1193507387 (547421), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Используя форму- лу (2.2) и формулу (2.36), получаем р(а < Х < Ь) = уя — р(а) = (1 — е ль) — (1 — е л' ) = е л' — е ль, т,е, Р(а ( Х ( Ь) е-ла е-ль 96 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Пример 2.12. Случайная величина Т вЂ” время работы радиолампы имеет показательное распределение.
Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов. (;> МТ = 400, значит (формула (2.37)), Л = . Искомая вероятность 1 воо Р(Т > 800) = 1 — Р(Т ( 800) = 1 — Р(800) = 1 — (1 — е~оо) = е 0,135. Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в физике, в теории надежности. Оно используется для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т. д, Рассмотрим, например, н.
с. в. Т вЂ” длительность безотказной работы прибора. Функция распределения с. в, Т, т. е. Р(~) = Р(Т ( 1), определяет вероятность отказа за время длительностью 1. И, значит, вероятность безотказноа работы за время 1 равна ВЯ = Р(Т > 1) = = 1 — Р(1). Функция Л(~) называется функцией надежности. Случайная величина Т часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения имеет вид Р(1) = 1 — е М (формула (2.36)). В этом случае функция надежности имеет вид В(1) = 1 — Р(1) = 1 — (1 — е ') = е ", т.е.
ВЯ = е "', где Л интенсивность от,казов, т. е. среднее число отказов в единицу времени. Показательный закон — единственный из законов распределения, который обладает свойством «отсутствия последствия» (т.е. если промежуток времени Т уже длился некоторое время т, то показательный закон распределения остается таким же и для оставшейся части Тг = Т вЂ” т промежутка). Нормальный закон распределения Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит н том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике.
Глава 2. Случайные величины ° 97 Непрерывная с. в. Х распределена по нормальному закону с параметрами а и о > О, если ее плотность распределения имеет вид (« — а) )(х) = е 2«', хЕ Л. (2.38) о у'2к Тот факт, что с. в. Х имеет нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами и и о, сокращенно записывается так: Х М(а, о). Убедимся, что 2" 1х) — это функция плотности.
Очевидно, 7" 1х) > О. Проверим выполнение условия нормировки 2'(х) с1х = 1. Имеем: .У л . л .У ( 2 ) е ссс= ~/я=1. 3 есь и именилн подстановку и использовали «интеграл Пуассона» д р е сй = ~/л. (2. 39) Из равенства (2.39) следует: о е г сЬ. (2.40) сю ОО Г г с ссс= е 2 сЬ= о о Функция распределениями(х) = 1(с) с1с н.с,в. Х М(а,о) имеет вид (с — а)2 г"(х) = / е 2~ 2 с1а о ъ72к 1 (2.41) Хг у(х) = е 2. ~l 2л. Если а = О и о = 1, то нормальное распределение с такими парамет ами называется снгандарнгньси. Плотность стандартной случайной Р величины имеет внд 98 ' Раздел первый.
Элементарная теория вероятностей С ней мы уже встречались в п. 1.21, формула (1.37). Функция распределения с. в. Х вЂ” 22'(О, 1) имеет вид 22 Ф(х)сс / е 2 сИ - 2./ и называется, как мы уже знаем (и. 1.21, формула (1.42)), функцией Лапласа. Она связана с нормированной функцией Лапласа Фв(х) (и. 1.21, формула (1.40)), как мы уже знаем (формула (1.43) п.
1.21), равенством (2.42) Ф(т) = 0,5+ Фо(х) Действительно, о з 2 г 22 г с2 Ф(х) = — / е 2 си = — / е Т си+ — у е з сй = т/2~г ъ/2я ъ/2я — СΠ— СО о 1 —, — + Фо(х) = — + Фо(х). ~/йя 'т' 2 2 г'х — а)2 1 ( х е з ссх = ст ° ~/2я ~ 1 (ъ~2сг1+ а)е ' ъ~2стс12 = 2/2ст 1 а ~/22г,/ сгт/2 / Г -с',1~ а / -22 1 0 а МХ = х. ~(х) с(х подстановка т.е. МХ = а. Первый интеграл равен нулю, так как подинтегральнзя функция нечетная, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, а второй интеграл равен,,/я (см. равенство (2.39)).
Таким образом, параметр а — математическое ожидание. При нахождении дисперсии с. в. Х ° 12'(а, сг) снова сделаем подстановку = 1 и применим метод интегрирования по частям: 2/2сг (см. (2.40)), Установим смысл параметров а и сг нормального распределения. Для этого найдем математическое ожидание и дисперсию с.в. Х- Х(а, сг). Глава 2. Случайные величины ' 99 (х — а)' РХ = (х — а) ((х)г1х = (х — а) е го' г1х = гт~/2я гг г2 ~ 2о~1~е ~ оГ2г11 = гт / г~е ~ <Ы = гт ~/2~г,/ ~ття — — — ге ~ + — ~( е аг = — — батя=о .
Таким образом, РХ = гтг, а гт — среднее квадратичное отклонение. Можно показать, что для с.в. Х - дГ(а,гт): МоХ = М,Х = а, А = — = О, Е = — — 3 = О. Исследуем дифференциальную функцию (2.38) нормального за- кона: 1. г"(х) > О при любом х Е (-оо,оо); график функции расположен выше оси Ох. 2. Ось Ох служит асимптотой графика функции )'(х), так как 1пп ~(х) = О. х~хоо 3. Функция )'(х) имеет один максимум при х = а, равный 1(а) 1 . Действительно, оъ'2~г 1'(х) = — е г" гтздя Отсюда 1'(х) = О при х = а, при этом: если х < а, то 1'(х) > О, а если х > а, то )т(х) ( О.
Это и означает, что х = а точка максимума и Утд. = ~(а) = 1 о ~/2тг 4. График функции Дх) симметричен относительно прямой х = а, так как аналитическое выражение 1 (х) содержит разность х — а в квадрате. 5. Можно убедиться, что точки М1 а — гт, е г и Мг а+гт, е являются точками перегиба графика функции г (х). Пользуясь результатами исследования, строим график плотности распределения вероятности нормального закона — кривую распределения, называемую нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис. 34). 100 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Рис.,Ц Как влияет изменение параметров с и а на форму кривой Гаусса? Очевидно, что изменение а не изменяет форму нормальной кривой (графики функции Дх) и ~(т — а) имеют одинаковую форму; график Дт — а) получается из графика функции ~(т) путем сдвига последнего на а единиц вправо, если а > О, и влево, если а ( О).
С изменением а максимальная ордината точки кривой изменяется. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице при любом значении и, то с возрастанием и кривая Гаусса становится более пологой, растягивается вдоль осн От .... На рис. 35 изображены нормальные кривые при различных значениях и (п1 ( и ( пз) н некотором значении а (одинаковом для всех трех кривых). Риа 35 Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величннь износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, вес клубней картофеля, величина шума в радноприемном устройстве, колебания курса акций н т.
д. Глава 2. Случайные величины ° 101 Найдем вероятность попадания с. в. Х Х(о,гт) на заданньй участлок (сг„В). Как было показано, Р1а < Х < Ь) = ~(х) г1х а (п. 2.4, формула (2.8)). В случае нормального распределения д тх а)г Р1 сх < Х < ф) = / е та~ гтъ'2я ~ л" — а ,г т Йх= [ =1~ = а ът2я Ч 2гт Используя функцию Лапласа (см.
п. 1.21, формула 11.40)) гг Фв(х) = е з сИ, ъ'2я,/ 0 получаем т1 <х <а~=а,(, ) — а.(,'). (2.43) гг — а)г Р(х)= Г 1 в гаг сМ=Р1 — оо<Х<х)= У гт1/2~г ФО ( ) Фв ( гт ) 0 ( гт ) + 2 т. е. 12. 44) Здесь воспользуемся формулой 12.43), нечетностью функции Фо(х) и тем, что Фв(оо) = —, действительно 1 Фо(оо) = — / е з г1~ = 1/ 2 2' ъ'2гт ъ'2гт о Через Функцию Лапласа Фв(х) выражается и функция распределения Р(х) нормально распределенной с.
в. Х. 102 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Если функция Лапласа (или «интеграл вероятностей») есть Г 1' ф(х)= 1. / е г аг, т/2~г то (2.45) (непосредственно вытекает нз равенств (2.42)) и (2.44)). Равенство (2.43) можно переписать и так: Р1 (х(г1=Ф( ) — Ф( — ). 12.45) На практике часто приходиться вычислять вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеяния а.
Пусть таким интервалом будет (а — 1,а + 1) длины 21. Тогда Р1',а — 1 < Х < а + Ц = =Р(~Х вЂ” а(<Ц=Фо(, ) — Фо( ) =2фо(о),те. Р~~Х вЂ” а) < 1) = 2фо (р) = 2Ф (р) 1. (2.47) Пример 2.13. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром о = 10 мм. Произво- дится 3 независимых измерения детали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
