babkin_selivanov (550243), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

В еще более геометрически простом случаевзрыва сферического заряда, инициируемого в центре, движе­ние обладает точечной симметрией, поэтому наиболее удобнопринять для описания движения сферическую систему коор­динат (ж1 = г, х2 — 0, х3 = (р), которая обеспечивает зависи­мость параметров движения и состояния среды лишь от однойрадиальной координаты г и времени t (одномерная нестацио­нарная задача с центральной симметрией).4.1.2. Выбор модели сплошной средыВыбор модели сплошной среды для участвующей в иссле­дуемом процессе реальной деформируемой среды базируется294на анализе особенностей поведения этой среды в отношениисопротивления деформированию, на выделении основных фак­торов и игнорировании второстепенных.

Этап выбора моде­ли заканчивается определением конкретного вида физическихсоотношений (3.7), ближе всего соответствующих особенно­стям физико-механического поведения реальной деформируе­мой среды.Например, при решении прикладной задачи прониканиятела вращения в воду с относительно небольшой начальнойскоростью взаимодействия Vo « 100 м/с в качестве модели ре­альной деформируемой среды (воды) вполне допустимо при­нять модель идеальной жидкости. Действительно, реальныежидкости обладают свойством сжимаемости и вязкости и вто же время не оказывают сопротивления непосредственно из­менению формы своих частиц. При малых скоростях дефор­мации, соответствующих малым скоростям взаимодействия,можно также пренебречь влиянием вязкости и вообще не учи­тывать появление касательных напряжений, используя дляописания физико-механического поведения физические соотно­шения (Jij — —р(Р) Т) gijy присущие модели идеальной среды.Следует отметить, что достаточно часто выбор моделисплошной среды применительно к процессам, происходящим вэкстремальных условиях (например, к взрывным и ударным),осуществляется итерационным путем, так как заранее труд­но предсказать, какие именно физико-механические свойствареальных сред будут определяющими, а какими можно прене­бречь.

В таких случаях последовательно используют все болеесложные модели, а критерием удовлетворительности выбораявляется соответствие получаемых расчетным путем резуль­татов имеющимся экспериментальным данным.4.1.3. Составление системы исходных уравненийСистема исходных уравнений — это замкнутая системауравнений и соотношений, которая полностью описывает дви­жение и состояние деформируемых сред с учетом их физико­механических свойств.

В самом общем виде система исходныхуравнений имеет следующий вид:ю*295(4.1)(4-2)(4-3)(4-4)(4-5)(4-6)(4-7)Система исходных уравнений в обязательном порядкевключает основные общие для всех сплошных сред дифферен­циальные уравнения механики, выражающие фундаменталь­ные законы сохранения массы (4.1), импульса (4.2), энергии(4.3), а также общие для всех сред кинематические соотно­шения (4.4) и (4.5) и геометрические соотношения (4.6). Ин­дивидуальные особенности рассматриваемой деформируемойсреды в отношении оказания сопротивления деформированиюучитываются физическими соотношениями (4.7), обязатель­но включаемыми в систему исходных уравнений согласно вы­бранной модели сплошной среды.В зависимости от конкретного вида физических соотно­шений (4.7) и от характера процесса деформирования средыв систему исходных уравнений для обеспечения ее замкнуто­сти могут быть включены дополнительные уравнения и со­отношения.

Например, при отсутствии влияния температу­ры на физико-механическое поведение рассматриваемой сре­ды физические соотношения имеют вид crty = сггу(£гу, eij) идля адиабатического процесса (V^1 = 0) система уравнений(4.1)—(4.7) является замкнутой и содержит 26 уравнений и296соотношений и такое же количество искомых характеристичесих функций (см. раздел 3.1). Напротив, в случаях зави­симости компонент тензора напряжений от температуры илиже при учете теплообмена между частицами сплошной средыи необходимости определения температурного поля в систе­му исходных уравнений необходимо включать дополнитель­ные соотношения, учитывающие закон теплопроводности Фу­рье (ql = qjglJ = -Xg^VjT, где А — коэффициент теплопро­водности) и взаимосвязь между удельной внутренней энергиейи температурой (Е = Е(р, У)).В ряде случаев система исходных уравнений может бытьи более узкой, нежели представленная выше система(4.1) —(4.7).

Например, при постановке задачи механики иде­альной жидкости, для которой компоненты тензора напряже­ний не зависят напрямую от компонент тензора деформаций(зависимость напряжений от деформаций имеет косвенный ха­рактер через плотность, взаимосвязанную с объемной дефор­мацией (см. раздел 2.4.2)), не требуется включения в системуисходных уравнений кинематических соотношений (4.4) и гео­метрических соотношений (4.6). Однако в любом случае сле­дует обеспечивать замкнутость системы исходных уравненийс равенством количества уравнений числу неизвестных харак­теристических функций, описывающих движение и состояниесплошной среды. Это является необходимым условием дляпоследующего нахождения единственного решения задачи.4.1.4.

Выбор основных неизвестныхи переход к системе разрешающих уравненийСистема разрешающих уравнений — это замкнутая си­стема уравнений и соотношений, содержащая минимальноеколичество взаимно независимых искомых функций и полу­чающаяся исключением остальных неизвестных функций изуравнений исходной системы.При рассмотрении системы исходных уравнений(4.1)—(4.7) нетрудно заметить, что она может быть преобра­зована с исключением некоторых неизвестных функций. На­297пример, компонентытензора скоростей деформаций, участ­вующие в записи уравнения энергии (4.3) и физических соот­ношений (4.7), могут быть выражены через компоненты щ век­тора скорости в соответствии с кинематическими соотношени­ями (4.5) и, таким образом, исключены из системы уравненийпри сохранении в качестве основных неизвестных компонентвектора скорости.

Аналогичным образом из уравнений движе­ния (4.2) и энергии (4.3) могут быть исключены и компонентыajj тензора напряжений в соответствии с физическими соот­ношениями (4.7) и т.п. Такой процесс преобразования систе­мы исходных уравнений сопровождается уменьшением коли­чества искомых функций и уравнений, а по существу, соответ­ствует получению из общих уравнений механики их частноговида и построению замкнутой системы уравнений, описыва­ющей движение и состояние сплошной среды с определенны­ми физико-механическими свойствами (идеальной или вязкойжидкости, упругой или упругопластической среды и т.д.).В математическом отношении система разрешающихуравнений представляет собой систему дифференциальныхуравнений в частных производных и конечных функциональ­ных уравнений. Например, входящие в уравнения движения(4.2) абсолютные производные компонент тензора напряженийпо координатам представляются в виде суммы частных про­изводных по координатам и дополнительных составляющих,зависящих от символов Кристоффеля выбранной системы ко­ординат и учитывающих искривленность ее координатных ли­ний (см.

раздел 1.3.6). Входящие в эти же уравнения суб­станциональные производные компонент вектора скорости повремени при использовании, например, подхода Эйлера пред­ставляются в виде суммы локальной производной (частнаяпроизводная по времени, определяемая в фиксированных точ­ках пространства) и конвективной производной (зависящей отчастных щроизводных по координатам) и т.п. К числу ко­нечных функциональных уравнений относятся в большинствеслучаев физические соотношения (4.7).Система разрешающих уравнений является окончатель­ной, результирующей системой, и именно эта система требует298своего решения путем нахождения всех входящих в нее харак­теристических функций.

С определением зависимостей фи­зических величин, входящих в систему разрешающих уравне­ний, от координат и времени получает свое логическое завер­шение феноменологический подход к изучению механическогодвижения деформируемых сред. В большинстве представля­ющих практический интерес случаев системы разрешающихуравнений, описывающие движение газов, жидкостей и твер­дых тел, достаточно сложны, а их решение может быть найде­но при использовании методов вычислительной математики —численных методов механики сплошных сред.4.1.5. Начальные и граничные условияНеотъемлемым и важнейшим элементом постановки лю­бой задачи механики сплошных сред является формулировканачальных и граничных условий.

Их значение определяетсятем, что та или иная система разрешающих уравнений опи­сывает целый класс движений соответствующей деформиру­емой среды, и лишь задание отвечающих исследуемому про­цессу начальных и граничных условий позволяет выделить изэтого класса представляющий интерес частный случай, соот­ветствующий решаемой практической задаче.Начальные условия — это условия, которыми задаютсязначения искомых характеристических функций в момент на­чала рассмотрения исследуемого процесса. Количество зада­ваемых начальных условий определяется количеством основ­ных неизвестных функций, входящих в систему разрешающихуравнений, а также порядком входящей в эту систему высшейпроизводной по времени. Например, адиабатическое движениеидеальной жидкости или идеального газа описывается систе­мой шести уравнений с шестью основными неизвестными —тремя компонентами вектора скорости = ^(х1, /), давлени­ем р —/), плотностью р = р(х') t) и удельной внутреннейэнергией Е = Е(х', £), при этом порядок производных этих фи­зических величин по времени не превышает первый порядок299(см.

раздел 4.2). Соответственно этому в качестве началь­ных условий должны быть заданы начальные поля этих ше­сти физических величин: при t = 0 v, = vfa', 0), р = р(х\ 0),р = р(ж*, 0), Е = Е(хг, 0). В некоторых случаях (например,в динамической теории упругости; см. раздел 4.4) в каче­стве основных неизвестных в системе разрешающих уравне­ний используются не компонентывектора скорости, а ком­поненты щ вектора перемещения, а уравнение движения со­держит производные второго порядка компонент перемещениядРщ/dt2, что требует задания двух начальных условий дляискомой функции щ — щ(х\ t): при t = 0 щ = щ(х', 0) иdui/dt — ^(ж*, 0).Более сложным и разнообразным образом при постановкезадач механики сплошных сред задаются граничные условия.Граничные условия— это условия, которыми задаются значе­ния искомых функций (или их производных по координатам ивремени) на поверхности S области, занимаемой деформируе­мой средой.

Характеристики

Список файлов книги