый (Т1(£)а)) и второй (^(^а)) основные ин­варианты, а также среднее значение D и интенсивность Z\,согласно (2.44) и (2.45), имеют следующий вид:Т1(Дг) = Daijgi3 = (av - a9ij) j3 ==- Зст = 0;= DaijD*J = (ffij - ag^ (a'3 - erg'3') == Vijo'3 ~ 3^2 = Г2(<т) -=A = -Л уЗГ2(£,^ _ T2(Cir) ==\/зТ2(<7) - ТЦо) = <7,.Таким образом, производный инвариант D девиатора напря­жений, связанный с реакцией сплошной среды на измене­ние объема индивидуальных частиц, равен нулю, а производ­ный инвариант D}, характеризующий возникающие в связис формоизменением напряжения, совпадает с соответствую­щим производным инвариантом тензора напряжений в целом.Это дает основание утверждать, что девиатор напряженийхарактеризует ту часть полных напряжений, появление ко­торой связано лишь с изменением формы индивидуальных ча­стиц материального континуума и не связано с изменениемих объема.Следовательно, разделение тензора напряжений на ша­ровой тензор и девиатор напряжений осуществляется с це­лью выделения составляющих полных напряжений, связан­ных с изменением объема или формы индивидуальных ча­стиц сплошной среды.

Тензор напряжений в целом (а) == (5<т) + (^<т) характеризует полные напряжения, возника­ющие в индивидуальных частицах вследствие изменения каких объема, так и формы.1712.3.6. Условия равновесияматериального континуумаВ общем случае на тело или индивидуальный объемматериального континуума действуют внешние распределен­ные силы F, р (рис. 2.23). Действие внешних сил приво­дит к изменению расстояний между индивидуальными точка­ми сплошной среды, вследствие чего появляются внутренниесилы и возникает соответствующее напряженное со­стояние. Важным частнымслучаем движения матери­ального континуума под дей­ствием внешних сил явля­ется случай равновесия, ко­гда в результате совместно­го действия внешних и вну­тренних сил каждая инди­видуальная частица тела иРис.

2.23тело в целом не испытыва­ют ускорений.Для обес­печения равновесия материального континуума внешние ивнутренние силы должны быть определенным образом взаи­мосвязаны условиями равновесия.Различают два вида внешних сил — поверхностные иобъемные (массовые) силы. Поверхностные силы — этовнешние силы, действие которых распространяется на ча­стицы материального континуума, находящиеся на поверх­ности, ограничивающей область пространства, занятуюсплошной средой. Такими силами, например, являются си­лы давления и трения. Для количественного описания по­верхностных сил вводится векторная физическая величина —вектор удельной поверхностной силы р, по модулю равныйповерхностной силе, приходящейся на единицу площади по­верхности.

Тогда можно определить поверхностную силу, дей­ствующую на площадку dS, как pdS. В общем случае интен­сивность поверхностных сил может изменяться вдоль поверх­ности тела, а величина р может быть переменной, так что172полная поверхностная сила, действующая на тело, ограничен­ное поверхностью 5, определяется интегралом (р pdS, взятымпо этой поверхности от вектора удельной поверхностной силыр (в дальнейшем для краткости будем его называть векторомповерхностной силы).Объемные (массовые) силы — это внешние силы, дей­ствие которых распространяется на все частицы матери­ального континуума, заключенные в объеме тела.

Таки­ми силами, например, являются силы тяжести, инерции (внеинерциальных системах отсчета), электромагнитные силы.Для количественного описания объемных (массовых) сил вво­дится специальная физическая величина — вектор удельныхобъемных (массовых) сил F, по модулю равный объемной(массовой) силе, отнесенной к единице объема (массы) ма­териального континуума. При этом объемная сила, действую­щая на индивидуальную частицу материального континуумаобъемом dV, определится как FdV. В общем случае вели­чина F может быть переменной. Тогда полная объемная си­ла, действующая на тело объемом V, определится интеграломFdV, взятым по этому объему от вектора удельных объем­Vных сил F (в дальнейшем для краткости будем его называтьвектором объемных сил). Например, на любую индивидуаль­ную частицу тела, находящегося в поле тяготения Земли, дей­ствует сила тяжести dFT = dmg = —dmgk — —ро dV gk, гдеpo — плотность среды; dV — объем индивидуальной частицы;g = — gk — ускорение свободного падения (рис.

2.24). Векторобъемных сил F = dFT/dV = — p$gk, а вектор массовых силF = dFf/dm = -gk = g.На рис. 2.23 показана индивидуальная точка М тела, на­ходящаяся сколь угодно близко к поверхности S тела. Прове­дем через выбранную точку координатные линии (ж1), (ж2),(ж3) до пересечения с поверхностью S в точках А, В и С.Образовавшаяся площадка ЛВС представляет собой бесконеч­но малый участок поверхности тела, ориентация которого в173пространстве может быть задана единичным вектором нор­мали п = тцг' = n^rj. Поверхностные силы действуют наповерхности S тела.

В частности, они действуют и на бес­конечно малой площадке АВСУ ориентация которой задаетсяединичным вектором нормали п. Очевидно, что вектор по­верхностной силы рп на рассматриваемой площадке заданнойориентации однозначно определяет вектор полного напряже­ния сгп = рп, действующего на данной площадке. Учитывая,что вектор полного напряжения на площадке заданной ори­ентации определяется тензором напряжений в данной точкематериального континуума и ориентацией площадки согласно(2.39), получаем взаимосвязь между напряжениями и поверх­ностными силами на границе тела или граничные условия внапряжениях:(<т)п = рп.(2.48)Тензорное соотношение (2.48) иногда также называется усло­виями равновесия на границе области, занятой сплошной сре­дой.

Полагая тензор напряжений, единичный вектор нормалип и вектор поверхностной силы заданными своими компонен­тами, т.е. (сг) = aijr'iJ, п = n3rj, рп = Pnir1, получаем из(2.48) запись граничных условий в напряжениях через компо­ненты тензоров= Pni(2.49)Согласно полученным условиям, компоненты тензора напря­жений на границе тела, где действуют поверхностные силы,174не могут быть совершенно произвольными и должны бытьопределенным образом взаимосвязаны с компонентами векто­ра поверхностных сил и с компонентами единичного векторанормали, задающего ориентацию поверхности в данной точке.Условия равновесия в объеме тела выводятся из рассмо­трения равновесия тела в целом под действием объемных иповерхностных сил (см. рис.

2.23). В общем случае на ка­ждый участок поверхности тела площадью dS, ориентациякоторого задана единичным вектором нормали п, действуетповерхностная сила pndS, а в целом на тело действует пол­ная поверхностная сила j> рп dS. На каждую индивидуальнуюSчастицу тела объемом dV действует объемная сила FdV, а вцелом на тело действует полная объемная сила У FdV. НеобVходимым условием равновесия тела в целом является условиеравенства нулю главного вектора внешних сил (объемной иповерхностной): R = J FdV + £ pndS = 0. При этом векVSтор поверхностных сил рп для любой точки поверхности всоответствии с граничными условиями в напряжениях (2.48)выражается через тензор напряжений на поверхности тела иединичный вектор нормали к поверхности в данной точке, такчто полная поверхностная сила определяется потоком тензоранапряжений через замкнутую поверхность, ограничивающуютело.

Используя далее теорему Остроградского — Гаусса, по­лучаемчто позволяет привести условие равенства нулю главного век­тора внешних сил R к видуF+ divdV = 0.(2.50)175В полученном условии равновесия тела в целом интегрирова­ние ведется по объему V тела. Однако это условие должновыполняться и для любого индивидуального объема сплош­ной среды при ее равновесии, где в качестве поверхностныхсил (внешних по отношению к произвольному индивидуаль­ному объему) выступают напряжения, действующие на гра­нице этого объема со стороны окружающих его частиц среды.Ввиду произвольности объема У, для которого должно выпол­няться условие (2.50), равновесие тела в целом будет иметьместо только в том случае, если тождественно равно нулюподынтегральное выражение, т.е.

Характеристики

Список файлов книги