babkin_selivanov (550243), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Напряжение — мера интенсивностивнутренних силОсновной особенностью движения деформируемых средявляется изменение расстояний между их индивидуальнымиточками, происходящее под действием внешних сил. Это при­водит к появлению внутренних сил в деформируемых средах,и деформированному состоянию всегда сопутствует опреде­ленное напряженное состояние.Процессу изменения расстояний между индивидуальны­ми точками материального континуума в реальных дискрет­ных средах соответствует изменение расстояний между ато­мами или молекулами. Известно, что взаимодействие атомови молекул имеет электромагнитную природу: между нимидействуют силы притяжения и отталкивания, в исходном (недеформированном) состоянии уравновешивающие друг друга.При изменении средних расстояний между молекулами нару­шается равновесие между этими силами, в результате чегосилы одного направления преобладают над силами противо­положного направления.

Этому процессу появления сил вза­имодействия частиц реальной среды в рамках феноменологи­ческого подхода соответствует возникновение внутренних силв материальном континууме. Чтобы количественно характе­ризовать внутренние силы, вводится специальная физическаявеличина — вектор полного напряжения.Пусть на тело действуют внешние силы Fi, F^..., при­водящие к относительному перемещению его индивидуальныхточек и появлению внутренних сил (рис. 2.17). Мысленно ра­зобьем это тело плоскостью S на две части объемами VI и V2 •Выделим в сечении тела, заданном плоскостью 5, индивиду­альную точку М и включающую эту точку площадку d5, ори­ентацию которой зададим единичным вектором нормали п.

Врассматриваемом теле (в частности, в сечении 5) существу­ют внутренние силы, поэтому на площадке dS на часть тела157sРис. 2.17объемом Vi со стороны части тела объемомдействует вну­тренняя сила dF. Интенсивность внутренних сил, действую­щих в данной точке материального континуума на площадке,ориентация которой задана единичным вектором нормали п,определяется вектором полного напряженияап = dF/dS,(2.36)Полное напряжение характеризует поверхностную плотностьвнутренней силы взаимодействия между частями тела на дан­ной площадке.

Вектору полного напряжения на площадке,ориентация которой задана единичным вектором нормали п,соответствуют две скалярные величины — нормальное напря­жение сг(п) = ап п, представляющее собой проекцию полногонапряжения на направление нормали к площадке, и полное ка­2_ /2сательное напряжение г = ^|<тп|2 — (п)- у0" '°п ~ а(пУдействующее на данной площадке.2.3.2. Тензор напряжений —характеристика напряженного состоянияматериального континуумаПодобно тому как для описания деформированного состо­яния материального континуума вводилась специальная ки­нематическая величина — тензор деформаций, для описаниянапряженного состояния также вводится специальная физиче­ская величина — тензор напряжений, являющийся специфич­ной динамической характеристикой сплошной среды.158Тензор напряжений вводится на основе анализа усло­вий равновесия элементарного тетраэдра, ребра которогосовпадают с координатными линиями некоторой декарто­вой прямоугольной системы координат, и определения век­тора полного напряжения на площадке произвольной ориен­тации.

Аналогичную операцию можно провести на осно­ве анализа уравнений движения для элементарного тетра­эдра. Рассмотрим произвольную индивидуальную точку Миндивидуального объема материального континуума, зани­мающего область пространства D объемом У, ограничен­ным поверхностью S и подверженным действию внешнихсил F (рис. 2.18). Введем в рассмотрение декартову прямо­угольную систему координат (ж1, ж2, ж3).

Она может илибыть связанной с системой отсчета наблюдателя, или вооб­ще являться произвольной и быть связанной с какой-либоточкой пространства. Че­рез данную точку М мож­но провести три коорди­натные линии (ж1), (ж2),(ж3). Выберем теперь наэтих координатных лини­ях точки А, В, С, беско­нечно близкие к даннойточке М. Тело, ограни­ченное четырьмя плоско­стями, проходящими черезточки М, А, В, С, являет­ся бесконечно малым эле­ментарнымтетраэдром(на рис. 2.18 он показан вувеличенном виде). Гра­нями выделенного тетра­эдра являются площадкиМВС, МАС, МАВ, сов­падающие с координатными поверхностями (основные пло­щадки), и площадка АВС произвольной ориентации, задава­емой единичным вектором нормали п.159Площади d5i, dS2l dS3 основных площадок связаны с пло­щадью dS площадки произвольной ориентации через компо­ненты пг (направляющие косинусы) единичного вектора нор­мали п.

Например, площадь dS3 третьей основной площадки,перпендикулярной координатной линии (ж3), связана с углома наклона площадки произвольной ориентации и ее площа­дью dS как dS3 = dS cos а (см. рис. 2.18). Но угол а наклонаплощадки произвольной ориентации к третьей основной пло­щадке равен углу, который составляет единичный вектор нор­мали п с третьей координатной линией (ж3). Следовательно,dS3 = dS n\ где n3 = cos а — направляющий косинус единич­ного вектора нормали п по отношению к координатной линии(ж3). Аналогичным образом выражаются площади двух дру­гих основных площадок, поэтомуdSi = dS • n1,dS2 = dS • n2,dS3 = dS • n3.(2.37)По граням элементарного тетраэдра действуют внутрен­ние силы, количественно характеризуемые векторами полныхнапряжений. На первой основной площадке действует векторполного напряжения <tj, на второй — вектор полного напря­жения <72, на третьей — вектор полного напряжения <тз, ана наклонной площадке произвольной ориентации, задаваемойединичным вектором нормали п, — вектор полного напряже­ния ап.

Каждый из трех векторов полных напряжений, дей­ствующих на основных площадках, может быть представленв разложении по базисным векторам системы координат:0-1 -сгз = <7г3гг.(2.38)Очевидно, что компонентами векторов полных напряженийявляются нормальные и касательные напряжения, действую­щие на площадках, совпадающих с координатными поверхно­стями.

Например, сгц — нормальное напряжение на первойосновной площадке,и <731 — касательные напряжения наэтой же площадке и т.д.Условие равновесия элементарного тетраэдра под дей­ствием внутренних сил может быть выражено как crn dS =160= ai dSi + о"2 dS% + 0-3 dS$, что с учетом соотношений (2.37)приводит к выражению вектора полного напряжения на пло­щадке произвольной ориентации через векторы полных напря­жений на основных площадках и направляющие косинусы п*:о-п —+ <72 п 2 + о-зп3.

Это позволяет ввести в рассмотре­ние такую характеристику напряженного состояния, как тен­зор напряжений. Действительно, выражая векторы сг}, сгз, <73через их компоненты и базисные векторы, получаемстп = стдп1^ + at'2n2r* 4- CTt-3n3r‘ = crijn3r',что в соответствии с правилами тензорной алгебры дает осно­вание представить вектор полного напряжения сгп на площад­ке произвольной ориентации как результат скалярного умно­жения некоторого тензора второго ранга на единичный векторнормали п к рассматриваемой площадке, т.е.= сг^п3г' - (а^г3^ ■ (пьгк^ = (ст) • п.(2.39)Полученный подобным образом тензор второго ранга(ст) = aijr'r3, компонентами которого являются компонен­ты векторов полных напряжений на основных площадках илинормальные и касательные напряжения на этих площадках,является тензором напряжений.Тензор напряжений — это тензор второго ранга.

Онвводится в рассмотрение в декартовой прямоугольной системекоординат, однако может быть представлен и в произвольнойсистеме координат своими ковариантными, контрвариантны­ми или смешанными компонентами:(ст) =ct.jtV= CTvr,ry = CTf r%Tj.(2.40)Как уже указывалось, компоненты тензора напряженийпредставляют собой нормальные и касательные напряже­ния, действующие на площадках, совпадающих с координат­ными поверхностями (рис. 2.19). Совокупность девяти компо­нент тензора напряжений образует квадратную матрицу, на6-9712161Рис. 2.19Рис.

2.20главной диагонали которой находятся нормальные напряже­ния, а остальные ее элементы представляют собой соответ­ствующие касательные напряжения.Тензор напряжений — это симметричный тензор.Опуская общее доказательство этого положения, приведемчастное его подтверждение на примере условий равновесияэлементарного параллелепипеда при напряженном состоянии,соответствующем чистому сдвигу (рис.

2.20). При чистомсдвиге на гранях элементарного параллелепипеда размера­ми dx, dy, dz действуют внутренние силы, значения кото­рых определяются касательными напряжениями тху и тух, атакже площадью граней. При равновесии результирующиймомент внутренних сил относительно оси z (тху dz dy) dx —— (тух dx dz) dy — 0. Это приводит к закону парности каса­тельных напряжений тху = тух или к условию симметрично­сти тензора напряжений crtj = <туг.Так же как и для тензора деформаций, для тензора на­пряжений вводятся физические компоненты. Это связано стем, что в общем случае представления тензора напряжений(2.40) в произвольной системе координат базисные векторымогут обладать размерностью, а поэтому и компоненты тензо­ра напряжений в этой системе координат будут иметь размер­ность, отличную от размерности напряжений.

По аналогии с162физическими компонентами тензора деформаций физическиекомпоненты тензора напряжений — это компоненты, име­ющие размерность напряжений и образующиеся при исполь­зовании в качестве базисных математических объектовединичных безразмерных базисных векторов. Физическиекомпоненты выражаются через метрические коэффициентысистемы координат как= aij y/g™ y/g33 , где суммиро­вание по i и j не предполагается.Напряженное состояние в точке считается полностью оха­рактеризованным, если для любой из бесконечно большого чи­сла площадок, которые могут быть проведены через даннуюточку, известны полное, нормальное и касательное напряже­ния.

Характеристики

Список файлов книги