babkin_selivanov (550243), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Составьте матрицу из компонент следующего тензора вто­рого ранга: (а) = Згг + 5ij +- kk.70. Обоснуйте утверждение: фундаментальный метрическийтензор в декартовой прямоугольной системе координатимеет вид (</) = ii + jj + кк.71. Каковы особенности матриц, составленных из компонентсимметричного и антисимметричного тензоров второгоранга? Почему антисимметричный тензор второго ранганазывается псевдовектором?72. Является ли фундаментальный метрический тензор сим­метричным? Если является, то почему?73. Каковы правила сложения и вычитания тензоров, умноже­ния тензора на скаляр?74. Допустимо ли проводить сложение тензоров (а) = а^тгт}и (Ь) =75.

Почему недопустимо проводить сложение двух тензороввторого ранга, заданных в виде (а) = а^тгг3 и (Ь) == b^rirj?76. В чем состоит сущность операций жонглирования индек­сами?77. Докажите правомерность операции опускания индексовприменительно к компонентам тензора второго рангааоф ~9aidftj-78. Докажите, что операция скалярного умножения тензоравторого ранга на тензор первого ранга обладает свойствомкоммутативности лишь в случае симметричности тензоравторого ранга.79.

Определите результат скалярного умножения (а) • (Ь) == (а^гМ) •где (Ь) = lri + 2г2 + Згз, а тен­зору второго ранга соответствует матрица I I ajj I I =9880. Определите результат скалярного умножения тензоров[(а) • (6)] • (6) =81. Заданы тензор второго ранга (а) = 2гг + 3jk + кк и тензорпервого ранга (6) = Зг.

Определите простейшим образомрезультаты скалярного умножения (а) • (6) и [(а) • (£>)] • (Ь).82. Каким образом и в связи с чем вводится в рассмотрениетензор третьего ранга — дискриминантный тензор (тензорРиччи)?83. Как определяются значения ковариантных компонентдискриминантного тензора? Чем обусловлен тот факт, чтокомпоненты тензора Риччи с любыми двумя одинаковымииндексами равны нулю?84. Какие значения имеют компоненты дискриминантноготензора в декартовой прямоугольной системе координат?85.

Покажите, что векторное умножение тензоров первого ран­га с использованием дискриминантного тензора дает ре­зультат, совпадающий в частном случае декартовой пря­моугольной системы координат с результатом, получае­мым с помощью известных правил векторной алгебры.86. В чем заключается специфика дифференцирования тензо­ров по координатам в общем случае произвольной системыкоординат?87. Чем отличается от обычной частной производной по коор­динатам абсолютная (ковариантная) производная контрва­риантных компонент тензора первого ранга?88. Что такое символы Кристоффеля? В связи с чем они вво­дятся? Чем различаются и как взаимосвязаны символыКристоффеля первого и второго рода?89. Каков геометрический смысл символов Кристоффеля?90.

Является ли совокупность 27 значений символов Кристоф­феля компонентами тензора третьего ранга?4*9991. Выведите формулу, выражающую символы Кристоффеляпервого рода через компоненты фундаментального метри­ческого тензора, и определите их значения для декартовойпрямоугольной (<7П = д22 = #33 = 1) и цилиндрической(<7ц — #33 — 1> #22 “ г2) систем координат.92. Выведите формулу для абсолютной производной контрва­риантных компонент тензора второго ранга.93.

В чем состоит сущность символического подхода к опре­делению дифференциальных операций с тензорами произ­вольного ранга?94. Чем отличается векторный символический дифференци­альный оператор Гамильтона в тензорном анализе от ана­логичного оператора, используемого в векторном анализе?95. Каким образом определяется градиент тензора произволь­ного ранга, как при этом изменяется ранг получающего­ся математического объекта относительно ранга исходногообъекта?96. Каким образом определяется дивергенция тензора произ­вольного ранга, как при этом изменяется ранг получающе­гося математического объекта относительно ранга исход­ного объекта?97.

Каким образом определяется ротор тензоров первого ивторого рангов, как при этом изменяется ранг получаю­щегося математического объекта относительно ранга ис­ходного объекта?98. Сформулируйте интегральные теоремы тензорного анали­за: теорему Остроградского — Гаусса и теорему Стокса.99. Определите с использованием символического подхода ди­вергенцию и ротср радиус-вектора в произвольной точкепространства.Глава 2ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯМЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД2.1. Представление движенияматериального континуума2.1.1.

Система отсчета наблюдателяи сопутствующая система отсчета.Индивидуализация точекматериального континуумаВсякое механическое движение представляет собой про­исходящее в пространстве и во времени изменение положениятел или составляющих их частиц относительно других тел.На рис.

2.1 для некоторого начального момента времени t = toРис. 2.1101(чаще всего полагают to = 0) показана занятая сплошной сре­дой область пространства Do объемом Vo, ограниченная по­верхностью So- Это может быть, например, твердое тело, дви­жущееся в воздухе, или же индивидуальный объем — частьгазообразной, твердой или жидкой среды.Индивидуальный объем — часть сплошной среды, состо­ящая (в процессе движения) из одного и того же материала,включающая одни и те же частицы, а с точки зрения реально­го молекулярного строения деформируемых сред — состоящаяиз одних и тех же молекул. Значение индивидуального объемаV может изменяться в процессе движения под действием внеш­них сил (например, твердое тело при всестороннем сжатиибудет сжиматься и его объ­ем будет уменьшаться).При движении может из­меняться и форма индиви­дуального объема (рис.

2.2).Неизменным у индивиду­ального объема остаетсялишь его состав. Бесконеч­но малый индивидуальныйобъем (V —* 0) в механикесплошных сред называетсяиндивидуальной частицей.ДвижущаясяНаконец, предельным слу­средачаем индивидуального объ­ема является индивиду­Рис. 2.2альная точка — матема­тический объект, не имеющий размеров, объем которого V = 0(см. рис. 2.2). С определенной долей условности можно ска­зать, что при изучении макроскопических движений в рамкахфеноменологического подхода индивидуальная точка соответ­ствует вполне определенной молекуле сплошной среды. Сле­дует отметить, что употребление термина “бесконечно малыйобъем” корректно только в рамках феноменологического под­хода, при котором абстрагируются от реального молекулярно­102го строения сред и оперируют фиктивной субстанцией — ма­териальным континуумом, заполняющим пространство непре­рывно, сплошным образом.

С точки зрения реального строе­ния тел понятие индивидуальной частицы можно определитькак индивидуальный объем, малый по сравнению с размера­ми тела, но достаточно большой по сравнению с размерамимолекул среды.Пусть к произвольному моменту времени t > /q выде­ленный в начальный момент времени индивидуальный объ­ем сплошной среды переместился и занимает область про­странства D\ объемом Vj, ограниченную поверхностью Si(см. рис. 2.1). Для количественного описания механическогодвижения сплошной среды необходимо ввести систему отсче­та^ представляющую собой совокупность тела или точкиотсчета, связанной с ними системы координат и указанийо моменте начала отсчета времени.

В механике сплошныхсред вводятся два типа системы отсчета: система отсчета на­блюдателя и сопутствующая система отсчета.Система отсчета наблюдателя (эйлерова) — это си­стема отсчета, по отношению к которой определяетсядвижение материального континуума. На рис. 2.1 системаотсчета наблюдателя изображена в виде точки отсчета 0 ипроведенных через нее координатных осей.

Положение то­чек трехмерного пространства относительно этой системы от­счета однозначно определяется тремя значениями координатж1, ж2, ж3. Выбор тела или точки отсчета и конкретного ви­да системы координат (например, декартовой прямоугольной,или цилиндрической, или какой-либо иной) произволен и опре­деляется соображениями удобства при исследовании движениядеформируемого тела. Существует, однако, ограничение навыбор системы отсчета наблюдателя. Как правило, эта си­стема отсчета должна быть инерциальной.

Напомним, чтосистема отсчета является инерциальной, если в ней выпол­няется первый закон Ньютона (закон инерции): тело дви­жется равномерно и прямолинейно, если воздействия на не­го со стороны других тел скомпенсированы или отсутству­ют. Как известно из физики, выполнение в какой-либо систе­ме отсчета закона инерции дает основание использовать при103рассмотрении движения и второй и третий законы Ньютона,на базе которых получены основные дифференциальные урав­нения движения сплошных сред.

При решении прикладныхзадач в качестве тела или точки отсчета чаще всего прини­мается Земля (или точка, неподвижная относительно Земли),чем и обеспечивается выполнение требования инерциальностисистемы отсчета наблюдателя.Задача определения движения материального континуу­ма требует дополнительного пояснения. Движение одной ма­териальной точки М тела, размерами которого можно пренебречь,перемещающейсяпо какой-то траектории L от­носительно системы отсчетанаблюдателя (рис. 2.3), одно­значно определяется вектор­ной функцией скалярного ар­гумента — зависимостьюрадиус-вектора г, которыйхарактеризуетположениематериальной точки в про­странстве, от времени t: г == г(/). Аналогично опреде­ляется движение одной выде­Рис. 2.3ленной индивидуальной точ­ки М сплошной среды(см. рис. 2.1).

Характеристики

Список файлов книги