babkin_selivanov (550243), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Постановка задачтеории упругостиВ качестве примера рассмотрим математическое описание динамического деформирования упругой среды, пренебрегая влиянием температуры на ее физико-механическое поведение и не ставя цель определить температурные поля (адиабатическое приближение).В данном случае в систему исходных уравнений включаются дифференциальные уравнения неразрывности, движенияи физические соотношения в форме обобщенного закона Гука.Так как напряжения в упругой среде зависят от деформаций,а деформации — от перемещений, в систему исходных уравнений дополнительно включаются геометрические соотношениявзаимосвязи компонент тензора деформаций и вектора перемещений, кинематические соотношения взаимосвязи компонентвекторов перемещения и скорости, а также выражение входящей в запись закона Гука средней деформации через компоненты тензора деформаций.
Тогда система исходных уравненийприобретает следующий вид:|OV,„- =Р314= Fi +0;Vq<7?= Fi + д^аач-Подобно тому как это было выполнено для вязкой жидкости, в данном случае система разрешающих уравнений привыборе в качестве основных неизвестных компонент вектора перемещения получается из системы исходных уравнений.Это достигается с помощью преобразования физических соотношений (закона Гука) путем записи компонент тензора деформаций через компоненты вектора перемещения и с помощью последующего преобразования уравнений движения путем исключения из них компонент тензора напряжений, в результате чего получается частный вид уравнений движениядля упругой среды — уравнения Лямэ.
Обобщенный законГука после выражения компонент тензора деформаций черезкомпоненты вектора перемещения приобретет вид(?ij = GV{Uj -|- GVjUi -|~ ^G (Х-1-к\j 9ij^а уравнения движения на основе правил тензорной алгебры итензорного анализа преобразуются следующим образом:P^ = Fi^93a^a^j == Fi + ?“Va (cViUj + G^jUi + —-~-2-<jv) =В итоге система разрешающих уравнений, описывающая динамическое адиабатическое деформирование упругой среды,имеет вид системы семи дифференциальных уравнений^ + „V,»'=0;= Fi + GV2u,- +РV,- (укик);(4.16)dui= Vi>выражающих закон сохранения массы, закон сохранения импульса (уравнения Лямэ) и кинематическую взаимосвязь перемещений и скоростей, при точно таком же количестве неизвестных характеристических функций — v,, 1/г, р.В частных случаях система разрешающих уравнений дляупругой среды может принимать и более простой вид, как этоимеет место, например, при ее равновесии, когда уравнениенеразрывности и уравнения взаимосвязи перемещений и скоростей становятся тривиальными тождествами, а вся системасводится к трем уравнениям ЛямэFi + GV2 и, + ^±2 v-= О,содержащим три компоненты щ вектора перемещения.При выборе в качестве основных неизвестных компонентвектора перемещения необходимо соответствующим образомвидоизменять и запись динамических граничных условий(7ijnJ = рпг.
Учитывая физические соотношения для моделиупругой среды, получаем, что динамические граничные условия в этом случае накладывают ограничения на распределения перемещений в окрестности границы сплошной упругойсреды иGVjUj + GVjui +316-j 9ij— Pni-4.5. Постановка задачио динамическом взаимодействииупругопластических средОсобенности постановки задачи механики упругопластических сред рассмотрим в полном объеме на примере процессапроникания металлического ударника в металлическую преграду (рис. 4.5). Будем полагать, что ударник взаимодействует под углом а с броневой преградой с начальной скоростьюvo (рис.
4.5, а), соответствующей скоростям бронебойных подкалиберных снарядов, и в процессе взаимодействия срабатывается с образованием характерной грибообразной формы(рис. 4.5, б). При взаимодействии под углом движение индивидуальных частиц обоих тел имеет пространственный характер, а все параметры движения и состояния зависят оттрех координат и времени.
Это так называемая трехмернаянестационарная задача. Для описания движения взаимодействующих тел в таком случае рационально ввести наиболеепростую декартову прямоугольную систему координат, а точку отсчета ассоциировать с неподвижной относительно Земли точкой 0 преграды, в которой начинается взаимодействие(см. рис. 4.5, а).
При таком выборе системы отсчета обеспечиваются ее инерциальность и возможность использованияРис. 4.5317основных уравнений механики сплошных сред без учета заранее неизвестных объемных сил инерции, при этом в связи спрямолинейностью координатных линий уравнения механикив координатной форме примут наиболее простой вид.Материалы броневой преграды и бронебойного снарядаявляются высокопрочными металлами, оказывающими в процессе деформирования существенное сопротивление изменению как объема, так и формы своих частиц. При этом очевидно, что при реализующихся в процессе рассматриваемого взаимодействия больших деформациях металлы обоих телбудут проявлять упругопластические свойства, а для описания их физико-механического поведения необходимо использовать модель упругопластической среды в соответствии с теорией пластического течения.
Будем полагать, что оба деформируемых тела ведут себя как идеальные упругопластические среды с присущим каждой из них пределом текучестисгт при одноосном растяжении и с характерной диаграммой,показанной на рис. 3.9, а, а в качестве критерия пластичностииспользуется критерий Мизеса. Определяющие уравнения ифизические соотношения для модели упругопластической среды согласно теории пластического течения в случае их применимости для описания динамических процессов, связанныхс большими объемными деформациями, имеют определеннуюспецифику, несколько отличающую их от уравнений и соотношений, приведенных в разделе 3.4. Действительно, в рассматриваемом случае взаимодействия тел с артиллерийскимискоростями изменение объемов частиц ударника и преградыможет быть существенным, следовательно, физическое поведение необходимо описывать не линейным уравнением Бриджмена, как это делается в классической теории пластическоготечения, а имеющим более общий характер уравнением состояния, например в калорической форме р — р[рь Е).
В качестве такого уравнения состояния может быть принято экспериментальное уравнение состояния в форме Ми — Грюнайзена р = Рх(р) + 7(р)р[£ “ ^х(р)]> где ^х(р) — составляющая удельной внутренней энергии — удельная потенциальная энергия объемной деформации; Е — Ех(р) = Ет — составляющая удельной внутренней энергии — удельная тепловая318энергия; рх(р) — так называемая “холодная” составляющаядавления, связанная с взаимодействием молекул между собой;7(р)р [Е - Ех(р)] = рт — “тепловая” составляющая давления,связанная с хаотическим движением молекул; 7(р) — так называемый коэффициент Грюнайзена.Допущения теории пластического течения, касающиесяаддитивности деформаций, пластической несжимаемости иассоциированного закона пластического течения могут бытьзаписаны в “скоростной” форме, более удобной при решениидинамических задач.
В соответствии с гипотезой аддитивности деформаций компоненты тензора скоростей деформациймогут быть представлены в виде суммы двух составляющих,определяющих изменение во времени упругих (е) и пластических (р) деформаций:^■ = 4<)+4о’(4-17>где упругие составляющие компонент тензора скоростей деформаций связаны со скоростями изменения компонент девиатора напряжений согласно прямо пропорциональной зависимости, подобной зависимости= 2G(D£\ характерной длямодели упругой среды:Ь^ = 2О(ё^-ё^д^.(4.18)Согласно гипотезе пластической несжимаемости, пластические составляющие компонент тензора скоростей деформацийё^ не вносят вклада в изменение объема индивидуальных частиц, а средняя скорость деформаций определяется лишь своейупругой составляющейё = Ё^/З =+ е^д^/З = г^дЧ/З =(4.19)тогда как пластическая составляющая средней скорости деформаций равна нулю: ё^ == 0.
И наконец, за-319кон пластического течения, записанный в “скоростной” форме,приобретет вид$ = XDffij,(4.20)где А — скалярный множитель, определяемый удельной мощностью пластического деформирования (см. раздел 3.4).Из соотношений (4.17)—(4.20) с учетом ранее использовавшейся взаимосвязи Ti(s) = Зе = Cijg13 — V}уг =— — (1/р) (dp/dt) средней скорости деформаций со скоростьюизменения плотности следуют дифференциальные уравненияПрандтля — Рейсса+ 2GXDffij = 2G (ёц - ёдц) = 2G (^ + -^,описывающие механическое поведение идеальной упругопластической среды.
Уравнения Прандтля — Рейсса в сочетаниис описывающим физическое поведение уравнением состоянияР — р(Р> ■£) и известным разложением тензора напряженийна шаровую и девиаторную составляющие сггу = —pgij + Dajjпредставляют собой физические соотношения для описания деформирования упругопластической среды, сопровождающегося большими объемными деформациями.Система исходных уравнений, описывающая динамическое деформирование ударника и преграды, будет включатьдифференциальные уравнения основных законов сохранения,кинематические и физические соотношения. При этом вполнеобоснованно рассмотрение задачи высокоскоростного взаимодействия двух тел в адиабатическом приближении, когда можно пренебречь достаточно медленным процессом теплообменамежду частицами (полагая в уравнении энергии Vjq1 = 0).Как правило, при рассмотрении подобных процессов, связанных с возникновением интенсивных полей внутренних напряжений, пренебрегают и действием объемных сил типа сил тяжести (в уравнениях движения Ft = 0).
В целом система исходных уравнений принимает следующий вид:320^ + ^,„■ = 0;<i£',л' = ‘7 £‘>;= 2 (^гЪ + ^jvi) ’+ 2GXD^ =2G(4.21)/Zu);p = p(p, E),&ij — ~P9ij 4",A = ^’4r)В отличие от рассмотренных выше постановок задачмеханики более простых сред, система исходных уравнений(4.21) динамики упругопластических сред достаточно сложна, и дальнейшее ее упрощение не представляется возможным. Совершенно очевидна взаимосвязь входящих в эту систему уравнений неизвестных характеристических функций.Например, поле плотности р влияет на скорость изменениясамой плотности, на изменение скоростей гг, удельной внутренней энергии Е, компонент DalJ девиатора напряжений инапрямую через уравнение состояния определяет компонентышарового тензора и тензора напряжений в целом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
