babkin_selivanov (550243), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Жесткопластическая средаВ рамках модели жесткопластической среды учитывает­ся проявление лишь одного из механических свойств — свой­ства пластичности. Физические соотношения для модели та­кой среды имеют вид^ij = 2~где £г — интенсивность скоростей деформаций; сгт — пределтекучести материала.Физические соотношения для модели жесткопластическойсреды могут быть получены как частный (предельный) слу­чай одной из сложных моделей сплошных сред — модели упру­гопластической среды.3.4. Модель упругопластической средыПод сложными моделями сплошных сред понимаются мо­дели, в которых учитываются два и более основных механиче­ских свойства.

К числу таких моделей относятся, например,упругопластическая, вязкоупругая, вязкопластическая, упру­говязкопластическая среды. В этом разделе рассматривает­ся одна из сложных моделей — модель упругопластическойсреды, наиболее широко используемая при математическоммоделировании процессов деформирования твердых тел. Мо­дель упругопластической среды соответствует твердым те­лам (главным образом, металлам и их сплавам), которые при260нагружении работают упруго, пока не выполняется некото­рое предельное условие, называемое условием пластичности,а при дальнейшем нагружении такой среды в ней развиваютсяне только упругие, но и пластические деформации.Для реальных упругопластических сред характерны диа­граммы механического поведения (диаграммы деформирова­ния) (Ji =подобные диаграмме, приведенной нарис.

3.3, в для мягкой стали (типа стали 10). В ряде слу­чаев диаграммы деформирования реальных металлов могутнесколько отличаться от показанной на рис. 3.3, в в сторонуусложнения (например, включать участок нелинейной упру­гости) или в сторону упрощения (например, для некоторыхметаллов отсутствует площадка текучести и после упруго­го участка сразу происходит переход к участку упрочне­ния) и включать дополнительные характерные точки: в пер­вом случае такой точкой является предел упругости, боль­ший предела пропорциональности, а во втором — услов­ный предел текучести, соответствующий заданному уровнюостаточной пластической деформации. Однако при постро­ении модели упругопластической среды, как правило, пре­небрегают такими тонкими особенностями и рассматрива­ют идеализированные диаграммы механического поведения,подобные показанным на рис.

3.9. Наиболее часто в каче­стве таких идеализированных диаграмм механического по­ведения рассматриваются диаграммы для идеальной упруго­пластической среды, для которой пределы пропорционально­сти, упругости, текучести и прочности ассоциируются с од­ним и тем же значением ат (рис.

3.9, а), и для упругопластической среды с линейным (рис. 3.9, б) или нелинейным261(рис. 3.9, в) упрочнением. Возможными вариантами упро­щенных диаграмм механического поведения являются диа­граммы идеальной жесткопластической среды (рис. 3.9, г) илижесткопластической среды с упрочнением (рис. 3.9, д'), причемдля двух последних случаев характерно отсутствие упругогоучастка (упругими деформациями по сравнению с пластиче­скими пренебрегают).Модель упругопластической среды является сложной нетолько по формальному признаку (принимаются во внима­ние свойства упругости и пластичности), но и с точки зре­ния уровня сложности математического описания.

Отметим,что в случае малых деформаций (превышающих упругие, носоизмеримых с ними) модель упругопластической среды хоро­шо описывается деформационной теорией пластичности (тео­рия малых упругопластических деформаций). При больших(конечных) деформациях для описания поведения упругопла­стических сред более предпочтительна теория пластическоготечения.3.4.1. Деформационная теория пластичности(теория малых упругопластических деформаций)Деформационная теория пластичности справедлива длямалых деформаций и для случаев так называемого простогонагружения. В рамках этой теории предпринимается и реа­лизуется попытка сформулировать определяющие уравнения ифизические соотношения для модели упругопластической сре­ды с учетом проявления пластических свойств материала, нопри минимально возможном отклонении от структуры соот­ветствующих уравнений для модели упругой среды.

Интуи­тивно ясно, что достичь компромисса в отношении двух этихпротиворечивых требований (учесть пластичность без суще­ственного выхода за рамки структуры определяющих урав­нений для модели упругой среды) можно лишь при незначи­тельном выходе за рамки упругости. Именно этим объясня­ются ограничения в применимости этой теории, которая рас­пространяется лишь на случаи малых деформаций.262Под простым нагружением упругопластической средыпонимается такое ее нагружение, когда все внешние силыизменяются пропорционально некоторому общему параметру(чаще всего времени /), так, что соотношения между компо­нентами нагрузок остаются постоянными и не зависящими отэтого параметра.

Например, при нагружении металлическо­го бруса растягивающей силой Р и крутящим моментом М(рис. 3.10, а) процесс нагружения будет простым, если внеш­ние силы изменяются как Р = k-^t^ М =т.е. в плоско­сти (М, Р) закону совместного изменения внешних сил соот­ветствует прямая (рис. 3.10, б). Процесс нагружения не бу­дет простым, если, например, к нагружаемому брусу внача­ле прикладывается толькокрутящий момент, которыйпостепенно возрастает домаксимального значения, азатем при неизменном момен­те увеличивается растягива­ющая сила.В этом слу­чае закон совместного изме­нения внешних сил в плоско­сти (М, Р) будет изображать­ся ломаной линией с резкимизменением характера прило­жения нагрузки (рис.

3.1, в).Иначе говоря, простое нагру­жение — это равномерный,односторонний, монотонныйпроцесс приложения нагру­зок. При таком нагружениистоль же монотонно будутРис. ЗЛОизменяться характеристикидеформированного и напряженного состояний в любой индиви­дуальной частице деформируемого тела, т.е. для любого мо­мента времени можно рассчитывать на пропорциональностьхарактеристик напряженно-деформированного состояния по­добно зависимостям для упругой среды (см. определяющиеуравнения (3.12), (3.21)).263Уравнения, определяющие физическое и механическое по­ведение упругопластической среды в рамках деформационнойтеории пластичности, внешне очень похожи на соответству­ющие уравнения (3.12), (3.21) для модели упругой среды ивыглядят како = 3^6, (Ра) = B(De\(3.26)где, в отличие от модуля сдвига G в уравнении (3.2.1), коэф­фициент пропорциональности В между девиаторами напря­жений и деформаций не является постоянной величиной, нопредставляет собой так называемый функционал пластично­сти, который учитывает проявление пластических свойств.Физическое поведение упругопластической среды описы­вается чисто упругим уравнением Бриджмена (3.12).

По­добная особенность математического описания физико-меха­нических свойств упругопластической среды учитывает экс­периментальные факты, согласно которым остаточные пла­стические деформации связаны с изменением формы индиви­дуальных частиц, но не с изменением их объема: после пол­ной разгрузки (полное исчезновение внутренних напряжений)предварительно нагруженного выше предела упругости ме­таллического образца его объем остается неизменным и рав­ным исходному значению, что говорит об обратимом, упругомхарактере изменения объемной деформации в = Зе в зависи­мости от напряжений.Выражение для функционала пластичности В, позволяю­щее вычислять конкретные его значения, может быть получе­но с помощью специальной функции — функции пластичностиИльюшина cu = и?(£г), вводимой в рассмотрение в деформаци­онной теории пластичности. Эта функция определяется сле­дующим образом.

На рис. 3.11, а приведена схематизирован­ная диаграмма деформирования упругопластической среды супрочнением. На упругом участке ОЛ имеется прямо пропор­циональная зависимость между интенсивностями деформацийи напряжений. За пределами упругости, на участке AD, на­чинают проявляться пластические свойства, а зависимостьсгг = at’(et’) отклоняется от линейной. Это отклонение и учи­тывается функцией пластичности Ильюшинаai = 3(?£г(1-и>),(3.27)264где комплекс (1 — си) выполняет роль корректирующего множителя по отношению к чисто упругому закону сгг = ЗС£г.При заданной диаграм­ме деформирования упруго­пластической среды сгг =—однозначно опре­деляется значение функциипластичности“(£1) =по соотношению соответ­ствующих отрезков Mi М2 иМ0М2 на диаграмме дефор­мирования (см. рис.

3.11, а).Характер изменения функ­ции пластичности си = си(ег)показан на рис. 3.11,6: впределах упругости си = Ос последующим монотоннымвозрастанием в области пла­стичности.Выражение для функционала пластичности В конкрети­зируется следующим образом. Из уравнений (3.26) следуетвзаимосвязь между вторыми основными инвариантами девиа­торов напряжений и деформаций:T2(Da) == B2D*J Deij = B2T2(De).С учетом известной из теорий напряжений и деформацийвзаимосвязи между вторыми основными инвариантами девиа­торов тензоров напряжений и деформаций и интенсивностяминапряжений и деформацийа, =УЗТ2(Ра),х/ЗТ2(^)265приходим к выражению В — 2сгг7(3£г) или с учетом (3.27) — кокончательному выражению для функционала пластичностиВ = 2G(1 - cj).

В результате определяющие уравнения длямодели упругопластической среды, описываемой деформаци­онной теорией пластичности, приобретают вида = ЗКе,(Da) = 2G (1 - u>) (De).(3.28)Очевидно, что определяющие уравнения (3.28) действи­тельно отличаются от уравнений для модели упругой средынекоторым корректирующим множителем (1 — ш), учитыва­ющим пластические свойства материала.

Это же присуще ифизическим соотношениям, которые образуются из определя­ющих уравнений (3.28). Прямые физические соотношения длямодели упругопластической среды имеют вид2 Gu (£ i j£9ij) >а обратные физические соотношения выглядят как1 Гf2G ЛР'+ W V£ij ~ 2G1+ 2(7(1 - w)чПри этом также нетрудно видеть, что напряжения, возника­ющие в упругопластической среде, меньше, чем они были быпри чисто упругой работе материала при данных деформаци­ях £гу, и, напротив, деформации, возникающие при данныхнапряженияхпревышают деформации, реализующиеся вупругой среде.

Из обратных физических соотношений (3.30)следует условие аддитивности деформаций в упругопластиче­ской среде, согласно которому полные деформации складыва­ются из упругих составляющих(3.31)266подчиняющихся обобщенному закону Гука, и пластических со­ставляющихДр)VW (<7у - <75v)2(7(1-ш) ’(3.32)зависящих от функции пластичности Ильюшина.Прямые и обратные физические соотношения (3.29) и(3.30) для модели упругопластической среды, описываемойдеформационной теорией пластичности, справедливы в слу­чае простого нагружения материала, находившегося в ис­ходном (недеформированном) состоянии.

Характеристики

Список файлов книги