babkin_selivanov (550243), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Различают граничные условия нескольких типов:кинематические, динамические, смешанные и температурные.Кинематические граничные условия соответствуют слу­чаю, когда на поверхности S тела (или ее части) задаютсяперемещения и(ж^, t) или скорости v(x's, t), где x's = xls(t)— координаты точек поверхности 5, изменяющиеся в общемслучае в зависимости от времени.Динамические граничные условия (или граничные усло­вия в напряжениях) задаются, когда на поверхности S дей­ствуют поверхностные силы р. Как следует из теории напря­жений, в этом случае на любой элементарной площадке по­верхности с единичным вектором нормали п вектор удельныхповерхностных сил рп принудительно задает вектор полногонапряжения ап = рп> действующий в сплошной среде в точкена данном участке поверхности, что приводит к взаимосвязитензора напряжений (а) в этой точке с поверхностной силой иориентацией вектора п соответствующего участка поверхно­сти: (а) • п = рп или aijnl = рп{ (см.

(2.49)).Смешанные граничные условия соответствуют случаю,когда на поверхности S задаются значения и кинематических,300и динамических величин или устанавливаются взаимосвязимежду ними.Температурные граничные условия подразделяются нанесколько групп (родов). Граничные условия первого рода за­дают на поверхности S деформируемой среды определенныезначения температуры Т. Граничные условия второго родазадают на границе вектор теплового потока q, что с учетом за­кона теплопроводности Фурье q = — A grad Т, по существу, на­кладывает ограничения на характер температурного распре­деления в окрестности граничной точки qz = —AV,Г. Гранич­ные условия третьего рода устанавливают зависимость междувектором теплового потока q, направленным к данной средесо стороны окружающей среды, и температурным перепадоммежду этими средами и т.д.Следует отметить, что постановка и решение большин­ства задач физики быстропротекающих процессов, как прави­ло, осуществляются в адиабатическом приближении, поэтомутемпературные граничные условия используются достаточноредко, в основном в различных сочетаниях применяются кине­матические, динамические и смешанные граничные условия.Рассмотрим возможные варианты задания граничных усло­вий на частном примере.На рис.

4.2 схематично представлен процесс взаимодей­ствия при проникании деформируемого тела I в деформиру­емую преграду П. Тело I ограничено поверхностями Si иг>5, а тело и — поверхно­стями 52, 53, S4 > 5б. По­верхность S5 является грани­цей раздела взаимодействую­щих деформируемых тел.Будем полагать, что движе­ние тела I до начала взаимо­действия, а также в его про­цессе происходит в жидкости,создающей определенное ги­дростатическое давление ро и301задающей внешние по отношению к обоим телам поверхност­ные силы рп = —роп — —рощг^ действующие на любой изэлементарных площадок поверхностей 51 тела I и S2 прегра­ды Я, граничащих с жидкостью.

Будем также считать, чтоповерхность 5з преграды жестко закреплена, а поверхность54 свободна от действия поверхностных сил (рп = 0).Для приведенного примера на различных поверхностях,ограничивающих деформируемые среды I и Я, должны зада­ваться граничные условия всех трех основных типов. Очевид­но, что на жестко закрепленной поверхности 5з следует задатькинематические граничные условия г(5з) =t) = 0.Граничные условия на поверхностях 51 и S2 однотипны и от­носятся к динамическим условиям, накладывающим ограни­чения на компоненты тензора напряжений в граничных точкахсоответствующих тел: сг^п3 = —pont или+ Po9ij) п3 = 0.Компоненты тензора напряжений на поверхности 54 прегра­ды также не могут быть произвольными, а взаимосвязаны сориентацией ее элементарных площадок как= 0.Граничные условия на границе раздела (поверхность 5s)взаимодействующих деформируемых сред являются наиболеесложными и относятся к условиям смешанного типа, включа­ющим, в свою очередь, кинематическую и динамическую ча­сти (см.

рис. 4.2). Кинематическая часть смешанных гранич­ных условий накладывает ограничения на скорости движенияиндивидуальных точек обеих сред, находящихся в контактев каждой пространственной точке поверхности 5s. Возмож­ны два варианта задания этих ограничений, проиллюстри­рованные на рис. 4.3, а и б. По наиболее простому перво­му варианту предполагается, что скорости движения любыхдвух находящихся в контакте индивидуальных точек одина­ковы (vj = гд), — это так называемое условие “прилипания”,или условие “сварки” (см. рис. 4.3, а). Более сложным и вто же время более адекватным для рассматриваемого процес­са является задание условия “непроницаемости”, или условия“непротекания” (vz • n = v# • п; см.

рис. 4.3, б\ которое соот­ветствует экспериментально подтверждающемуся факту: вза­имодействующие деформируемые среды не могут проникать302друг в друга или отставать друг от друга, а могут проскаль­зывать одна относительно другой со скоростью Vj — гд, напра­вленной по касательной к границе раздела ((vz — г?д) • п = 0).Динамическая часть смешанных граничных условий на грани­це раздела двух сред формулируется на основе третьего законаНьютона с использованием соотношений теории напряжений(рис. 4.3, в).

Так, в каждой из двух находящихся в контактеиндивидуальных частиц деформируемых сред I и П реализу­ется свое напряженное состояние, характеризуемое тензораминапряжений (а); и (сг)я. При этом в среде I на каждой эле­ментарной площадке границы раздела с единичным векторомнормали п/, внешней по отношению к данной среде, действу­ет вектор полного напряжения anI =• П/.

В среде Пна той же площадке, но с единичным вектором нормали пд,внешней по отношению к этой среде, действует вектор полно­го напряжения сгпд = (сг)д'Пд. С учетом взаимности действияи противодействия ап1 = —<ттад, а также очевидного условияп/ = —пд = п устанавливается взаимосвязь между тензораминапряжений в обеих взаимодействующих средах на границе ихраздела: (сг)7 • п — (сг)д • п или же— е^д) п3 = 0.Возможные варианты задания граничных условий не ис­черпываются рассмотренным частным примером. Вариан­тов задания начальных и граничных условий столь же много,сколь много существует в природе и технике процессов взаи­модействия деформируемых тел или сред.

Они определяются303особенностями решаемой практической задачи и задаются всоответствии с приведенными выше общими принципами.4.2. Постановка задачмеханики идеальной жидкости и газаОсновой системы исходных уравнений в данном случаеявляются дифференциальные уравнения неразрывности, дви­жения и энергии (4.1)—(4.3), а также кинематические со­отношения (4.5), справедливые для любой среды независи­мо от ее физико-механических свойств. Особенности физико­механического поведения рассматриваемой сплошной средыбудут учитываться физическими соотношениями вида (3.16)при использовании уравнения состояния в термической(р = р(р, Т)) или калорической (р = р(р, Е)) форме (в зависи­мости от последующего выбора основных неизвестных). Принеобходимости учета теплообмена между частицами идеаль­ной среды в систему исходных уравнений следует включитьи соотношения закона теплопроводности Фурье q' = qjg'3 == —Xg'JVjT. В связи с тем, что дифференциальные уравне­ния законов сохранения и физические соотношения для моделиидеальной среды не включают в явном виде компоненты тен­зора деформаций, геометрические соотношения (4.6) и диффе­ренциальные уравнения (4.4) взаимосвязи перемещений и ско­ростей в систему исходных уравнений могут не включаться,если их определение не представляет интереса.В итоге система исходных уравнений, составляемая припостановке задач механики идеальной жидкости или газа, име­ет следующий вид:dt3040;&ij —2ivj += ~P9ijip = p(p, E) или<7* = -Xg^jT.p = p(p, T);Приведенная система исходных уравнений может бытьпреобразована с помощью операций тензорной алгебры с од­новременным упрощением ряда уравнений и исключением изсистемы некоторых “промежуточных” соотношений и соот­ветствующих характеристических функций.

Например, урав­нение энергии с учетом кинематических, физических соотно­шений, закона теплопроводности Фурье и уравнения нераз­рывности преобразуется так:= (-р<7*>) 0,5 (V.v, + VjV|) - V,(-A?'VyT) == —0,5р [(V,(vy> ) + Vy(t>,•?>))] + A^V,VyT =где V2T = AT = g^VfVjT — оператор Лапласа, записанныйдля случая произвольной системы координат. В этом мож­но убедиться при использовании наиболее простой декартовойпрямоугольной системы координат, в которой метрические ко­эффициенты образуют единичную матрицу (gt} = 1 при i = jи дгз = 0 при i / j), а абсолютные производные по коорди­натам совпадают с обычными частными производными (см.раздел 1.3.6):= V,+ V2V2T + V3V3T =д2Тд2Т+д2ТВ свою очередь, дифференциальные уравнения движенияс помощью физических соотношений для модели идеальной305среды также существенно упрощаются и приобретают следу­ющий вид:р= Ft' +== Fi + ?“Va(-W) = F% - g^9ijVaP == Fi-g^ap = Fi- ViP.(4.9)Уравнения (4.9) выражают собой частный случай закона со­хранения импульса для деформируемой идеальной среды и на­зываются уравнениями Эйлера.

Характеристики

Список файлов книги