babkin_selivanov (550243), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Для некоторого момента времени закон движениясплошной среды задается уравнениями ж1 = Яр, я2 = я2 + аяр,х3 = Яр + ая2, где я1, я2, я3 — эйлеровы координаты инди­видуальных точек, а Яр, Яр, я3 — их лагранжевы координа­ты, понимаемые как начальные значения эйлеровых коорди­нат. Определите поле перемещений сплошной среды, описавего с позиций Лагранжа и Эйлера.Решение.В соответствии с определением вектор пе­ремещения и = г — R, где г — радиус-вектор текущего по­ложения индивидуальных точек, а Я — радиус-вектор их на­чального положения. Отсюда компоненты вектора перемеще­ния выражаются через эйлеровы и лагранжевы координатыкак и1 = х1 — Яр, что приводит к описанию поля перемеще­ний с позиций Лагранжа как и1 = 0, и2 = аяр, и3 = аяр.

Этоописание определяет перемещение любой индивидуальной точ­ки, выделяемой тройкой значений своих начальных координат1 Jzp,/у»2 а,р.«,3а,р,357Переход к описанию поля перемещений с позиций Эйлеравыполняется с помощью преобразования закона движения ипредставления его в обратной форме:лоах3 — х2*0 = -^-^лх0 = х,оах2 — х3Х() = ——указывающей на то, какая именно точка среды, индивидуали­зируемая лагранжевыми координатами zj, z2, Zq. находитсяв данный момент времени в данной точке пространства с эй­леровыми координатами х1, z2, z3.

С учетом этого преобра­зования поле перемещений описывается с позиций Эйлера (длякаждой точки пространства) каках^ — я32ли= 0,и =а—х---- —,а2 - 1зах^ “х%и =а—z —.а2 - 18. В сопутствующей системе координат (f1, £2, £3), явля­ющейся в начальный момент времени декартовой прямоуголь­ной, задано поле перемещений:и = f^R1+ (f2 4- £3)2Д2 - £2£3К3.Считая деформации малыми, сопоставьте три следующие ин­дивидуальные частицы с заданными лагранжевыми координа­тами£2, £3 с точки зрения изменения их объема и формы:М\(0, а, 2а), М2(2а, -а, 0), Мз(2а, За, -За).Решение. О степени изменения объема и формы ин­дивидуальных частиц следует судить по производным инва­риантам тензора деформаций — средней деформации и интен­сивности деформаций:£ = |Т1(е),=где первый и второй основные инварианты в декартовой пря­моугольной системе координат определяются какГ1(е) = Eijgtj = eh+ £22 + езз;^2(£)= £v£,J — £ii + е22 + £зз +3582е22 + 2е23 + 2е2з-Значения компонент тензора деформаций в индивидуаль­ных точках сплошной среды определяются согласно геометри­ческим соотношениям, в данном случае приобретающим сле­дующий вид:дщг211 “ ае1 “е ’(2£2 + £3);£23 - £32 -= ~£2-е33 =Для индивидуальной частицы Mi(0, а, 2а)((£v)) = [ [ 06а2аЦо2а-а"77Т*2(е) = 46а2,£ = 2а,] j ■ ВД= 6а,£, =а;Одля индивидуальной частицы Mz(2a, -а, 0)—аа-ajj, 71(e) =-2а,а —2а0—ал/5272(f) = 10а2, £ = -|а, ft = —а;(М) = [[для индивидуальной частицы Мз(2а, За, -За)а(( ЗаZ /\ ’.((*»>)а1,5аTi(£) = 0,0='1 1 0 1,5а -За49а2v/147£ = 0, €iГ2(£) =2 ’30 1)I I ,JJ359Наибольшие объемную деформацию и формоизменение испы­тывает индивидуальная частица Mi, наименьшее изменениеобъема — частица М3, а наименьшее формоизменение — ча­стица М2.9.

Напряженное состояние сплошной среды в декарто­вой прямоугольной системе координат задано полем тензо=ра напряжений (*) = (7ijrlri с компонентами'(2хуЗу211 0Зу20Z°гZ. Определите вектор полного напряже­1J Jния, нормальное и касательное напряжения в точкеР(2, 1, х/З) на площадке, касательной к цилиндрической по­верхности у2 + z2 = 4.Решение. Вектор полного напряжения, нормальноеи касательное напряжения в любой точке сплошной среды напроизвольной площадке определяются тензором напряженийв этой точке и ориентацией площадки как <тп = (а) • п ==ijn^r* = anir*,= trn • п =&nin* >т=~=Тензор напряжений в данной точке среды Р(2, 1, х/З) при-(( П I(Р° 11II, а единичныйвекI 3 03х/ЗU }) ((О х/3 1 JJтор нормали к заданной площадке определяется как нормаль книмает вид 11 0»? ] 1 =цилиндрической поверхности Ф(ж, у, г) — у2 4-г2 — 4 = 0, кото­рая может рассматриваться как одна из поверхностей уровняскалярной функции координат Ф(ж, у, z) = у2 + z2 — 4.В соответствии с физическим смыслом градиента скаляр­ной функции координат последний направлен по нормали к за­данной цилиндрической поверхности и позволяет определитьискомый единичный вектор нормали как n = grad Ф/Jgrad Ф|.В заданной точке360,1grad ФIP<ЭФ= — Г!дх<9ФдФ4- —г2 + ТгГЗду4-2гг3)|^ ==(2ут2р2г2 + 2л/3 гз,|grad$| = 4,л/З Г3.П = -1 Г2 4- —2В итоге вектор полного напряжения определится как4- ст12п2 4- Ст13«3)<?п =4-(<Т21’г1 4- <?22П2 + <723n3) г2 + (<^31 п1 + <^32«2 + О’ЗЗП3) т3 == (4.0 + 3 • | + 0 • ^ ) г3 + (з ■ 0 + 0 • | + Л ■ ^ ) г2 ++ (оО + 4/Ц+1.^)г3 = |г1 + р + 4/Зг3,а нормальное и касательное напряжения будут соответственноравны:^(n) =il23~4“ ^n2n 4” ^пЗп ==3 1/- л/з 94-V3—2 22 = 4-;32= -•04----------/jТ = y/Wn -2у/39<7(2п) = —.10.

Относительно неподвижной декартовой прямоуголь­ной системы координат (ж1, ж2, ж3) имеется плоский поток не­сжимаемой жидкостиv1 =г2,v2О,-у3= 0,где г2 = (z1) + (z2) . Найдите во всем потоке компонентуv2, если v2 = 0 при z1 = 0 для всех значений z2.361Решение. Уравнение неразрывности для плоскогопотока несжимаемой жидкости VгУг = 0 в декартовой прямо­угольной системе координат сводится к видуdv1dv2 _дх1 + дх^’откуда2ах2х*dv1dv2^=~^="[Н’+НТИнтегрируя последнее выражение по х2 при фиксированномх1 от некоторого х2 до произвольного ж2, получаемЗаданному условию v2 = 0 при х1 = 0 для Vx2 отвечает любаяфункция С^х1, я2), удовлетворяющая требованию С(х\ ж2) == C^z1) = 0 при х1 = 0, и, в частности, искомый результатможет быть представлен как2ах1ах1” = (У)2 + (^)2 =11. Найдите зависимость скорости материального конти­нуума от времени и лагранжевой координаты его частиц, еслираспределение напряжений в среде задано в декартовой пря­моугольной системе координат приведенным ниже тензором362напряжений, массовые силы отсутствуют и в началь­ный момент времени материальный континуум неподвижен:За:1?:2/? 5(аг2)2/?О, где р — плот5(а:2)2р2а:3/?02а?3/?ООность среды.((’■>)) =Решение.

В соответствии с уравнениями движе­ния компоненты вектора ускорения индивидуальных точек ма­териального континуума определяются какVy<7lj' =да12да13 =да11+дх2+дх3дх1Зх2р + 10а:2/? = 13а;2/?;&721= Vj(X2j =да;1= Vycr3^ =да22да23п+ ~дх2+~д^~2р'да32да33 _dcr31дх1 + дх2 + да;3С учетом начальных условий отсюда получаем, что в на­правлении оси ж3 движение отсутствует: v3 = 0, в направ­лении оси х2 оно является равноускоренным: v2 = 2/, а внаправлении оси х1 — более сложным: dv1 /dt = 13х2, где эй­лерова координата х2 индивидуальных точек зависит от вре­мени и изменяется согласно дифференциальному уравнениюdx2/dt = v2 = 2t. Интегрирование последнего уравнения сучетом определения лагранжевой координаты как начальнойэйлеровой Zq = х21позволяет получить закон изменения эй­леровой координаты индивидуальных точек: х2 = x2+t2.

Припоследующем интегрировании уравнения движения по напра­влению х1 с учетом отсутствия движения в начальный моментнаходим зависимость первой компоненты вектора скорости отвремени и лагранжевой координаты: v1 = 13(zq t + /3/3).12. В сплошной среде с теплопроводностью Л в некоторыймомент времени существует температурное поле Т(х, у, г) == bxy — Zxz. Определите количество теплоты, передаваемой в363единицу времени через лежащую в плоскости хОу квадратнуюплощадку 0<z<l,0<y<l.Решение.

Искомая величина может быть определенапотоком вектора q через заданную поверхность:q - п dS,при этом единичным вектором нормали для всех элементар­ных участков dS заданной площадки будет являться напра­вленный по оси z базисный вектор к (в данном случае п = fe).Согласно закону теплопроводности Фурье, вектор тепло­вого потока в любой точке сплошной среды определится какх (дТ !+. ^.дТ j+. ^^дТ Д =g = -Aх gradT=-A^.. -А |75у - 3z) i + 5х j — Зх fej,так что количество теплоты, передаваемой в единицу временичерез данную площадку, равно13.

В вязкой жидкости с динамическим коэффициентомсдвиговой вязкости /л в направлении оси х равномерно дви­жется длинная тонкая пластина длиной L и шириной а. Приэтом в окрестности пластины реализуется течение с распреде­лением скорости в направлении движения в виде vx = v$e~yl&,где у — направление, перпендикулярное движению пластины,а 6 — параметр, имеющий размерность длины. Какой долж­на быть сила, прикладываемая к пластине для осуществлениятакого движения ?364Решение.

Искомую силу следует оценивать по ве­личине касательных напряжений аху, действующих на гра­нице вязкой жидкости и пластины. В соответствии с закономНавье — Стокса и кинематическими соотношениями касатель­ные напряжения в произвольной точке вязкой жидкости опре­делятся какаХу — 2ц£Ху — 2/iivj + ^jvij — М Qy “6 еНа границе раздела аху = — /wo/^> и искомая сила равна F == 2fiV()La/6.14. Для упругого состояния упругопластической средысопоставьте напряженно-деформированные состояния одно­осного растяжения (crjО, сг2 = сг3 = 0, £0, £2 = £30)и одноосного деформирования (ai0, а 2 =7^ 0, £10,£2 = £3 = 0) по значениям интенсивности напряжений.

В ка­ком из этих случаев переход в пластическое состояние про­изойдет при больших значениях?Решение. Для одноосного напряженного состоянияДля одноосного деформированного состояния напряжениясг2 = сгз могут быть найдены из обобщенного закона Гука,представленного через модуль Юнга Е и коэффициент Пуас­сона У\ЕЗу1+у1 — 2уПоскольку средняя деформация е = £1/3, из соотношений за­кона Гука, записанных при i = j = 1, i = j = 2 и при i = j = 3,следует(1 + i/)(l - 2у)£1 = Ё--------------------—У1-У3651 - 2vТогда сгг — al - сг2 = (71-------- , что меньше, чем в случае од1—1/ноосного напряженного состояния. Используя критерий плас­тичности Мизеса сгг = сгт, приходим к выводу: во втором слу­чае переход в пластическое состояние произойдет при большихзначениях cq, чем в первом.15. Диаграмма деформирования упругопластическойсреды включает линейно-упругий участок сгг = 3Gez при€i < £т и пластический участок с модулем пластическогоупрочнения daj/dei =Определите функцию пластич­ности Ильюшина.

Какие пластические деформации возника­ют в такой среде при одноосном растяжении с &i = 6GeT ?Решение. По определению, функция пластичностиИльюшина_ ЗОб, - (7г“~3Gei ’и для ее нахождения необходимо получить зависимость сгг ==за пределами упругости. Это можно сделать, проин­тегрировав выражение для модуля пластического упрочненияпо деформациям от £т до некоторогоа по напряжениям отсгт = ЗСбт до соответствующего сгг-:В итоге функция пластичности Ильюшина представляется какпри6i > ет.При одноосном растяжении= ai, и для заданного случаяе; = 2, 721бт, си = 0,26.

С учетом физических соотношений длямодели упругопластической среды согласно деформационнойтеории пластичности пластические составляющие компоненттензора деформаций можно определить как(р)£'i =366/\Для данного случая одноосного растяжения о — cri/З = 2(?£т,и искомые пластические деформации равны:16. Найдите распределения значений давления и плотно­сти в политропной атмосфере, для которой давление р и плот­ность р взаимосвязаны соотношением р = ро(р/ро)\ где Ро иро — давление и плотность на поверхности Земли.

Определи­те высоту атмосферы.Решение. На воздушную среду действуют верти­кальные объемные силы Fy = —др, где д — ускорение свобод­ного падения. Тогда для неподвижной атмосферы уравнениедвижения идеальной среды в направлении вертикальной оси упринимает видВыражая из уравнения состояния плотность р через давлениер, приходим к дифференциальному уравнению= -дро (р/ро)1/*-Интегрируя это уравнение по высоте в пределах от у = 0 доу = h, а по давлению от ро Д° Р, получаем распределениязначений давления и плотности по высоте h:Высота атмосферы Н определяется из условия р = 0, откудак Рок - 1 род'36717. Исследуйте течение вязкой несжимаемой жидкости вполе тяжести между двумя неограниченными вертикальнымипластинами с зазором а. Найдите касательное напряжение,действующее на эти пластины.Решение.

Характеристики

Список файлов книги