babkin_selivanov (550243), страница 40
Текст из файла (страница 40)
раздел 2.2.3). С помощью приведенных взаимосвязей между основными и производными инвариантами тензора скоростей деформаций выражение для удельной мощности деформирования в вязкой баротропной среде может бытьпреобразовано, а уравнение энергии в адиабатическом приближении примет видdEdtНетрудно видеть, что находящаяся в правой части уравнения энергии удельная мощность деформирования для вязкой среды разделяется на две принципиально разные части— обратимую и необратимую. Первая часть (р(р)/р2) (dp/dt)описывает возможные случаи как увеличения, так и уменьшения удельной внутренней энергии, меняя знак в зависимостиот того, нагружается ли индивидуальная частица вязкой среды (увеличение плотности и удельной внутренней энергии)или же в ней реализуются условия разгрузки (уменьшение соответствующих значений).
Вторая часть 3р > О“действует” только в сторону увеличения удельной внутренней энергии независимо от того, нагружается или разгружается данная индивидуальная частица. Эта существенно положительная часть удельной мощности деформирования и определяет величину некомпенсированной теплоты \ для вязкойсреды, а физически соответствует части работы деформации,диссипируемой при деформировании вязкой среды и переходящей во внутреннюю тепловую энергию. С учетом этого дифференциальное уравнение второго закона термодинамики длявязкой среды принимает видdS _dtЗАё2 + ре] _ У,д*рр ’откуда следует, что в адиабатических условиях (V^1 = 0) энтропия идивидуальных частиц деформируемой вязкой средыможет изменяться только в сторону увеличения: dS/dt > 0.2553.3.3. Упругая средаУпругая (идеально, или совершенно, упругая) среда —это изотропная сплошная среда, сдвиговое и объемное сопротивления которой линейно зависят от деформаций.
В качестве определяющих уравнений для модели упругой средывыступают уравнения, устанавливаемые на основе опытныхданных по деформированию твердых тел (металлов и их сплавов, пластмасс и т.п.) при малых деформациях. Этим жеобстоятельством определяется область практического использования данной модели сплошной среды.Так, из экспериментов по всестороннему сжатию твердых тел при малых объемных деформациях устанавливается прямо пропорциональная зависимость среднего напряженияот средней деформации, выражаемая уравнением Бриджмена(3.12) и определяющая физическое поведение упругой среды.В более общем случае, с учетом влияния температуры, физическое поведение упругой среды описывается уравнением Дюамеля — Нейманна:a = 3K[e-ai(T-TQ)],(3.20)где К — модуль объемного сжатия; а/ — коэффициент линейного теплового расширения материала; У и То — соответственно текущая и начальная температуры материала.
Уравнение Дюамеля — Нейманна может быть представлено в более“прозрачном” для понимания виде: Зе = 0 = a/K+3ai(T—То),показывающем, что вклад в объемную деформацию 0 при деформировании индивидуальных частиц упругой среды вносятвсестороннее сжатие или растяжение и нагрев, при этом влияние фактора нагрева проявляется в зависимости от коэффициента объемного теплового расширения av = Зоц.В то же время из экспериментов по кручению тонкостенных металлических труб, в которых в индивидуальных частицах среды реализуется напряженно-деформированное состояние чистого сдвига, устанавливается прямо пропорциональная256зависимость касательных напряжений от сдвиговых деформаций, приводящая к выводу о существовании следующей взаимосвязи между девиаторами напряжений и деформаций:(3.21)(Ра) = 2(7(Ре),где G — модуль упругости второго рода (модуль сдвига).Уравнение (3.21) принимается в качестве определяющегомеханическое поведение упругой среды.
Из уравнения (3.21)следует скалярное определяющее уравнение — прямо пропорциональная зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций:=<7.- ==2G= ^G~ у/ЗШ = ZGa.Из определяющих уравнений (3.12) (или (3.20)) и (3.21)следуют физические соотношения для модели упругой среды,принимающие форму обобщенного закона Гука. Компоненты девиатора напряжений (см. (3.21)) могут быть выражены через компоненты девиатора деформаций как— agjj == 2G—Отсюда в случае выражения среднего напряжения а через среднюю деформацию е из уравнения Бриджмена (3.12) следуют прямые физические соотношения в виде зависимостей компонент тензора напряжений от компоненттензора деформаций:сггу = 2G 6ij + ^^7 —e9ij •(3.22)Обратные физические соотношения (зависимости компоненттензора деформаций от компонент тензора напряжений) получаются аналогичным образом и имеют вид_ 1£ij ~ 2G9-9712“I"257Обобщенный закон Гука описывает все частные проявления упругого поведения деформируемых сред, реализующиеся в простых случаях напряженно-деформированного состояния.
Так, для деформированного состояния чистого сдвига (£12о, £ц = £22 = £33 = £13 = £23 = 0) согласно (3.22) реализуется напряженное состояние 012 = 2(?£125сг11 = 022 — ^33 = ^13 = 67 23 — Ос прямо пропорциональной зависимостью касательных напряжений от сдвиговых деформаций. Деформированному состоянию всестороннего равноосного растяжения или сжатия (£ц = £22 = £33 = £ / 0,£гу = 0 при i / j) соответствует такое же напряженное состояние: (7ц = (722 = СГЗЗ = СТ = 3Tf£, (712 = СГ13 = (723 = 0.Напряженному состоянию одноосного растяжения ((7ц 0 0,<?22 — сгзз = ^12 = счз = 0*23 = 0, 0 — сгц/3) отвечает трехосное деформированное состояние:= 0 при i 0 j, и6К + 2G(7ц£11 = 641 18KG =(3.24)2G - ЗК£22-£33-3K-2G<711-6К + 2G «11 -К«11,где Е = 1%KG/(QK + 2G) — модуль упругости первого рода(модуль Юнга), а и — (ЗК - 2G)/(6K + 2G) — коэффициентПуассона.Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона и в дополнениек модулю сдвига G и модулю объемного сжатия К являютсяеще одной парой упругих характеристик, через которые может быть представлен обобщенный закон Гука.
Выражая модуль объемного сжатия и модуль сдвига через модуль Юнгаи коэффициент Пуассона какможно получить запись физических соотношений для моделиупругой среды в формеЕ (31/\- 1 + р (Jv+ 1_2ty£gij'J;1+v (2583v\Следует отметить, что имеющаяся взаимосвязь между парамиупругих характеристик (3.25) позволяет ограничиться экспериментальным определением лишь двух из них с последующим расчетом двух других.
Наиболее просто определяютсяиз опытов значения модуля Юнга Е (одноосное растяжениеобразцов) и модуля сдвига G (кручение образцов с реализацией напряженно-деформированного состояния чистого сдвига).Уравнения (3.12), (3.21) и (3.24) позволяют истолковатьфизический смысл упругих характеристик G, Е, у, К. Какследует из (3.21), модуль сдвига G определяет касательныенапряжения, возникающие в упругой среде при чистом сдвиге.В соответствии с (3.24) модуль Юнга Е определяет продольные деформации, возникающие при одноосном растяжении, акоэффициент Пуассона у — соотношение поперечной и продольной деформаций в этом же случае. Согласно уравнениюБриджмена (3.12), модуль объемного сжатия К определяетсреднее напряжение в зависимости от объемной деформациив и, напротив, характеризует объемную деформацию, возникающую в частицах упругой среды, когда в них существуетдавление р = —а: в = Зе ~ а/К.Важным частным случаем модели упругой среды является так называемая несжимаемая упругая среда, объем индивидуальных частиц которой не изменяется при любом уровнедавления (или среднего напряжения).
Для такой среды 0 = 0,модуль объемного сжатия К = оо, а коэффициент Пуассонау = 0,5 в соответствии с (3.25). Для реальных же твердых тел, обладающих сжимаемостью и по своим свойствамблизких к модели упругой среды, коэффициент Пуассона у == 0,2...0,3.Термодинамические особенности модели упругой средыопределяются тем обстоятельством, что процесс адиабатического деформирования ее частиц является обратимым (поопределению свойства упругости, см. раздел 3.2.2) и в случаеснятия нагрузок сопровождается самопроизвольным протеканием в обратном направлении с уменьшением до нуля напряжений и деформаций и возвратом в исходное состояние. Для9*259такой среды отсутствует переход механической работы деформации во внутреннюю тепловую энергию (х = 0), энтропияиндивидуальных частиц может изменяться только за счет теплообмена с окружающими частицами: Т dS/dt =/р =—Деформирование же упругой среды в адиабатических условиях (У= 0) имеет изоэнтропический характерdS/dt = 0.3.3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
