babkin_selivanov (550243), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Примеры решениятиповых задач1. Определите объем параллелепипеда, построенного наотложенных от одной точки векторах а = 2t + 5fe, Ь = 3i+j+k,с = 2i — 5j.Решение. В соответствии с геометрическим смыслом векторно-скалярного произведения трех векторов искомый объем определяется модулем определителя, составленного из компонент заданных векторов:2 0 5ау az11V = Ьх Ьу ъ2123 1-5 02 —5 0сх су cz2 • 5 + 5 (-15 - 2 • 1) = |10 — 85| = 75.2. Определите градиент скалярной функции координатг = у/х2 + у2 + z2. Для произвольной точки пространстваопределите производные по направлениям: от начала координат к данной точке (si), от данной точки к началу координат(32), по касательной к проходящей через данную точку сферической поверхности с центром в начале координат (33).Решение. В соответствии с определением градиентзаданной скалярной функции в декартовой прямоугольной системе координат для произвольной точки пространства выражается как_дт .
дг , дг _2хgrad т = —г+—j+—fe = —===== г +дхдуdz2у ж2 -{■ у2 z22у.2z_4----- -— — • - - ~ j 4" —г — — - ~ & —2у/х2 + у2 + z22\/х2 + у2 + z2гxi + yj + zk— - пТ)гу/х2 +у2 + Z2350где г — радиус-вектор данной точки, а пг — единичныйвектор, коллинеарный радиус-вектору и сонаправленный сним. Согласно геометрическому смыслу градиента скалярной функции координат, его проекция на произвольное направление определяет значение производной заданной функции поданному направлению: drjds\ = 1, dr/dsi = -1, дт/ds^ = 0.3.
Поле скорости течения жидкости в некоторый моментвремени t задано в декартовой прямоугольной системе координат как v — vxi + Vyj + vzk = xi — 3yzj + 2zk. Что можносказать о движении бесконечно малой частицы жидкости, находящейся в данный момент времени в точке пространства скоординатами х = 1, у = 2, z = 37Решение. Поле скоростей позволяет определить поступательную, деформационную и вращательную составляющие движения любой частицы жидкости. Скорость движения данной частицы определяется тривиальным образом:v = 1 • 2i - 3 • 2 • 3j + 2 • 3fe = 2г - 18j + 6fe.Согласно физическому смыслу дивергенции вектора, длявекторного поля скорости течения жидкости при отсутствиив потоке внутренних источников массы divv определяет относительную скорость изменения объема V бесконечно малойиндивидуальной частицы:Для данной частицы divv = — 6 < 0, что говорит о проявлении в данный момент времени тенденции к сжатию частицы,уменьшению ее объема и увеличению плотности.Согласно физическому смыслу ротора вектора, для векторного поля скорости течения жидкости rotv определяетмгновенную угловую скорость си вращательного движениябесконечно малой индивидуальной частицы:351гkjддd—и—дх ду dzVxVzvyдуу\ _ (dvz _ dvx ) j + I(dvy8z ){dxdz\ dxd(2z) d(-Syz)'d(2z) d(x)'i—dzdzdx.
дуДля данной частицы си = 6г — ось вращения, параллельнаяоси х системы координат, и вращение происходит против ходачасовой стрелки по отношению к этой оси.Зависимость величин v, divv, rotv от координат говорит о том, что частицы деформируемых сред в общем случаедвижутся с разными скоростями, испытывают различные деформации и вращательные движения.4. На примере скалярного произведения тензора второгоранга (а) =и тензора первого ранга (Ь) = Ьгтг == 2г1 + Зг2 + 5т*з покажите, что операция скалярного умножения тензоров в общем случае не обладает свойством коммутативности. Тензору второго ранга соответствует матрица(wHILullРешение. Тензор второго ранга (а) =представляет собой сумму девяти составляющих, а тензор (Ь) = Ьггг— сумму трех составляющих.
При скалярном умножении(а) • (Ь) в соответствии с распределительным законом получается сумма 27 составляющих (a) -(b) =• (b'r^ == djkblrirk • гг, каждый член которой содержит произведение компоненти Ь' исходных тензоров, а также скалярноепроизведение базисных математических объектов — тензора352второго ранга (диадных произведений векторов взаимного базиса г3гк) и тензора первого ранга (векторов гг).
По правиламумножения диады на вектор результат скалярного умноженияг3гк •определяется скалярным произведением вектора гк(ближайшего к базисному математическому объекту) и вектора гг, является вектором, коллинеарным вектору т3 (дальнему от сомножителя тг), и представляется как т3тк • г, == г3 (гк ♦= г3дк, где дк = 6к — метрические коэффициенты смешанного типа, или символы Кронекера. С использованием операции замены одного индекса другим получаетсявыражение для скалярного произведения (a)-(b), которое определяется вектором:Скалярное произведение (Ь) • (а) определяется аналогичным образом, но с тем лишь отличием, что сумма (Ь)-(а) == (b'ri) • (^а^г3гк^ = ajkb'rt • т3тк содержит скалярные произведения векторов гг и диад т3тк, Каждое из этих произведений определяется как г, • г3гк = (г, • г-7) гк = д?гк и являетсявектором, коллинеарным вектору гк. Это изменение и определяет отличие результата скалярного умножения тензора (Ь)на тензор (а) от результата скалярного умножения (а) на (Ь):+ (а13Ь1 + a23b2 + азз*3) г3 = (1 • 2 + 3 • 3 + 1 • 5) г1 ++ (0 • 2 + 1 • 3 - 1 • 5) г2 + (2 • 2 + 2 • 3 + 4 • 5) т3 == 16т*3 - 2г2 + ЗОт*3.5.
В декартовой прямоугольной системе координат определите векторное произведение двух тензоров первого ранга(а) = а'г; и (Ь) = Wrj с использованием дискриминантноготензора, убедитесь в идентичности найденного Вами результата результату, получаемому с помощью известных правилвекторной алгебры.Решение. Согласно правилам векторного умножения тензоров, векторным произведением двух тензоров первого ранга является тензор первого ранга(с) - (а) X (Ь) = (а’г,) X== albi(ri X Гу) -= скгк,где компоненты дискриминантного тензора Лгд = 0 при г = J,или i = А:, или j = А?, а при одновременном выполнении условия ij, гA:, jк эти компоненты определяются детерминантом метрической матрицы декартовой прямоугольной системы координат д = 1 как= ±у/9 = ±1» ПРИ этомзнак плюс используется в случае образования соответствующими индексам г, j, к базисными векторами г,, ту,правойтройки, а знак минус — в случае образования базисными векторами г,, г^, гд., соответствующими индексам i,j,k, левойтройки.Компоненты результирующего тензоравразвернутом виде выражаются какСк =+ а1Ь2Л12А: + а^^^13к + а^^^21к + а^^^22к ++ a2b3A23jfe + а3Ь1Лз1^ + а^^^32к + а^^^33к = а^^^12к ++ а^Л^зд.
+ а2Ь1А21£ + а2Ь3Л23£ + a^b^A^ik + а^^^32к^354в частностиci = a1b2Ai2i + а1Ь3Л131 + a2fe1A2ii + а2Ь3Л231 ++ а^Азц + а3Ь2Лз21 = а2Ь3Л231 + а3Ь2Лз21 == а2Ь3(+1) + а3Ь2( —1) = а2Ь3 - а3Ь2\С2 = а^Ь2 Л122 + а1Ь3Л132 ++ <^b3 Л232 ++ а3Ь^ Л312 + а3Ь2Лз22 = а1Ь3Л132 + а^Лз^ == а1Ь3(-1) + а3&1(+1) = а3Ьх — а1^3;с3 = а1Ь2Л12з + а1Ь3Л1зз ++ а2Ь3Л233 ++ а3&1Лз1з + а3Ь2Лз2з = а1Ь2Л12з +== а1Ь2(+1) 4- a2b\ — 1) = a^b2 — c?b\В декартовой прямоугольной системе координат результатом векторного умножения двух векторов является векторг1с — а х Ь = а1ь1г2а262г3а3 = г1(а2Ь3-а362)Ь3г2(а1Ь3 — а3^1) + т3(а^Ь2 ~ а2^1),компоненты с\ 5 с2> сз которого идентичны компонентам, полученным с использованием дискриминантного тензора.
Этоявляется следствием того, что правила векторной алгебры —частный случай более общих правил тензорной алгебры.6. Определите производную тензора первого ранга (а) == аггг по каждой из трех координат х1, х2, х3, считая, чтотензор задан в цилиндрической системе координат (ж1 = г,х2 = в, х3 = z) как а1 — а1^1, х2, ж3) = а1^1, ж3) ——z) = 2r2 + 3z, а2 = 0, а3 = а3(ж1, ж2, ж3) = а3(ж1, х3) == а3(т, z) = 5т + 2г2.Р е ш е н и е. Производной тензора первого ранга по координате является также тензор первого ранга(Ь) =д(а) __ d(alrj)дхЭдх)355компоненты которого — абсолютные (ковариантные) производные компонент исходного тензора:где Г*. — символы Кристоффеля второго рода, в цилиндрической системе координат отличные от нуля лишь в случаях^21 = ^12 ~ 1/г> ^22 = “гС учетом этого обстоятельства, а также при заданнома2 = 0 компоненты результирующего тензора в развернутомвиде запишутся как, 1 _ да1 .1Г1.2Г1.3Г1_.ь ~д£ + а Г1> + а Г2> + аЬ2 =Ь3 =да3 , „1г3 , _2Г3 , _3Г3 _ да3ГЬ' + а Г2>+« Г3>- дхГВ частности:при j = 1! _Ь2 =_ д(2т2 + 3Z) _дх^~дт= 0;з _ да3 _ д(5г + 2z2) _= д^ =д~т=5и результирующий тензор первого ранга принимает вид(*) =при j = 2356ад _ ад«Эя1дти производной будет тензор первого ранга(Ь) =ад_а(о)/л1,2г + 37Г2’при j = 3_ 5a1 _ 5(2r2 + 3z) _5а:3dzb2 = a1 Г^з = 0;b1b3’_ да3 _ 5(5r + 2г2)dx3dzи искомый результат представляется как_ 5(a) 5(a) _(6)-&3' = ’87-3ri + 4"3’где 7*1, 7*2 > г3 — векторы основного базиса цилиндрическойсистемы координат в точке пространства с координатами г,0, z.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
