babkin_selivanov (550243), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Уравнениядвижения идеальной жидкости связывают вектор ускоренияиндивидуальной частицы жидкости, имеющей плотность р, сградиентом давления gradp и вектором объемных сил F:= F— grad р.Это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям, записанным через компоненты участвующих в уравнении векторов — тензоров первого ранга:= Гг-дрдхг(1-51)В трех уравнениях (1.51) в соответствии с правилами суммирования тензоров участвуют только ковариантные компоненты векторов ускорения dv/dt^ градиента давления gradp,вектора объемных сил F Однако в общем случае для любого из этих векторов, например для вектора объемных сил F,могут быть известны только контрвариантные компоненты:F — F]Tj.
Непосредственно использовать в уравнении (1.51)контрвариантные компоненты F] вектора объемных сил недопустимо в силу ограничений, накладываемых на операциюсуммирования тензоров. Необходим предварительный переходот контрвариантных компонент F] вектора к его ковариантным компонентам Рг. Для этой и других целей используетсяодна из трех операций жонглирования индексами: опусканиеиндекса, поднятие индекса, замена одного индекса другим.Операция опускания индекса.Эта операция заключается в переходе от контрвариантных компонент тензора(индекс вверху) к его ковариантным компонентам (индекс внизу). Рассмотрим правила проведения этой операции на примере тензора первого ранга (вектора)(а) = а = а^гг = aJrj.72(1.52)Будем считать заданными контрвариантные компоненты aJвектора. Определим неизвестные ковариантные компоненTbi аг. Для этого выполним скалярное умножение обеих частей равенства (1.52) на вектор основного базиса тд., т.е.агтг • rk = aJrj • гк.С учетом определений метрических коэффициентов (1.25),(1.34), (1.37) получим<Шк = а3 9jkВ левой части полученного выражения выполняется суммирование по индексу г.
Единственным отличным от нуля слагаемым в этой сумме будет член акдк = ак (см. определение(1.37) метрических коэффициентов смешанного типа). Окончательное выражение ковариантных компонент вектора черезего контрвариантные компоненты принимает видак = а?9 j к •>(1.53)т.е. ковариантные компоненты тензора первого ранга определяются суммой произведений его контрвариантных компонент и соответствующих метрических коэффициентов основного базиса.В частном случае декартовой прямоугольной системы координат из формулы (1.53) следует, что в этой системе координат отсутствует различие между ковариантными и контрвариантными компонентами.
Действительно, в декартовой прямоугольной системе координат gjk = 0 при jк, gjk = 1при j = к (см. (1.30)) и ак = ак. Этот же вывод следует изструктурной записи (1.52) тензора первого ранга, так как вдекартовой прямоугольной системе координат тройка векторов основного базиса совпадает с тройкой векторов взаимногобазиса — в обоих случаях это совокупность трех единичныхвзаимно ортогональных векторов г, j, к.Аналогичным образом выполняется операция опусканияиндекса применительно к компонентам тензора второго ранга.73Если заданы контрвариантные компоненты аг} тензора второго ранга, то смешанные (а*) и ковариантные (ам) компонентыполучаются также с использованием метрических коэффициентов основного базиса — ковариантных компонент фундаментального метрического тензора, т.е.- a'}9ik,o-kl = а?к9)1 = otJ9ik9jl-(1-54)Операция поднятия индекса.
Эта операция заключается в переходе от ковариантных компонент тензора (индекс внизу) к контрвариантным компонентам (индекс вверху). Правила проведения этой операции рассмотрим на примере тензора первого ранга (1.52). Будем считать заданнымиковариантные компоненты аг вектора. Для определения неизвестных контрвариантных компонент выполним скалярноеумножение обеих частей равенства (1.52) на вектор взаимногобазиса гк.
По аналогии с изложенным выше получим выражение для операции поднятия индекса применительно к тензорупервого ранга:airr =aJTj-r ,a±g=aJgj,a = агд .(1.55)Контрвариантные компоненты тензора первого ранга определяются суммой произведений его ковариантных компонент исоответствующих метрических коэффициентов взаимного базиса — контрвариантных компонент фундаментального метрического тензора (1.55).Аналогичным образом осуществляется операция поднятия индекса применительно к компонентам тензора второгоранга, т.е.
переход от ковариантных компонент aij к смешанным ajк и контрвариантным аklК' компонентам тензора второгоранга:= aij9ik, akl = ак^1 = aijgikg>1.(1.56)Операция замены одного индекса другим. Ее можно проиллюстрировать с помощью следующего примера. Вуравнении движения (1.51) идеальной жидкости индекс i является свободным индексом. В отличие от индекса суммирования, который может обозначаться любой буквой (а = аггг =74_ a-ri = CLkpk) и используется лишь для обозначения суммы, свободный индекс в одном из членов выражения не можетпроизвольно заменяться каким-либо другим. Если же такаянеобходимость возникает и в выражении (1.51) вместо компонент Fi вектора объемных сил с индексом i нужно применитькомпоненты Fj с индексом то можно использовать свойствометрических коэффициентов gj смешанного типа, которые отличны от нуля и равны единице только в случае совпаденияиндексов: i = j (см.
(1.37)). С учетом этого свойства метрических коэффициентов получаем соотношениеai = aj9i >(Т57)которое отображает операцию замены одного индекса другимприменительно к тензору первого ранга. На основании соотношения (1.57) уравнения движения (1.51) могут быть выражены через компоненты Fj вектора объемных сил:Аналогичным образом проводится операция замены одного индекса другим применительно к компонентам тензора второгоранга:an = aij9i , ак{ = а^дгкд}{.(1.58)Свертывание тензора. Это операция суммированиякомпонент тензора по двум каким-либо индексам, один из которых верхний, а другой — нижний.
Так, например, сверткойтензора второго ранга (а) = а^гггу, заданного своими смешанными компонентами aj, является суммаага1 + а2 + а3 —представляющая собой скалярную величину Ь. Сверткой тензора третьего ранга (а) =по двум индексам, например i и к, является вектор — тензор первого ранга с компонентамиi1 I 2 I 3taij = alj + a2j + a3j = Ь3-75Как следует из приведенных правил свертывания тензора,свертка представляет собой тензор, ранг которого на две единицы меньше ранга исходного тензора. Отсюда вытекаетограничение на эту операцию: ранг свертываемого тензорадолжен быть не менее двух (г > 2).Скалярное умножение тензоров. Рассмотрим правила скалярного умножения тензоров на примере умножениятензоров первого ранга (rj = т2 = 1): (а) = аггг и (Ь) = bjr^имея в виду определения (1.25), (1.34), (1.37) метрических коэффициентов, а также правила выполнения операций жонглирования индексами:(а) • (6) = (а^ ■ (bjT^ = aibj (т1 ■ т3'} === aib' = a^b1 + a2b2 + a363.Итак, скалярным произведением тензоров первого рангаявляется скалярная величина, равная сумме попарных произведений одноименных компонент.
В частности, в декартовой прямоугольной системе координат, где отсутствует различие между ковариантными и контрвариантными компонентами тензоров, полученная формула для скалярного произведения тензоров первого ранга совпадает с аналогичной формулой (1.2) векторной алгебры.При скалярном умножении тензора второго ранга (а) == а^ггг} (ti = 2) на тензор первого ранга (Ь) =(г2 = 1)получается тензор первого ранга(с) = (а) • (Ь) = (aijr'r3^ ■ (bkrk^ = а^Ькгг (rJ ■ rk^ == aijbkrlg}k = aij(bkgQ гг = цМ = С{т'с ковариантными компонентами сг = al}bJ.
При получениирезультата использовалось одно из свойств диадных произведений векторов, проявляющееся при скалярном умножениидиады на вектор: ab с = а(Ь • с). Следовательно, при скалярном умножении тензоров результирующий тензор имеет ранг,равный разности рангов перемножаемых тензоров: г = ri — т2.76Векторное умножение тензоров.
Определим правила векторного умножения тензоров на примере двух тензоровпервого ранга (п = Г2 = 1): (а) = а1гг и (6) = Wrj. Привекторном умножении тензоров(а) X (fr) = (alr^ X (birj) = а*Ъ?(г, X rj^возникает необходимость в векторном перемножении базисных векторов. В общем случае записи тензоров (или через ковариантные, или через контрвариантные, или через смешанные компоненты) необходимо определить векторные произведения векторов основного базиса гг х ту, векторов взаимногобазиса гг х г-7, векторов основного и взаимного базисов гг X .Любое из названных произведений является вектором, а следовательно, может быть представлено в виде разложения повекторам основного или взаимного базиса.
Примем без доказательства, что компонентами в разложении указанных векторных произведений по векторам основного или взаимногобазиса являются компоненты тензора третьего ранга (Л) —дискриминантного тензора (тензора Риччи):г, X rj = Aijkrk = Akjrk;тг х= Xtjkrk = Л%тк-(1.59)гг X г3 = А1ктк = A3tkTk.Дискриминантный тензор есть тензор третьего ранга,компоненты которого являются компонентами в разложении векторных произведений базисных векторов по векторам основного или взаимного базиса. Дискриминантный тензор может быть представлен через свои ковариантные, контрвариантные и смешанные компоненты:(Л) = А^кггг3гк = А^кггг,гк = AkjTlT^Tk = ...Компоненты разных типов связаны между собой в соответствии с правилами жонглирования индексами, например:77Л*.. = Л^дМ. Поэтому, чтобы определить всевозможныевекторные произведения базисных векторов (1.59), достаточноустановить значения ковариантных компонент А,у^ дискриминантного тензора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
