1193507387 (547421), страница 20
Текст из файла (страница 20)
45. ЛХ(Ц Глава 3. Системы случайных величин ° 139 Упражнения 1. Построить линию регрессии Х на у по условию примера 3.10. 2. Пусть (Х, У) — двумерная нормальная с. в. с параметрами т = тв — — О, <тх = ов —— 1. Найти условную плотность распределения с.в. Х при условии, что У = у и с.в. т' при условии, что Х = т (воспользоваться формулами (3.36) и (3.37)). 3.10. Многомерная (и-мерная) случайная величина (общие сведения) Систему п случайных величин назь1вают п-мерной (многомерной) с. е. или случайным вектором Х = (Х1,Х2,..., Х„).
Многомерная с. в. есть функция элементарного события ии (ХмХ2,...,Х„) = ~р(ю); каждому элементарному событию то ста- ВИтСЯ В СООтВЕтСтВИЕ П ДЕЙСтВИтЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ тт, т2, ..., Хл значения, принятые с.в. Хм Х2, ..., Х„в результате опыта. Вектор т = (хм аз,...,х„) называется реализацией случайного вектора (Х1,Х2,...,Х.) = Х.
Закон распределения вероятностей и-мерной с. в. задается ее функциеб распределения Гхихг,...,х» (»1~ т2~ ° ° ~ тл) = Р(Х1 < тм Х2 < т2,..., Хл < хл). Функция распределения Г(ты т2,..., хи) обладает такими же свойствами, как и функция распределения двух с. в. Г(х, у). В частности: она принимает значения на отрезке (О, 11, Г(+ос, +со,..., оо) = 1, Гз(тз) = = Г(+ос +ос кз +ос ° ° +ос) ° Плотность распределения системы и непрерывных с. в. (Х1, Х2,... ...,Х„) определяется равенством д"Г(тм т2,..., хл) УХиХ2 .»Х» (Т11 Х2,...
) Хл) т1 т2 хл ПрИ ЭТОМ: ~(ХЫ Х2,..., Хл) ) О И 140 Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Вероятность попадания случайной точки (Хг, Х2,...,Х„) в область Р из и-мерного пространства выражается и-кратным интегралом Р((ХмХ2,...,Х„) е Р) = ... 1'(х1,х2,...,х„)дхгдх2...,дх„. 1п) Функция распределения В'(хм х2,..., х„) выражается через плотность ~(хг,х2,..., х„) и-кратным интегралом хг хг х„ х' (Х1~Х2~ .. ~ Хо) — ' ' У(Хг Х2,...,Хгг) аХгаХ2..., аХгг.
Необходимым и достаточным условием взаимной независимости и с. в. является равенство: ГХ„Хг,...,Х„(Х1,Х2г .. гХп) = 2'Хг(Х1) 2'Хг(Х2) ЕХ„(Хп), для и непрерывных с. вл хХ, Хг ...,Хх(х1,х2),хз) = гХг(х1) ' гХг(х2) ° гХи(хп). Основными числовыми характеристиками многомерной с.в. (Хн Х21 Хп) являкугся 1.
и м.о. составляющих Х;, т.е. тг = МХ1, т2 = МХ2, ..., т = МХ„; 2. и дисперсий составляющих Х„т.е. Рг = РХ1, Р2 = РХ2, ..., Р„= РХ„, при этом Р; = М(Х, — т;)2, г = 1, и; 3. п(п — 1) ковариаций, т.е. К; = М(Х; Х ), г ~ у, при этом Кй — — К;, Кн=Р,. Ковариации К;з образуют ковариационную матрицу Р1 К12 К1гг Р2 ' ' К2гг или К11 К12 ° ° К!гг К21 К22 ° ° ° К2в К г1 Кгг2 ° ° ° Кгггг 3.11. Характеристическая функция и ее свойства Наряду с функцией распределения, содержащей все сведения о с. в., для ее описания можно использовать так называемую характеристическую функцию. С ее помощью, в частности, упрощается задача нахождения распределения суммы независимых с.
в., нахождения числовых характеристик с. в. Глава 3 Системы случайных величин ° 141 Характеристической функцией с. в. Х называется м.о. с.в. енх, обозначается через ~рх(6) или просто ~р(1). Таким образом, по определению <рх(~) = Меи~, ~рх(8) = ~с'*'ры й=1 для н.с. в. с плотностью 1(х) — формулой (3.43) ~рх (6) с2сх 1 (х) ~1х (3.44) Заметим, что: 1.
Характеристическая функция н. с. в. есть преобразование Фурье от плотности ее распределения; плотность 1 (х) выражается через р(1) обратным преобразованием Фурье: 2. Если с.в. принимает целочисленные значения 0,1,2,..., то д(1) = = ф(х), где х = е'~. Тогда ф(з) = ~, "рь Вав (см. и. 2.6). Свойства характеристической функции: 1. Для всех 6 й Й имеет место неравенство бра)~ < о(0) =1. 2. Если У = аХ + 6, где а и 6 — постоянные, то где Ф вЂ” параметр, 1 = ~/ — 1 — мнимая единица. Для д.с.в.
Х, принимающей значения х1, хз, ...с вероятностями рь = Р(Х = хьг, й = 1,2,3,..., характеристическая функция определяется формулой 142 Раздел первый. Элементарная теория вероятностей 3. Характеристическая функция суммы двух независимых с. в. Х и У равна произведению их характеристистических функций, т. е. 'РХ+У(Ь) ~РХ(Ь) ' ~РУ(Ь). Если для некоторого Й существует начальный момент Й-го порядка с. в. х, т. е. оь = м(х ), то существует й-я призводная характери- стической функции и ее значение при Ь = О равно оь, умноженному на гь, т.е. ~р (0) = г~М(Х ) = г~щ,. ( Ь 1.
д(8) = 1Менх) ( М)енх) = М1 = 1. (Действительно, (ен ( = = ! соз ЬХ + г з1п ЬХ! = соз2 8Х + з1п2 ЬХ = 1); ~р(0) = Ме = М1 = 1. (Ь) Меню Мен(ах-~-ь) М(е1ььеъахь) егььМемьх е1ььгрх(аЬ) 3 ~Рх +х (т) Ме1ьх, +х2) М(енх1 еихг) Меях| Менхь Х1+Х2 = ух, (Ь) ух,(Ь). Свойство справедливо для суммы и независимых с. в.
Ьь1 1" Менх .ь 4. Рх (~) = РьМ(Х"енх). Поэтому при Ь = 0 имеем ц/с Ьсх11(0) = ь'"М(Хь) = ьеоь. Из свойства 4 следует сц, = г ~Р (0). Отсюда, как частный случай, -ь 00 можно получить: оь = МХ = — ьр'(0) , = МХ'= -Рл(0), 11Х = о — оз~ = — Р"(0) + (р'(0))з. (3.45) Ь ь С. в. Х принимает значения О, 1, 2,..., и с вероятностями Р, = Г(Х = И = С„'Р'1"-'.
Поэтому, используя формулу (3.43) и формулу бинома Ньютона, находим, что ~Р($) = ~~ е"~СпР~п" ь = ~ Сп(еи Р)~д" ~ = (еь~Р+ Д)", Пример 3.11. Найти характеристическую функцию с. в. Х, распреде- П ленной по биномиальному закону. Найти МХ и РХ. Глава 3. Системы случайных величин ° 143 т.е. ~р(2) = (епр+ е)а. Используя формулы (3.45), находим: МХ = — 1(п(е р+д) ° ре .1)[ = пр, РХ = пру. и=о Упражнения 1. Найти характеристическую функцию с. в. Х, равномерно распределенной на отрезке [а, 6].
2. Найти МХ с. в. Х, распределенной по закону Пуассона с параметром е, используя характеристическую функцию грх(Г). ( — 2т, при т Е [ — 1,0], 3. Дано (х(х) — плотность с. в. Х. (О, в противном случае Найти грх($) 3.12. Характеристическая функция нормальной случайной величины Согласно формуле (3.44), характеристическая функция с.в. Х ° Х(а, гт) равна (х — а)т х' - г(а + П ')* + т у (2) = Е' *Е 2 от т(т е 2о Ыт 1/2хгт,/ 1/2~ггт .l ~а — 2х(а + тата) + (а + ттот)а + аа — (а + Пот)т гоа гЬ = 1/2~ггт,/ Гх — (а + Ноа))а 2агтот + (тзоа)а / Е гот Е гоа 1г'2хгт г гатзоа — Ро4 (х — (а+ ттоа))* Е гот / Е го~ ГЬ' = 1г'2тпт 144 ° Раздел первый.
Элементарная теория вероятностей в — (а+гтрк 1'ь 2 ,г2„) г" х — (а+ Йо2) ~1 е хгг2гг $2в2 $2вт 1 н- — н-— е 2 тг%~=е 2 „г е " ди = х/к интеграл Пуассона 12 (~2 Таким образом, ~рх(1) = е' ~ 2, если Х Х(а, гг). Пример 3.12. Найти с помощью характеристической функции м. о. и П дисперсию с. в.
Х - Х(а, о-). 1 а Применим формулы (3.45): 12 а2 МХ = ( — вр'(О)) = — 1е' 2 (га — 1о~)! = — 1 1 за = а, п=о т.е. МХ =а; Рх = (-Рв(0) + (Р'(0))'] = Р~г2 Ргт '~ — озе' 2 + (га — ь~) е' 2 ) +(га) 1=о 2 .2 2 .2 2 2 =о — 1а +1а =о, т.е. РХ = о.. Получили известные нам результаты: а — м.о., о.— 2 с.
к. о.; эти параметры полностью определяют с. в., распределенную по нормальному закону. 1ИЮ Функции случайных величин Часто возникают задачи, в которых по известному закону распределения (или числовым характеристикам) одной (или нескольких) случайной величины требуется определить распределение другой (или нескольких) Случайной величины, функционально связанной с первой. Построение законов распределения функций некоторых д. с. в. (сХ, Х + У, Х У) уже было рассмотрено в п. 2.5 (свойства 2, 3, 6 математического ожидания). 4.1. Функция одного случайного аргумента Если каждому возможному значению с.в. Х по определенному правилу соответствует одно возможное значение с.в.
У, то У называют функцией случайного арзуменгпа Х, записывают У = ~р(Х). Пусть Х вЂ” д.с.в. с возможными значениями хыхг,хз,...,х„, вероятности которых равны соответственно р1 рг Рз,,р,, т е Р Р(Х = х;), 1 = 1,2,3,...,п. Очевидно, что с.в. У = ~р(Х) также д.с.в. с возможными значениями у1 = ~р(х1), уг = у(хг), уз = ~Р(хз),,у = ~р(х„), вероятности которых равны соответственно рмрг,рз,.,рв, т.
е. если у; = ~р(х;), то р; = Р(У = у;1 = Р(Х = х,1, з' = 1, и. Отметим, что различным значениям с.в. Х могут соответствовать одинаковые значения с. в. 1'. В этом случае вероятности повторяющихся значений следует складывать. Математическое ожидание и дисперсия функции У = ~р(Х) определяются соответственно равенствами МУ вЂ” ~ ~р(х )р 146 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Пример 4.1. Задан закон распределения д.с.в. Х: П Найти М1', если; а) У = Х~, б) У = 2Х + 10. ( ) а) С.в. У принимает значения у~ = ~р(х~) = ( — 1) = 1, ут = 1 = 1, уз = 2~ = 4, т.е. она принимает два значения: 1 и 4, причем р~ — — Р(У = 1) = Р(Х = — 1) + Р(Х = 1) = 0,1+ 0,3 = 0,4, рз = = Р(У = 4) = Р(Х = 2) = 0,6. Следовательно, МУ = 1 0,4+ 4 0,6 = = 2,8. б) Закон распределения У имеет вид Значит, МУ = 8 0,1+12 О,3+14 ° 0,6 = 12,8.
Пусть Х вЂ” непрерывная с. в. с плотностью распределения ~(х), а с.в. У есть функция от Х, т. е. У = ~р(Х). Найдем закон распределения с.в. У. Будем считать функцию У = ~р(Х) непрерывной, строго возрастающей и дифференцируемой в интервале (а, 6) (он может быть бесконечным: ( — оо, оо)) всех возможных значений с. в. Х. Тогда существует функция х = ф(у), обратная функции у = ~р(х) (случайная точка (Х, У) лежит на кривой й = ~р(х)). Функция распрецеления Су(у) (ее можно обозначить и так: С(у), Еу(у) или Гу(х)) с. в. У определяется по формуле С(у) = Р(У < у). И так как событие (У < у) эквивалентно событию (Х < 4(у)) (рис. 46), то Глава 4. Функции случайных величин ° 147 аы ~Ь) = Р0 < у) = Р1Х < ФЬ)) = Рх(ФЬ)) = 7'(х) с1х, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
