babkin_selivanov (550243), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Простое нагружение является частным случаем более общего процесса —процесса нагружения упругопластической среды, когда с течением времени происходит увеличение интенсивности деформаций виндивидуальных частицахсреды (участок ОАВ нарис. 3.12). Однако в упругопластических средах могут реализовываться и иныепроцессы — процессы разгрузки, сопровождающиесяуменьшением интенсивности деформаций в частицах среды стечением времени (участок ВМС на рис.
3.12).Математическое описание процесса разгрузки в упругопластических средах базируется на экспериментально установленном факте: разгрузка упругопластической среды происходит упруго по отношению к предварительно нагруженной среде. Определяющие уравнения для процесса разгрузки упругопластической среды соответствуют определяющим уравнениям (3.12) и (3.21) для модели упругой среды, но с тем лишьотличием, что записаны они по отношению к приращениямкомпонент тензоров напряжений и деформаций:Да = 3#Де,Д(Ра) = 2(7Д(£>е).267Соответственно и физические соотношения, описывающиеразгрузку упругопластической среды, являются обобщеннымзаконом Гука, записанным в приращениях:(3.33)где приращения напряжений и деформаций определяются поих разности в текущем состоянии реализующейся разгрузки(точка М на рис.
3.12) и в состоянии окончания процесса нагружения и начала разгрузки (точка В на рис. 3.12).В частности, при полной разгрузке упругопластическойсреды (точка С на рис. 3.12) соотношения (3.30) и (3.33) позволяют показать, что остаточные деформации= Cfj + Дегув упругопластической среде действительно определяются соотношением (3.32), тогда как часть деформаций(3.31),возникших в результате нагружения, действительно являются обратимыми и исчезают при исчезновении напряжений.3.4.2.
Критерий пластичностии поверхность пластичностиПод критерием (или условием) пластичности понимается некоторое предельное условие (взаимосвязь между компонентами тензора напряжений или тензора деформаций), привыполнении которого упругопластическая среда уже не подчиняется только упругим соотношениям и в ней начинаютразвиваться пластические деформации. В простейшем случае напряженного состояния — при одноосном растяжении— в качестве такого условия выступает условие достиженияединственной отличной от нуля компонентой тензора напряжений некоторого предельного значения.
На рис. 3.13 дляидеализированной диаграммы одноосного растяжения с линейным упрочнением в качестве такого предельного значения выступает значение предела текучести при одноосном268растяжении (7ц = (7Т. В более сложном случае, когданапряженное состояние вупругопластической средехарактеризуется тензоромнапряжений (сг) с девятьюотличными от нуля компонентами, предельное условие не является столь очевидным. Однако с учетомтого, что любое напряженное состояние может характеризоваться тензором напряжений(ст) = CTjyr’H = CTiKjKj + стг-К^ + a3R^R^,задаваемым в декартовой прямоугольной системе координат главных осей (т/1, т/2, 773) через свои главные значенияа2> <?3 > поиск выражения для предельного условия можетбыть существенно облегчен и сведен к установлению междуглавными напряжениями cq, а 2, <тз взаимосвязиГ(<71, а2, (73) = О,соответствующей переходу от упругости к пластичности.Иначе говоря, критерий пластичности удобно рассматриватьв пространстве главных напряжений.Под пространством главных напряжений понимается некоторое трехмерное пространство, каждой точке которого соответствуют определенные значения каждого из трех главныхнапряжений crj, сг2, (73.
В пространстве главных напряженийможет быть введена декартова прямоугольная система координат (рис. 3.14), в которой начало координат (точка 0) соответствует ненагруженному состоянию, а по осям откладываютсявозможные значения главных напряжений.
В такой системе269Рис. 3.14координат удобно изображать различные напряженные состояния. Например, точки на координатных осях ai, 0*2, аз соответствуют напряженным состояниям одноосного растяженияили сжатия, точки на пространственной диагонали системыкоординат (прямая, равнонаклоненная к осям crj, <72, аз) соответствуют всестороннему равноосному растяжению (положительный октант) или сжатию (отрицательный октант). Критерию же пластичности (3.34) в пространстве главных напряжений соответствует некоторая поверхность — поверхностьпластичности, при этом точки, расположенные внутри поверхности пластичности, соответствуют упругому состояниюматериала, а точки на поверхности и за ее пределами — пластическому состоянию.Известно несколько критериев пластичности для твердых тел с упругопластическими свойствами, однако среди нихвыделяется критерий пластичности Мизеса, наиболее распространенный и хорошо удовлетворяющий опытным даннымдля металлов и их сплавов.
По своей природе критерий пластичности Мизеса является энергетическим критерием. Согласно этому критерию, переход упругопластической средыиз упругого состояния в пластическое происходит тогда,когда удельная энергия упругого изменения формы достигает своего предельного значения. Этот экспериментально подтверждающийся факт лежит в основе получения математического выражения, конкретизирующего общий вид предельногоусловия (3.34).270Выражение для удельной энергии деформации упругопластической среды, находящейся в упругом состоянии, можетбыть получено с помощью интегрирования уравнения энергии pdE/dt =с учетом естественного для упругого состояния предположения о малых деформациях (cij dt = dtij,р — р0/(1 + Зе) « ро)> с использованием разложения тензоровнапряжений и деформаций на шаровую и девиаторную составляющие и с учетом физических соотношений (3.12), (3.21)для модели упругой среды.
Учитывая указанные предположения, а также равенство нулю первых основных инвариантов девиаторов напряжений и деформаций, уравнение энергиипреобразуем к виду+dE -POPO_ 3<7 de + Plj dPeij _ 3<7 d<r/(3K) + Р% dPffij/(2G)PoPoиз которого после интегрирования получим выражение дляудельной потенциальной энергии деформации<72РУР^2Кр0 + 4Gp0 ’позволяющее выделить в ней две части, одна из которыхсвязана с изменением объема индивидуальных частиц Еу == сг2/(2Аг/эо), а другая определяется их формоизменениемЕ3 = P?Pffij/(4GPo).Как следует из результатов экспериментов, значениеудельной энергии формоизменения, предельно “выдерживаемое” упругопластической средой при работе в упругом режиме, не зависит от вида напряженного состояния и в силу этогоможет быть определено по любому известному условию перехода от состояния упругости к состоянию пластичности, например по известным условиям предельного перехода при одноосном растяжении:^11 =СГ22 = ^33 = ^12 = ^13 = ^23 = 0‘,= ^т/З;= 2бгт/3; D&22 = —^т/З; ^азз = — ^т/З;Dg-ij “0,0271Предельно допустимое значение удельной энергии упругогоформоизменения определится как Е* = ^/(бСро), и математическое выражение для энергетического критерия пластичности Мизеса Е3 = Е* применительно к произвольному напряженному состоянию примет видD^D^j = 2^/3,(3.35)а с учетом взаимосвязи второго основного инварианта девиатора напряжений с интенсивностью напряжений ^сг, == (ч/2/2)л/ЗГ2(Р<7) = (л/2/2) y/wyDrij ) его можно свести кусловию равенства интенсивности напряжений пределу текучести при одноосном растяжении сгг = сгт.
При представленииинтенсивности напряжений через главные напряжения (2.47)получается окончательное выражение для критерия пластичности Мизеса в пространстве главных напряжений:(<71 - СГ2)2 + (<72 - ^з)2 + (<73 - <71)2 = 2<т2.(3.36)Геометрическим образом критерия пластичности Мизеса(3.36) в пространстве главных напряжений, или поверхностьюпластичности, является прямой круговой цилиндр, ось которого совпадает с пространственной диагональю cri = сг2 = сгзсистемы координат, а радиус R определяется значением предела текучести сгт.
В этом легко убедиться, составив каноническое уравнение такого цилиндра в декартовой прямоугольнойсистеме координат пространства главных напряжений.Произвольному напряженному состоянию 0*1, ^2, ^3 впространстве главных напряжений соответствует точка А(рис. 3.15), положение которой относительно точки 0, принятой за начало координат, характеризуется радиус-векторома = crii + (72j + (T3k. Ориентация пространственной диагоналисистемы координат (crj, сг2, сгз) задается единичным векторомп = г/х/3 + ji/л/З + fe/x/З, равнонаклоненным к координатным осям. Проекция вектора ст, соответствующего данномунапряженному состоянию, на направление пространственной272диагонали определится как= <т п = (crj ++ ^зУл/З.Условие нахождения точки А в пространстве главных напряжений на цилиндрической поверхности радиусом R выражается как |<т|2 = R2, где |<т| = у4т2 + сг^ + crj — модульвектора а. Таким образом, в пространстве главных напряжений уравнение цилиндрической поверхности радиусом R сосью, совпадающей с пространственной диагональю системыкоординат, определится как^1 + ^2 + ^3 “ (а1 ++ ^з^/З = R2или же как(<71 - <72)2 + (<Т2 - <7з)2 + (<73 - <71)2 = 3R2.Последнее выражение полностью соответствует записи критерия пластичности Мизеса (3.36), и это, с одной стороны,подтверждает, что поверхность пластичности по этому критерию является круговой цилиндрической с равнонаклоненнойк осям координат осью, а с другой стороны, позволяет определить радиус этого цилиндра R = ат ^/2/3.Как уже отмечалось выше, важным частным случаеммодели упругопластической среды является модель идеальной упругопластической среды с диаграммой механическогоповедения, показанной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
