babkin_selivanov (550243), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Изменениеже с течением времени поля скоростей иг контролируется распределением напряжений (тг] в упругопластической среде и, всвою очередь, прямо или через кинематические соотношенияопределяет эволюцию во времени полей плотности р, удельнойвнутренней энергии Е, давления р, компонент Da{j девиаторанапряжений, компонент сггу тензора полных напряжений и т.д.Значительная сложность подобных систем уравнений определяет практическую нецелесообразность минимизирования количества искомых функций, т.е. система (4.21), по существу,является системой разрешающих уравнений.321В выбранной для описания движения взаимодействующихсред декартовой прямоугольной системе координат системауравнений (4.21) принимает следующий вид:dp/ dvdvxxdxdvxdcrXxP~dT = dx +dvydoXyp^r = dx +dvzdoxzp^r = dx +dE _Pdvvд^ху ( doxzдуд(Уу2доуу+ dz 5дуd(?yzd&zz.+dzду— &xx£xx + GyyEyy 4" ^zz^zz 4"4" 2(7ху£ху 4" ^^xz^xz 4" ^>^yz^yz\_ dvxox,dvy£yy =E-xx — nj_ dvz?dz1 / dvx£xv ~ 2\dydvy\~dx)'_ 1 / dvx£xz ~ 2dvz \ 4foj’(4.22)Ezz —_ 1 / dvydvz \£yz ~ 2 \ d7+~d^J'dP<yXX+ 2GXDaxx = 2G;dtdDyyy + 2GXD(Tyy = 2G ^£yy +;dtdP<rzz + 2GXDazz = 2G(ezz + ^^-,dt322+ 2G'\D„XZ —= 2GeXxz2GXDaxzz\\at^^ + 2GXDayz = 2Geyz-,— 2GkyZ,(4.22)p = p(p, £);~ ~P9ij 4" ^aijtСистема уравнений (4.22) описывает целый класс трехмерныхнестационарных течений упругопластических сред.
Для выделения из этого класса единственного течения, отвечающегорешаемой задаче проникания металлического ударника в металлическую преграду, необходимо задать соответствующиеначальные и граничные условия.Начальные условия для взаимодействующих тел задаются исходя из того, что материалы обоих тел в момент началавзаимодействия не деформированы, не возмущены, все индивидуальные точки преграды находятся в покое, а индивидуальные точки ударника движутся с одинаковой скоростью г?о.В соответствии с этим начальные поля параметров движенияи состояния в области пространства я, у, z € £>у, занимаемойударником, задаются какV{ = Vi(x\ 0) = voi!р = р(х\ 0) = роу!р = р(хг, 0) = 0;D<rij = Daij(x\ 0) = 0;Е = Е(х', 0) = Еоу,(4.23)а соответствующие начальные поля в области пространствах, у, z £ Dn, занимаемой преградой, отличаются значениями323скорости, плотности и удельной внутренней энергии:vt- =0) - 0;о) = рОп;р - р(х1, 0) - 0;Daij = Dfflj(x , 0);Е = Е(х', 0) = £Оп,р= р(х\(4.24)где роу, РОп и -Е'оу ? -^Оп — начальные значения плотностии удельной внутренней энергии материалов ударника и преграды.
Следует отметить, что начальные уровни удельнойвнутренней энергии при нормальных условиях для удобстваобычно полагаются равными Е’оу = Еоп = 0 (это соответствует отсчету значений удельной внутренней энергии от уровняудельной внутренней тепловой энергии при нормальной температуре), а уравнения состояния материалов строятся с обеспечением выполнения условия р = р(ро, Eq) = р(ро, 0) — 0.Граничные условия при постановке задачи прониканияударника в полубесконечную преграду задаются на поверхностях 51, 52,ограничивающих деформируемые тела (см.рис.
4.5, б). Поверхность 51 преграды и поверхность 52 ударника допустимо рассматривать как свободные от действия поверхностных сил, пренебрегая силами атмосферного давления:сГцпЗ = рпг = 0. В координатной форме динамические граничные условия на свободных поверхностях S\ и 52 примутследующий вид:(Тхх^Х 4“ °хуПу “F Gxz'R'Z = 0)^ху^х 4" Vyyny 4“ °у2п2 — 0;(4-25)^XZ^X 4“ Gyz^y 4“ ^Z^Z —где сггу — компоненты тензора напряжений в точках на поверхностях 51 и 52; пх, пу, nz — компоненты единичного векторанормали п к поверхности в данной ее точке.Более сложным образом следует задавать граничныеусловия на границе раздела (поверхность 5з) взаимодействующих деформируемых тел.
Граничные условия на поверхности3245з накладывают ограничения на скорости движения индивидуальных точек обоих тел, находящихся в контакте, в соответствии с условием непроницаемости vy • п = гп • п, а такжена напряженное состояние, реализующееся в этих точках всоответствии с третьим законом Ньютона (сггуу —=О(см. раздел 4.1.5), где п = пгг{ — единичный вектор нормалик границе раздела двух тел. В принятой для описания движения декартовой прямоугольной системе координат указанныеграничные условия задаются следующими равенствами:Система уравнений (4.22) с начальными условиями(4.23) и (4.24) и граничными условиями (4.25) и (4.26) определяет физико-математическую модель процесса динамическоговзаимодействия металлических ударника и преграды, формулируемую на этапе постановки задачи.
Уравнения и соотношения (4.22)—(4.26) необходимы и достаточны для выполнения завершающего этапа реализации феноменологическогоподхода к изучению движения взаимодействующих деформируемых тел или сред — непосредственного решения задачии получения количественной информации о представляющихпрактический интерес параметрах исследуемого процесса.325В силу сложности приведенных уравнений подобные системы не могут быть решены аналитически, поэтому для получения результатов используются специальные методы вычислительной математики — численные методы механикисплошных сред. Подобная ситуация в целом характерна и часто встречается при решении задач динамического деформирования сплошных сред, даже гораздо более простых, нежели рассмотренные в этом разделе упругопластические среды.В настоящее время наиболее эффективным и универсальнымсредством решения задач механики сплошных сред являютсяименно численные методы.Основные численные методы решения задач механики деформируемого тела на примере задач физики быстропротекающих процессов рассмотрены в третьем томе комплекса учебников серии “Прикладная механика сплошных сред”.Вопросы и задачи1.
Что понимается под постановкой задачи механики сплошных сред? Каковы основные этапы постановки задачи?2. На основании чего выбирается модель сплошной среды дляисследуемого процесса движения реальной деформируемойсреды? Какими соотношениями описываются индивидуальные физико-механические свойства той или иной сплошной среды?3. Какие ограничения накладываются на выбор системы отсчета при постановке задачи механики сплошных сред, чемопределяются эти ограничения?4. Какими соображениями определяется выбор конкретноговида системы координат при постановке задачи механикисплошных сред?5. Какие системы координат разумно выбирать при описаниидвижения в следующих случаях: пространственное движение; двумерное плоское; одномерное плоское; двумерное сосевой симметрией; одномерное с точечной симметрией?3266. Что понимается под системой исходных уравнений, какиегруппы уравнений и соотношений она включает? Каковоосновное требование к системе исходных уравнений?7.
Что понимается под системой разрешающих уравнений,как она взаимосвязана с системой исходных уравнений?8. Что понимается под начальными условиями, чем определяется их количество?9. Определите понятие граничных условий и назовите их типы.10. Какие кинематические граничные условия являются болеежесткими — условия “прилипания” или условия “непроницаемости”? Какое граничное условие более адекватно награнице раздела двух взаимодействующих сред в процессепроникания одной в другую?11.
Каков физический смысл граничных условий “непроницаемости” ?12. Каков физический смысл динамических граничных условий?13. Каков физический смысл динамической части граничныхусловий смешанного типа на границе раздела двух взаимодействующих сред? Какой закон физики они выражают?14. К каким соотношениям сводятся динамические граничныеусловия на свободной поверхности в общем случае и длямодели идеальной среды?15. Как следует задавать граничные условия на поверхностиабсолютно твердого тела при обтекании его деформируемой воздушной средой?16.
Как следует задавать граничные условия на границе жидкости и проникающего в нее с постоянной скоростью недеформируемого тела?17. Как следует задавать граничные условия в задаче о метании несжимаемой тонкой жидкой оболочки газом?18. Как следует задавать граничные условия в задаче о метании поршня газом, движущимся в закрытой с одного торцатрубе?32719. Как называются частные виды уравнений движения дляидеальной и вязкой жидкостей, для упругой среды?20.
Каким образом из общих уравнений механики можно получить уравнения движения и уравнение энергии идеальной среды? Сформулируйте принцип и укажите в перечнеосновных формул к главе 4 (см. приложение 1) используемые для этого уравнения и соотношения.21. Дайте эвристическое обоснование уравнений Эйлера и истолкуйте их физический смысл.22. Поле давления для некоторого момента времени в идеальной среде в декартовой прямоугольной системе координатзадано функцией р = —2ху + 3yz.
Пренебрегая объемнымисилами, определите направление вектора ускорения индивидуальной частицы, находящейся в данный момент времени в точке пространства с координатами х = 2, у — 3,z = 4.23. Как выглядит система разрешающих уравнений адиабатического течения идеальной среды (укажите ее в перечнеосновных формул к главе 4 и поясните физический смыслкаждого уравнения)? К чему сведется эта система уравнений для идеальной баротропной и несжимаемой жидкости?24. Справедливо ли утверждение, что уравнение теплопроводности является частным случаем уравнения энергии? Какполучить уравнение теплопроводности из уравнения энергии?25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
