babkin_selivanov (550243), страница 29
Текст из файла (страница 29)
2.26).Рис. 2.26Выделим некоторую область пространства £>* с неизменным объемом V*, ограниченную неподвижной относительносистемы отсчета наблюдателя поверхностью 5*. При движении материального континуума через поверхность S* происходит перенос массы через эту поверхность, что вызываетизменение массы, содержащейся в объеме выделенной областипространства. При этом для любого бесконечно малого интервала времени dt 0 изменение массы, содержащейся в объемеК, равно массе, перенесенной через поверхность 5* в течениеэтого интервала времени.Определим изменение массы материального континуумав объеме V* за время dt ф 0. Выделим бесконечно малуюобласть пространства dV* вокруг точки пространства с фиксированными эйлеровыми координатами ж1, ж2, ж3.
При плотности р среды в данной точке пространства можно представитьмассу, содержащуюся в выделенном бесконечно малом объеме,182как pdV*. Скорость изменения массы в объеме dV* характеризуется локальной производной по времени d(pdV*)/dt\xi =zz d(pdV*)/dt, В связи с неизменностью во времени величиныdV* скорость изменения массы, содержащейся в объеме dV*,равна (др/dt)dV*. За время dt 0 масса в объеме dV* изменяется на (dp]dt)dV*dt.
В целом за время dt масса материального континуума, содержащаяся в объеме выделенной областипространства, изменяется на величину, равную сумме элементарных изменений или же соответствующему объемному интегралуТеперь найдем значение массы, переносимой через поверхность 5* за бесконечно малый интервал времени dt0.Рассмотрим бесконечно малый участок поверхности d5* вокруг некоторой точки, причем ориентацию поверхности в этойточке будем считать заданной единичным вектором нормалип (см. рис.
2.26). При движении сплошной среды со скоростью v через элементарную площадку d5* за время dt переносится масса, заключенная в объеме косого цилиндра с основанием dS*, образующей vdt и площадью поперечного сеченияdSn = dS* cos а, равной проекции площадки d5* на направление, перпендикулярное вектору скорости движения среды v(рис. 2.27). Переносимая массар (dS* cos a vdt) = р dS* cos a vdt = pv n dS* dt>vdtРис. 2.27183где а — угол между площадкой dS* и плоскостью поперечногосечения цилиндра, равный углу между вектором скорости vи нормалью п к рассматриваемой площадке.
Но тогда массаматериального континуума, переносимая за время dt через всюповерхность 5*, определится поверхностным интеграломили же потоком вектора pv через замкнутую поверхность,ограничивающую выделенный объем У*. Вектор pv называется вектором потока массы. Он совпадает по направлению свектором скорости и, а по модулю равен массе, переносимойв единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости.
Последнее вытекает, например, изанализа размерности вектора pv.Итак, масса, переносимая через неподвижную поверхность 5*, определяется потоком вектора pv через эту поверхность: при положительном потоке вектора pv масса среды ввыделенном объеме уменьшается (среда “вытекает” из области), а при отрицательном — увеличивается (среда “втекает”в область). Следовательно, соотношение, выражающее законсохранения массы (уравнение баланса массы), имеет видdV* dt = — У pv • ndS* dtУs*у*илиf.сП* + (b pv n dS* = 0.s*Используя далее теорему Остроградского — Гаусса (1.14) ипреобразуя поток вектора pv через замкнутую поверхность 5*в интеграл от дивергенции этого вектора по объему У*, ограниченному этой поверхностью, получаемy*+ div(pv)^ с?У* = 0.У*184в силу произвольности выделенного объема V* приведенныйобъемный интеграл равняется нулю в случае тождественногоравенства нулю подынтегрального выражения+ div(/w) = О,(2.59)которое через компоненты вектора скорости можно записатьв видеЭ? +) = 0.(2.60)Уравнения (2.59) и (2.60) эквивалентны, они являются дифференциальным выражением закона сохранения массы и называются уравнениями неразрывности.
Согласно этим уравнениям, скорость изменения плотности в данной точке пространства, характеризуемая локальной производной плотности повремени, определяется дивергенцией вектора потока массы,взятой в этой же точке пространства.Уравнение неразрывности может быть представлено виной форме и записано не только для точки пространства, нои для индивидуальной частицы сплошной среды. В соответствии с правилами дифференцирования произведения из (2.60)следуетпри этом второй член представляет собой скалярное произведение вектора скорости на градиент плотности, а именноv’Vjp == v • gradp, и является конвективной производной плотности.
В соответствии с (2.53) суммалокальной и конвективной производных плотности есть полная производная dp/dt, характеризующая скорость измененияплотности индивидуальной частицы сплошной среды. Поэтому уравнение неразрывности можно представить в видеdt(2-61)185или в виде эквивалентного тензорного уравнения(2.62)Согласно (2.62), скорость изменения плотности индивидуальных частиц материального континуума определяется дивергенцией вектора скорости движения индивидуальных точексплошной среды.Дифференциальное уравнение (2.62), выражающее законсохранения массы, может быть получено более простым путемна основе условия (2.56) неизменности массы индивидуальнойчастицы dm = pdV, Из этого условия следует, что скоростиизменения плотности и объема любой индивидуальной частицы взаимосвязаны:dpр d(dV) _dt + dV dtУчитывая, что относительная скорость изменения бесконечно малого индивидуального объема определяется дивергенцией вектора скорости, приходим к дифференциальному уравнению неразрывности (2.62).Вывод уравнения неразрывности проводился без каких быто ни было ограничений относительно физико-механическихсвойств рассматриваемой среды.
Это позволяет говорить обуниверсальности уравнения неразрывности: любая сплошнаясреда, какими бы конкретными физико-механическими свойствами она ни обладала (идеальная, упругая, вязкая, упругопластическая и т.п.) и в каком бы агрегатном состоянии онани находилась (твердое, жидкое, газообразное), должна подчиняться этому уравнению.Отметим также, что при выводе закона сохранения массы применительно к сплошным средам была введена в рассмотрение скалярная физическая величина — плотность р,характеризующая состояние материального континуума при186изменении объема его индивидуальных частиц. Из теории деформаций следует, что текущий объем индивидуальной частицы dV взаимосвязан с начальным ее объемом dV§ и объемной деформацией в (коэффициент кубического расширения):dV = dVo(l + 0)- Но тогда из закона сохранения массы вформе (2.56) следует взаимосвязь начальной и текущей плотностей и объемной деформации р = ро/(1 + 0), показывающая,что значение плотности частицы материального континуумадействительно характеризует объемную деформацию частицсплошной среды.В заключение приведем вид уравнения неразрывностидля двух частных случаев: несжимаемого и однородного материальных континуумов.Сплошная среда называется несжимаемой, если не изменяется объем ее индивидуальных частиц.
Это условие однозначно определяет объемную деформацию и плотность частицсреды: 0 = 0; р = ро- Тогда с учетом (2.61) и (2.62) уравнение неразрывности для несжимаемой среды можно записать ввидеdivv = 0,VjU1 = 0.Сплошная среда является однородной в том случае, еслиплотность ее не изменяется по координатам, но при этомне исключено ее изменение во времени. Условие однородностиматериального континуума Vtp = др/дх' = 0, в результатеэтого с учетом (2.60) получаем соответствующее выражениедля закона сохранения массы:2.4.3. Закон сохранения импульса —уравнения движенияОдним из фундаментальных законов механики материальной точки является второй закон Ньютона, согласно которому изменение импульса (количества движения) материальной точки равно импульсу равнодействующей внешних187сил, действующих на материальную точку: та = F, илит dv/dt = F, или d(mv) = Fdt.
Второй закон Ньютона для материального континуума формулируется аналогично: изменение импульса любого индивидуального объема материальногоконтинуума равно импульсу внешних сил (объемных и поверхностных), действующих на этот индивидуальный объем.На рис. 2.28 показан ограниченный поверхностью S индивидуальный объем V сплошной среды, на который действуютобъемные силы F и поверхностные силы р, вследствие чегочастицы материального континуума движутся с определеннойскоростью v. Выделим индивидуальную частицу объемом dVи плотностью р, движущуюся со скоростью V. Тогда импульсэтой частицы равен vpdV, а полный импульс всего индивидуального объема определяется интегралом j vp dV, взятымVпо всему индивидуальному объему.
Объемная сила, действующая на малую индивидуальную частицу объемом dV, равнаFdV, а полная объемная сила, действующая на индивидуальный объем в целом, определяется соответствующим интегралом j FdV. На любой элементарной площадке dS (бесконечVно малом участке поверхности 5, ориентация которой заданаединичным вектором нормали п) действуют поверхностныесилы рп. Поверхностная сила, действующая на всю площадку dS, равна pndS, а полная поверхностная сила определится188взятым по замкнутой поверхности S интегралом j> рп dS.
ТоSгда закон сохранения импульса для индивидуального объемаматериального континуума может быть представлен в видеинтегродифференциального уравненияdl j vpdVj = ( J FdV + jpndSj dt\yS/'или эквивалентного уравненияУ vpdV = У FdV + jpn dS.VV(2.63)sВыражение (2.63) закона сохранения импульса (а точнее,закона изменения импульса) не удобно в силу привязки егок определенному индивидуальному объему V и ограничивающей его поверхности 5, которые в общем случае изменяются при движении среды и заранее не известны. Более удобным является дифференциальное выражение закона, справедливое для любой индивидуальной частицы материальногоконтинуума. Для получения дифференциального уравнения,выражающего второй закон Ньютона для сплошной среды,преобразуем выражение (2.63). Прежде всего отметим, чтовследствие неизменности во времени массы индивидуальныхчастиц dm = р dV скорость изменения полного импульса индивидуального объема определяется только ускорениями индивидуальных частиц:ГГ dv pdVidthdV = hVVВ то же время вектор поверхностных сил рп в любой точке поверхности 5, ориентация которой задана единичнымвектором нормали п, однозначно определяет вектор полногонапряжения стп = рта, действующий в данной точке на соответствующей площадке.
Но последний можно представить как произведение тензора напряжений в сплошной среде в точке на поверхности и единичного вектора нормали п: ап = (ст) • п, так что полная поверхностная сила189равна потоку тензора напряжений через замкнутую поверхность, ограничивающую выбранный индивидуальный объем:’ ndS.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
