babkin_selivanov (550243), страница 43
Текст из файла (страница 43)
3.9, а. В рамках такой модели предполагается, что пластическое деформирование происходит при постоянном значении интенсивности напряжений273сгг — сгт, что соответствует непрерывному выполнению критерия пластичности (3.36) в процессе пластического деформирования. Для такой модели в пространстве главных напряженийупругим напряженным состояниям материала будут соответствовать точки внутри цилиндра Мизеса (см. рис. 3.15), апластическим напряженным состояниям — точки на поверхности цилиндра, при этом выход изображающих напряженныесостояния точек за пределы цилиндра Мизеса исключен.3.4.3.
Теория пластического теченияПредставленная в разделе 3.4.1 деформационная теорияпластичности хорошо описывает поведение упругопластических сред в случаях малых упругопластических деформацийи простого нагружения, позволяя установить взаимно однозначное соответствие между напряжениями и деформациямисогласно физическим соотношениям (3.29) и (3.30). Однако достаточно часто, особенно в случаях динамического нагружения элементов конструкций, процессы нагружения неявляются простыми: они сопровождаются многократнымиразгрузками, повторными нагружениями и большими деформациями.Характерным примером является процесс высокоскоростного деформирования металлической облицовкикумулятивного заряда под действием давления продуктов детонации взрывчатого вещества, что приводит к формированию металлической кумулятивной струи. При нагружениикумулятивной облицовки продуктами детонации давление наее поверхности меняется как монотонно убывающая функциявремени, и уже одно это не позволяет отнести такой процесск случаю простого нагружения.
Кроме того, распространяющиеся в облицовке волны сжатия и разрежения (чередующиеся нагружение и разгрузка) приводят к тому, что одномуи тому же значению интенсивности деформаций могут соответствовать различные значения интенсивности напряженийв зависимости от того, каким путем получена данная деформация: в результате ли “первичного” нагружения (путь ОАВ274на рис. 3.16) или же после упругой разгрузки (путь О АВ CD нарис. 3.16).
Последующее деформирование кумулятивной струив свободном полете является экстремальным примером реализации больших деформаций, когда отдельныеэлементы струи испытывают к моменту ее разрываболее чем двадцатикратныеудлинения, что соответствует деформациям, примернов 104 раз превышающимупругие.В таких условиях применять для описания поведения упругопластических сред деформационную теорию пластичностине представляется возможным.
Эта теория не описывает поведение подобных сред в общем случае, но лишь характеризуетсвойства частного и наиболее простого процесса — процессапростого нагружения.Следует отметить, что в настоящее время отсутствует строго обоснованная теория поведения упругопластическихсред в случаях произвольных деформаций и сложного нагружения. Более всего известным экспериментальным даннымсоответствует теория пластического течения. В отличие отдеформационной теории пластичности теория пластического течения является инкрементальной теорией (инкремент— приращение).
В ней рассматривается изменение характеристик напряженно-деформированного состояния за каждыйбесконечно малый интервал времени dt и устанавливаютсявзаимосвязи между соответствующими приращениями компонент тензора деформаций deij и напряжений do{j.Определяющие уравнения для модели упругопластической среды, раскрываемой в рамках теории пластического течения, выражаются четырьмя предположениями, или гипотезами.2751.
Упругопластическая среда предполагается изотроп-ной.2. Изменение объема упругопластической среды предполагается малым, а физическое поведение — подчиняющимсяуравнению Бриджмена do = 3Kds, записаному в приращениях.3. Предполагается, что приращения компонент тензорадеформаций dejj складываются из упругих de^ и пластических de^ составляющих:detj = dejp + de®.(3.37)При этом упругие составляющие приращений компонент тензора деформаций связаны с приращениями компонент тензоранапряжений согласно обобщенному закону Гука, записанномув дифференциальной форме:= 2(9 d<Tij' +" 0 d<79ij ’(3-38)Эта гипотеза называется гипотезой аддитивности деформаций и вполне соответствует особенностям физических соотношений (3.30)—(3.32) для модели упругопластической средысогласно деформационной теории пластичности.4.
Предполагается, что пластические составляющие приращений компонент тензора деформаций определяются компонентами девиатора напряжений согласно ассоциированномузакону пластического течения:Цр) = dXDffij,(3.39)где dX — малый скалярный множитель.Ассоциированный закон пластического течения обобщаетрезультаты опытов по сложному нагружению упругопластических сред, из которых следует, что при сложном нагружении отсутствует пропорциональность девиаторов напряжений276и деформаций, подобная имевшей место при простом нагружении и описываемой определяющими уравнениями (3.26) деформационной теории пластичности.
В более сложном случаеимеет место приращение пластических деформаций, пропорциональное девиатору напряжений. Ассоциированный законпластического течения (3.39) учитывает уже отмеченный вразделе 3.4.1 экспериментальный факт так называемой пластической несжимаемости, согласно которому пластическиедеформации связаны с изменением формы индивидуальныхчастиц, но не с изменением их объема. Действительно, с учетом условия аддитивности деформаций (3.38) можно показать,что вклад в изменение de средней деформации е вносят лишьупругие составляющие приращений компонент тензора деформаций:de = de^/3 = (deV + de^)/3 == de^’/Z + de^g^/3 = de^gij/3 = de^,тогда как пластические деформации не влияют на изменениеобъема индивидуальных частиц: de^ = de^g^/3 = dX х= 0.Ассоциированному закону пластического течения можетбыть дано простое физическое объяснение, основывающееся наанализе поведения упругопластической среды в простейшемслучае напряженного состояния — случае одноосного растяжения.
На рис. 3.17 приведены три, казалось бы, возможныхварианта диаграммы= ^1(^1) для этого случая. Однакоопыт свидетельствует, что реально реализуются лишь диаграммы, подобные показанной на рис. 3.17, а, и для дополнительного пластического деформирования Aej > 0 требуютсядополнительные напряжения Дсг^ > 0, т.е. удельная работа дополнительных напряжений на дополнительных пластических деформациях — существенно неотрицательная величина:Д^Дб! > 0.(3.40)277а71!—Обратная ситуация (рис. 3.17, бив) исключена, так как, например, варианту диаграммы нарис.
3.17, в соответствует нарушение закона сохранения энергии (нагружению вертикального стержня дополнительнымгрузом соответствуют уменьшение деформаций, укорочениестержня и подъем груза). Дляидеальной упругопластическойсреды (см. рис. 3.9, а) условие(3.40) приобретает видAtfiAei = 0.(3.41)В общем случае напряженное состояние идеальной упругопластической среды характеризуется тензором напряжений,1который можно рассматриватьв некотором девятимерном гиперпространстве как вектор скомпонентами(рис.
3.18).Г\ 1Поверхности пластичности вэтом гиперпространстве будетсоответствовать некоторая гиперповерхность= 0, отвечающая критерию пластичности Мизеса (3.35).Припластическом деформировании крайняя точка вектора с компонентами aij движется по поверхности пластичности, а вслучае бесконечно малого приращения напряжений da^j вектор можно считать направленным по касательной к поверхности. Подобным же образом пластические составляющиеприращений компонент тензора деформаций de^\ соответствующие данному приращению напряжений, могут рассма67278триваться как компоненты девятимерного вектора, определенным образом ориентированного по отношению к векторуприращения напряжений dcr^.
Поаналогии с (3.41) удельная работа дополнительных напряженийна дополнительных пластических деформациях равна нулю= о), что свидетельствует об ортогональности вектора de$ вектору dcr^-, а следовательно, и поверхности пластичности F(crtj) = 0. Учитывая, что направление нормали к поверхностипластичности в рассматриваемомгиперпространстве определяется вектором градиента с компонентами dF/dvij = (дF/dD/dcr-ij) (суммированиеno i и j не подразумевается), и принимая во внимание усло(р)вие дD„у /d&ij = 1, условие ортогональности вектора defyповерхности пластичности Мизеса (3.35) можно привести квидуd£W = dX {dF/doij} = dX ■вполне соответствующему экспериментально устанавливаемому соотношению (3.39).Из уравнений (3.37)—(3.39) следуют физические соотношения для модели упругопластической среды согласно теориипластического течения, которые могут быть записаны в приращениях, т.е.dejj —_1_dcrij +2G“F* F)<rij >(3.42)или в скоростях, т.е.(3.43)279где Cij = deij/dt — компоненты тензора скоростей деформаций; aij = dajj/dt — скорости изменения компонент тензоранапряжений; а = da/dt — скорость изменения среднего напряжения; А = dX/dt — скалярный множитель.
Физическийсмысл входящего в физические соотношения скалярного множителя dX (или А) может быть установлен с помощью ассоциированного закона пластического течения (3.39). Действительно, с помощью соотношений (3.39) может быть полученовыражение для приращения удельной работы напряжений напластических деформацияхdAp = crtJ= dx= dX- agij) = dX- aa^gij) =[т2(а) - т^уз] = dX [ЗТ2(<7) - т^/з,которое с учетом известного из теории напряжений выражения для производного инварианта тензора напряжений (интенсивности напряжений) сгг- = (\/2/2) уЗТ^*7) —(а) позволяет установить, что значение скалярного множителя dX определяется именно приращением удельной работы напряженийна пластических деформациях и интенсивностью напряженийкак dX = 3dAp/(2a^).
Соответственно скалярный множительА будет определяться следующим образом:. _ 3dAp~ 2а] dt ’где dAp/dt = агЦ^ — удельная мощность пластического деформирования.Из выражений (3.42)—(3.44) следует, что при упругомдеформировании упругопластической среды (начальное упругое нагружение — участок ОЛ на рис. 3.12, упругая разгрузка и повторное упругое нагружение — участки ВС и СВ нарис.
3.12), которому соответствует изменение лишь упругихдеформаций при отсутствии приращений или скоростей пластических деформацийdAp = 0,280dAp/dt = О,dX = 0,А = 0,физические соотношения для модели упругопластической среды согласно теории пластического течения сводятся к закону Гука, записанному в дифференциальной форме, и, такимобразом, позволяют описывать и эти частные случаи деформирования упругопластической среды, чем существенно отличаются в лучшую сторону от физических соотношений (3.29)и (3.30) деформационной теории пластичности, справедливыхлишь для частного случая простого нагружения из исходного(недеформированного) состояния.Важными и часто используемыми частными случаямимодели упругопластической среды являются идеальная упругопластическая среда (см.
рис. 3.9, а) и жесткопластическаясреда (см. рис. 3.9, г). Физико-механическое поведение идеальной упругопластической среды описывается уравнениямипластического течения Прандтля — Рейсса, также имеющимивид (3.42) и (3.43), в то время как входящий в эти уравненияскалярный множитель Л определяется соотношениемdAp2(7^ dtи, в частности, равен нулю при упругом нагружении или разгрузке.Физические соотношения для модели жесткопластическойсреды (теория пластического течения Сен-Венана — Мизеса)также следуют из общих уравнений теории пластического течения в предположении реализации сильно развитого пластического течения, когда упругими деформациями по сравнению с пластическими можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
