babkin_selivanov (550243), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Однако такая среда оказывает сопротивление изменению объема или плотности своих частиц,и при наличии изменения объема ((5е) 0^ в ней возникаютсоответствующие внутренние напряжения ((5а) 0 о). Такимобразом, тензор напряжений в любой индивидуальной частицеидеальной среды является шаровым:(а) = (5а) = agijr'ri = -pgijrlrj,249а напряженное состояние характеризуется, по существу, однойскалярной величиной — давлением р.Уравнения, определяющие физическое и механическое поведение идеальной среды, выглядят соответственно какр = р(р^ Т\= О?а физические соотношения для модели идеальной жидкостиприобретают вид°ij = ~P9ij = -Р(Р>(3-16)где текущее значение плотности р косвенным образом учитывает компоненты тензора деформаций, так что физическиесоотношения (3.16) по структуре выражения соответствуютобщему виду физических соотношений (3.7).Из ряда реальных деформируемых сред к модели идеальной среды наиболее близки большинство жидкостей и газов,и этим определяется область применимости этой модели.
Например, при расчете параметров поля взрыва заряда взрывчатого вещества в воде модель идеальной среды используетсякак по отношению к жидкости, так и по отношению к продуктам детонации заряда взрывчатого вещества. Воду в данномслучае в первом приближении можно рассматривать как идеальную баротропную среду, давление в которой зависит лишьот плотности р = р(р), не принимая во внимание зависимостьдавления от температуры.
В качестве такого баротропногоуравнения состояния можно выбрать ударную адиабату водыв форме Тэта (3.14) при значениях опытных коэффициентовА = 0,3 ГПа, п = 7,15.Расчет взрыва заряда взрывчатого вещества в воздухеможно проводить также с использованием в качестве моделивоздушной среды модели идеального газа с уравнением состояния Клапейрона — Менделеева р = pRT. Такой газ называется идеальным совершенным газом (термин “идеальный”касается механических свойств газа, не способного оказыватьсопротивление формоизменению, а термин “совершенный” относится к конкретному виду уравнения состояния).Модель идеальной среды может использоваться и в томслучае, когда реальная деформируемая среда оказывает250значительное сопротивление формоизменению, однако возникающие в ответ на изменение формы напряжения Daij существенно меньше напряжений а = —р. появляющихся вследствие изменения объема индивидуальных частиц.
Классическим примером такого использования является гидродинамическая теория кумуляции, разработанная академикомМ.А. Лаврентьевым в середине 1940-х годов и используемаяв настоящее время для описания процессов формирования кумулятивных струй и их проникания в бронепреграды. Несмотря на высокую сдвиговую прочность броневой стали (пределтекучести сгт ~ 1 ГПа), значение возникающего при проникании кумулятивной струи давления р ~ 100 ГПа существеннопревышает значения компонент девиатора напряжений Daij ~~ сгг ~ сгт, так что ими можно вполне обоснованно пренебречь(Dvij/p ~ 0,01), и физические соотношения для броневой стали в этих условиях принимают вид= — pgij + Da{j « —pgij>характерный для модели идеальной жидкости.Термодинамические особенности модели идеальной среды определяются тем, что эта среда характеризуется отсутствием касательных напряжений, а следовательно, отсутствием какого-либо внутреннего трения и способности к диссипации энергии при деформировании.
Наиболее ясно это виднона примере идеальной баротропной среды. Действительно, сучетом физических соотношений (3.16), кинематических соотношений (3.6), а также с помощью операций тензорной алгебры (операций жонглирования индексами) уравнение энергии(3.3) в адиабатическом приближении преобразуется следующим образом:P^ = <7%j = (-p(p)<7v)= -0,5p(p)(ViVj + VjVi)g*J =)) == -0,5р(р)= -0,5 p(p) (V,V +) = -p(p) V,V,а с учетом уравнения неразрывности (3.1) приводится к видуdE _ р(р) dpdtр2 dt ’251свидетельствующему о зависимости удельной внутреннейэнергии только от плотности: Е = Е{р). При нагружениитакой среды внешними силами и возникновении в ее индивидуальных частицах давления рро (здесь ро — давление внедеформированной идеальной среде с начальной плотностьюро) плотность частиц будет меняться от начального значенияро До некоторого значения рро при одновременном изменении удельной внутренней энергии от начальной 2?(ро) Донекоторой Е(р)£(ро).
В случае снятия нагрузок последуют разгрузка идеальной среды до начального давления рои возврат к моменту достижения этого давления к начальным значениям плотности ро и удельной внутренней энергии7?(ро). Подобное поведение идеальной среды при ее адиабатическом нагружении и последующей разгрузке говорит о том,что процесс деформирования ее частиц является обратимыми допускает самопроизвольное протекание в обратном направлении с возвратом к исходному состоянию.
Для такой среды величина некомпенсированной теплоты % (часть удельноймощности деформирования, определяющая часть работы деформации, необратимо переходящую во внутреннюю тепловую энергию) равна нулю. В соответствии со вторым закономтермодинамики (2.89) удельная энтропия S (обозначаемая вовторой главе как S ) индивидуальных частиц идеальной средыможет меняться только за счет их теплообмена с окружающими частицами:TdS_dtХрр ‘Деформирование же идеальной среды в адиабатических условиях (Vt'<71 = 0) происходит при неизменной энтропии ее частиц (dS/dt = 0).3.3.2. Вязкая жидкостьВязкая {идеально, или совершенно, вязкая) жидкость —это изотропная сжимаемая сплошная среда, сдвиговое и объемное сопротивление которой линейно зависит от скоростей252деформаций.
Подобная среда реагирует на изменение объемаее частиц и на скорость его изменения, причем каждый из этихфакторов деформирования ^(5€) 0 0, (5^) / о) вносит свойвклад в шаровой тензор напряжений (5а). Вязкая жидкостьреагирует также на скорость изменения формы частиц, и наличие фактора деформирования (Z^) 0 0 вносит свой вкладв девиатор напряжений0 0.
В то же время само изменение формы частиц ((Z>£) 0 о) вязкой жидкости не вызывает появления дополнительных касательных напряжений,т.е. девиатор напряжений определяется только скоростнымфактором.Согласно модели вязкой жидкости, уравнения, определяющие физическое и механическое поведение среды, выглядятсоответственно какТ) 4- 3Аё;(Ра) = 2/х(РДа = -р(р,(3-17)(3.18)где Л и р — динамические коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости; ё — средняя скорость деформаций. Из определяющих уравнений (3.17) и (3.18) следуют физические соотношения для модели вязкой жидкости, принимающие формузакона Навье — Стокса:°ij = ~р(р, Т) gij+ (ЗЛ - 2/z)+ 2де,у.(3.19)В частном случае при Л = р = 0 из закона Навье — Стоксаполучаются физические соотношения (3.16) для модели идеальной жидкости, а сама модель идеальной жидкости можетрассматриваться как частный случай модели вязкой сжимаемой среды.Практически все реальные жидкости и газы в той илииной степени обладают вязкими свойствами.
Например, дажепри малых скоростях деформаций сильно проявляются вязкие свойства у таких жидкостей, как масло, глицерин, нефть,253и для их описания необходимо использовать закон Навье —Стокса (3.19). Для таких же реальных деформируемых сред,как вода, воздух, значения динамических коэффициентов объемной и сдвиговой вязкости малы, что позволяет при малыхскоростях деформаций (е, etJ) пренебречь вязкими составляющими в законе Навье—Стокса и использовать, как ужеотмечалось в разделе 3.3.1, физические соотношения (3.16)для модели идеальной среды. Однако для описания физикомеханических свойств этих же сред при высоких скоростяхдеформаций необходимо использовать уже полный закон Навье— Стокса, так как вязкие составляющие (3.19) могут оказаться соизмеримыми с давлением р или даже превосходитьего, несмотря на малые значения коэффициентов вязкости Аи р.
Такая необходимость появляется, например, при физикоматематическом моделировании гиперзвукового обтекания летательного аппарата воздушной средой.С точки зрения термодинамических особенностей вязкаясреда существенно отличается от идеальной наличием внутреннего трения, приводящего к диссипации энергии и к необратимому переходу части работы деформации во внутреннюю тепловую энергию. Покажем это на примере вязкой баротропной среды, у которой возникающее в частицах давлениезависит лишь от плотности (р = р(р)) и не зависит от температуры.С учетом физических соотношений (3.19) выражение дляудельной мощности деформирования приобретает вид_ [-p(p)5lJ + (ЗА - 2р)ёдгз 4- 2цё*3] kij _РРр{р) dp (ЗА — 2р)= ~pr~di+р’где 71(e) = g^tij — Зе — первый (линейный) основной инвариант тензора скоростей деформаций, взаимосвязанныйсо средней скоростью деформаций е, а ?2(ё) = Ёг}E{j — второй (квадратичный) основной инвариант этого же тензора,254взаимосвязанный с интенсивностью скоростей деформацийег и с первым основным инвариантом как= (х?2/3) хХУЗТ2(£)-Т2(£) (полная аналогия с определением производного инварианта тензора деформаций — интенсивности деформаций, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
