babkin_selivanov (550243), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Этим уравнениям соответствует одно векторное уравнениеp^ = F-gradp,(4.10)позволяющее интерпретировать физический смысл уравненийЭйлера (рис. 4.4). Действительно, вектор градиента скалярной функции давления направлен по нормали к изобарной поверхности, проходящей через точку М пространства, в которой находится некоторая индивидуальная частица идеальнойжидкости или газа.
При этом вектор градиента направленв сторону наиболее резкого возрастания давления. Согласно306векторному уравнению движения (4.10), в случае отсутствияобъемных сил F каждая индивидуальная частица идеальнойсреды получает ускорение в сторону наиболее резкого убывания давления, и тем большее, чем интенсивнее изменяется давление в окрестности данной частицы (см. физический смыслградиента скалярной функции векторного аргумента в разделе 1.2.2). Присутствие объемных сил F несколько изменяетнаправление и модуль вектора ускорения, склоняя его в соответствующую сторону.В результате проведенных преобразований уравнений исходной системы образуются системы разрешающих уравненийдля возможных частных случаев течений идеальной среды.Так, адиабатическое течение идеальной жидкости илиидеального газа (V^1 = 0 или коэффициент теплопроводностиЛ = 0), как правило реализующееся во взрывных и ударныхпроцессах, описывается системой уравненийdt0;(4-11)dEр dpdtр2 dt ’р = p(j>, Е),содержащей пять дифференциальных уравнений, выражающих основные законы сохранения (одно уравнение неразрывности — закон сохранения массы, три уравнения Эйлера —закон сохранения импульса, одно уравнение энергии — первый закон термодинамики) и уравнение состояния в калорической форме.
Система уравнений (4.11) является замкнутойи содержит шесть неизвестных характеристических функций:три компоненты вектора скорости, давление р, плотность ри удельную внутреннюю энергию Е.Система разрешающих уравнений для адиабатическоготечения идеальной среды может быть еще более сокращена вслучае более простых моделей идеальной среды. Например,307для идеальной баротропной среды, описываемой уравнениемсостояния в виде р = р(р, Е) = р(р), уравнение энергии является изолированным от остальных уравнений системы (4.11)и может не включаться в систему разрешающих уравнений,которая в этом случае будет содержать пять уравнений:dp+ P^iv*dt= Fi ~ Vip;(4-12)где пять неизвестных — v,, р, р. Система разрешающих уравнений для идеальной несжимаемой среды (р = /?о = const) приобретает еще более простой вид и сводится к четырем дифференциальным уравнениям неразрывности и движения:где четыре неизвестных —р.Аналогичным образом может быть получена система разрешающих уравнений, описывающая течение идеальной среды, в которой теплообмен между ее частицами происходит посредством теплопроводности.
Например, для частного случаямодели идеальной среды (модели совершенного газа), описываемой уравнением состояния Клапейрона — Менделеева р == pRT, уравнение энергии (4.8) может быть преобразованос учетом существующей прямо пропорциональной зависимости удельной внутренней энергии от температуры: Е = СуТ,где су — постоянная величина, по своему физическому смыслусоответствующая удельной теплоемкости при постоянномобъеме. После очевидного преобразования уравнения энергии,приобретающего вид уравнения распространения теплоты, система разрешающих уравнений будет состоять из следующих308шести уравнений:(4-14)содержащих такое же количество неизвестных величин —V,, р, р, Т.Таким образом, все приведенные выше системы уравнений (4.11)—(4.14), описывающие различные частные случаитечения идеальных сред, имеют гораздо более простой вид,нежели общие уравнения механики сплошных сред, и являютсобой, по существу, частные следствия этих общих уравненийдля случая, когда деформируемая среда не обладает способностью сопротивляться формоизменению.
Подобным же образом для модели идеальной среды существенно упрощается изапись граничных условий. Например, при расчете процессафункционирования заряда самоликвидатора космического аппарата, связанного с разлетом продуктов детонации взрывчатого вещества в вакуум, на границе раздела газа с вакуумомдолжны ставиться динамические граничные условия отсутствия поверхностных сил: а1]п3 = рш = 0.
Учитывая это,а также физические соотношения для модели идеальной среды, приходим к выводу о необходимости ограничения значения давления на границе раздела ((—pgtj) п3 = —рпг = 0) илик простому и очевидному граничному условию р = 0.В заключение отметим, что все получающиеся в итоге системы разрешающих уравнений (4.11)—(4.14) записаны с использованием тензорных величин (тензоры нулевого и первогорангов) и тензорных дифференциальных операторов (операторы Гамильтона и Лапласа), в силу этого они имеют универсальный характер и справедливы для любой системы координат (см.
раздел 1.1). При постановке конкретной задачи309механики жидкости или газа и выборе конкретной системыкоординат решению этих систем уравнений предшествует ихпредставление в координатной форме, получаемой уже чистоформальным математическим путем с использованием операций тензорного анализа, рассмотренных в разделе 1.3.4.3. Постановка задачмеханики вязкой жидкостиОсновные моменты постановки задач механики вязкойжидкости рассмотрим на частном примере вязкой баротропной среды в предположении, что определение полей температуры и удельной внутренней энергии не представляет особого интереса.
Для такого случая система исходных уравненийпримет видdt ' г 1Р- F,. += Fi +<Jij = -p(p)9tj + (ЗА - 2fi)egij + 2^£,у;+ Vj'v»)5ё = eijg*3/3и будет включать дифференциальные уравнения неразрывности и движения, физические соотношения в виде закона Навье — Стокса, где давление зависит лишь от плотности среды: р = р(р), а также кинематические соотношения, определяющие компоненты тензора скоростей деформаций через компоненты вектора скорости и среднюю скорость деформаций,записанную с помощью первого основного инварианта тензораскоростей деформаций (основные инварианты тензора скоростей деформаций определяются так же, как основные инварианты тензора деформаций).
Исключение из системы исходныхуравнений дифференциального уравнения энергии (4.3), конечно же, не означает невыполнения закона сохранения энергии в процессе движения вязкой среды, а лишь соответствует310рассматриваемому частному случаю, для которого уравнениеэнергии является изолированным от других уравнений исходной системы, а специальное определение энергии не представляет интереса.Система разрешающих уравнений получается из системы исходных уравнений путем преобразования физических соотношений Навье — Стокса и выражения компонент тензораскоростей деформаций через компоненты вектора скорости.В дальнейшем проводятся преобразования уравнений движения, в результате которых из них исключаются компоненты тензора напряжений и получается частный вид уравненийдвижения для вязкой жидкости — уравнения Навье — Стокса.Так, физические соотношения Навье—Стокса после исключения из них компонент тензора скоростей деформацийприобретают видвследствие чего уравнения движения записываются какПринимая во внимание постоянство компонент фундаментального метрического тензора по отношению к абсолютномудифференцированию, последующее преобразование уравненийдвижения проводят, используя операции тензорной алгебры(операции жонглирования индексами — опускания индекса изамены одного индекса другим), учитывая независимость результата двойного дифференцирования по координатам от порядка дифференцирования и обозначая суммарное двойное абсолютное дифференцирование компонент вектора скорости ввиде оператора Лапласа:311Plt= Р<~9}а9^аР +gja9ij Va (W)++ m?°vo v|Vy ++ №J'avaVjVi = Fi - g^aP ++ /ZVQ V.
(г^“) + Mv4 = Fi - ViP ++ /zV,(vav“)g^a (VfcV*) +Vi (ykvk) ++PV2vi = Fi - ViP +В итоге система разрешающих уравнений, описывающаятечение баротропной вязкой жидкости, будет состоять из пятиуравнений — уравнения неразрывности, уравнений движения(уравнений Навье — Стокса), баротропной зависимости:(4-15)Р = р(р') —и включать пять неизвестных характеристических функций—Р, РНетрудно видеть, что в частном случае отсутствия вязких свойств (А = fi = 0) уравнения Навье—Стокса сводятся к уравнениям Эйлера (4.9), а в целом система уравнений(4.15) сводится к системе уравнений (4.12) течения идеальнойбаротропной среды. Поэтому математическое описание течения идеальной жидкости может рассматриваться как частноеследствие более общего описания движения вязких сред.В связи с отсутствием в системе разрешающих уравненийдля вязкой жидкости компонент тензора напряжений и использованием в качестве основных неизвестных скорости, давления312и плотности несколько видоизменяется запись динамическихграничных условий.
Если в общем случае динамические граничные условия= рпг накладывают ограничения на компоненты тензора напряжений на поверхности сплошной среды,как бы приводя их в соответствие с поверхностными силамиpni и ориентацией границы п-7, то в данном случае, вследствиевыражения компонент тензора напряжений в соответствии сзаконом Навье — Стокса через давление и абсолютные производные компонент вектора скорости по координатам, подобные ограничения накладываются на взаимосвязь распределений скорости и давления в окрестности границы:(~P9ij + ЗЛ 3 2М(vfcv*) gij + n^iVj +n} = pni.Система разрешающих уравнений (4.15) течения вязкойжидкости, будучи записана с использованием тензорной символики, имеет универсальный характер с точки зрения выборасистемы координат.
При постановке конкретной задачи механики вязкой жидкости и выборе некоторой системы координатможно получить различные частные виды систем уравненийв координатной форме представления. Например, при изучении пространственного (трехмерного) нестационарного течения вязкой жидкости наиболее удобно ввести декартову прямоугольную систему координат, в которой система уравненийприобретет следующий вид:dt(dVx . дуУ ■ dVz\ \ дхдуdz Jdvx __ др? dtх дх11 -9712ЗА + м3п-д /dvxdvy dv^Адх \ дхдуdz ),fd2vxd2vx f+ fJ\dx2 + ду2 + dz2 J'313+ А»ЗА + р3д2Уудх2д2Уу\dz* J’д / dvxdvydz \ дх + ду(d2vzd2vzd2vz\+ /'vsr V- fe7/p = p(p)-4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
