1193507387 (547421), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Но тогда согласно свойству 4 (п. 1.12), имеем Р(А) < Р(В), т.е. Р(Х < х1) < Р(Х < х2) или Г(Х1) < Г(х2). Геометрически свойство 2 очевидно: при перемещении точки х вправо по числовой оси вероятность попадания случайной точки Х в интервал ( — со, х) не может уменьшаться. 3. Третье свойство вытекае1 непосредственно из того, что (Х < — оо) = Я, а (Х < +со) = й; согласно свойствам вероятности (п.
1.11, 1.12), имеем: Г( — оо) = Р(Х < — оо) = Р(Я) = О, Г(+ос) = — Р(Х < +ос) 4. Так как а < Ь, то очевидно, что (Х < 6) = (Х < а) +(а < Х < Ь) (это хорошо видно на рис. 19). Так как слагаемые в правой части — несовместные события, то по теореме сложения вероятностей (11. 1.11) получаем Р(Х < 6) = Р(Х < а) + Р(а < Х < 6). Отсюда следует Р(а < Х < 6) = Р(Х < 6) — Р(Х < а) = Г(6) — Г(а).
5. Свойство 5 проиллюстрируем далее на примере 2.2. 176 66 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Х<Ь (Х<а) (а<Х<Ь) Всякая функция Р(х), обладающая свойствами 1 — 3, 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины. Заметим, что формула (2.2) (свойство 4) справедлива и для н. с. в., и для д. с. в. С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события (Х > х): (2.3) Можно дать более точное определение и. с. в.
Случайную величину Х называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек. Используя свойство 4 можно показать, что «вероятность того, что н. с. в. Х примет заранее указанное определенное значение а, равна нулю». Действительно, применим формулу (2.2) к промежутку (а, х): Р(а < Х < х) = Р(х) — Р(а). Будем неограниченно приближать точку х к а. Так как функция Р(х) непрерывна в точке а, то 1пп Р(х) = Р(а). В х — ~а пределе получим Р(Х = а) = 1пп Р(х) — Р(а) = Р(а) — Р(а) = О.
Если х — ~а функция Р(х) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с. в. равна нулю. Следовательно, для н. с, в. справедливы равенства Р(а < х < Ь) = Р(а < х < Ь) = Р(а < х < Ь) = Р(Х Е (а, Ь)). Действительно, Р(а<х <Ь) = Р(Х= а)+Р(а<х< 5) =Р(а <х< Ь) и т.д. функция распределения д. с. в. имеет вид Р(х) = ~~~ р,. (2.4) Здесь суммирование ведется по всем 1, для которых х, < х. Равенство (2,4) непосредственно вытекает из определения (2.1). Глава 2. Случайные величины ° 67 Пример 2.2. По условию примера 2.1 (п. 2.2) найти функцию распре- деления Р(х) и построить ее график.
Будем задавать различные значения х и находить для них Р(х) = Р(Х < х): 1. Если х < О, то, очевидно, Р(х) = Р(Х < 0) = 0; 2. Если 0 < х < 1, то Р(х) = Р(Х < х) = Р(Х = 0) = —; 3. Если 1 < х < 2, то Р(х) = Р(Х = 0)+ Р(Х = 1) = — + — = —; 56 56 56' 4. Если 2 < х < 3, то Р(х) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 1 15 30 46, — + — + — = —; 56 56 56 56' 5. Если 3 < х, то Р(х) = Р(Х = 0)+Р(Х = 1)+Р(Х = 2)+Р(Х = 3) = — + — =1. 46 10 56 56 Итак, х<0; 0<х<1; 1 <х< 2; 2 <х< 3; О, если 1 — если 56' 16 — если 56' 46 — если 56' 1, если Р(х) = (2.5) 3 < х. Строим график Р(х), рис.
20. Рис. 20 Как видим, функция распределения д. с, в. Х есть разрывная, со скачками р, в точках х„функция, «непрерывная слева» (при подходе к точке разрыва слева функция Р(х) сохраняет значение). Ее график имеет ступенчатый вид. 88 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Отметим, что, пользуясь равенством (2.4), функцию распределения можно сразу записать в виде (2.5) г(.) = Упражнения 1.
Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6, а для второго— 0,8. Найти и построить функцию распределения с.в. Х вЂ” числа попаданий в мишень. 2. Убедиться, что функция (О, если х < О, (1 — е, если х > 0 является функцией распределения некоторой случайной величины. Найти Р(О < х < 1) и построить график Г(х). 3.
Дана функция распределения О, прих<0, хз Рх(х) = 2, при х < ~/2, 1, при х > ~(2. Найти вероятность того, что в результате четырех испытаний с. в. Х трижды примет значение, принадлежащее интервалу (О; 1). О, 1 56 ' — + 1 56 1 + 56 1 — + 56 15 56 ' 15 30 — +— 56 56' 15 30 10 — + — + —. 56 56 56 ' Глава 2. Случайные величины ' 69 2.4. Плотность распределения и ее свойства 7" (х) = Р'(х). (2.6) Функцию у'(х) называют также дифференциальной функцией распределения; она является одной из форм закона распределения случайной величины, существует только для непрерывных случайных величин. Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из определения производной следует ЬР(х), Р(х+ Ьх) — Р(х) г(х) = 1пп 1пп Лк — «О с.1х Ьх — «О Ьх Но согласно формуле (2.2), Р(х + Ьх) — Р(х) = Р(х < Х < х + Ьх).
Р(х < Х < х + Ьх) Отношение представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу цлины участка [х, х + Ьх), т. е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда Р(х < Х < х+ Ьх) 1(х) = 1пп Ьл — «О «ах (2.7) т. е. плотность рвспрецеления есть предел отношения вероятности по- падания с. в.
в промежуток [х; х + Ьх) к длине Ьх этого промежутка, когда Ьх стремится к нулю. Из равенства (2.7) следует, что Р(х < Х < х + Ьх) — 1(х)Ьх. То есть плотность вероятности определяется как фйнкц«я 7" (х), удо- влетворяющая условию Р(х < Х < х + «1х( — ((х) «1х; выражение ((х) «1х называется элементом вероятности. Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (г«омимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей. Напомним (см.
п. 2.3), что: с. в. Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кромс, быть может, отдельных точек. Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения, плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распрецеления.
Обозначается плотность распределения н.с.в. Х через ~х(х) (или рх(х)) или просто ((х) (или р(х)), если ясно о какой с. в. идет речь. Таким образом, по определению 70 ° Раздал первый. Элементарная теория вероятностей Отметим, что плотность Дх) аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в теории электричества. Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1. ~(х) неотрицательная, т. е. У(х) > О. 2. Вероятность попадания н.
с. в. в промежуток ~а; 6) равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от а до 6, т. е. Р)а < Х < 6) = ~(х) Их. а (2.8) 3. Функция распределения н.с в. может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле 4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности и. с. в. в бесконечных пределах равен единице, т. е. Дх) дх = 1. ~(х) Ых = Г(6) — Г(а). а Отсюда в силу свойства 4 функции распределения (формула (2.2)), по- лучаем Г ~(х) ох = Р1а < Х < 6).
а 1. Плотность распределения 1(х) — неотрицательная функция: Г(х) — неубывающая функция (п. 2.3), следовательно, Е'(х) > О, т.е. Дх) > О. Это означает, что график плотности ~(х), называемый кривой распределения, не ниже оси абсцисс; плотность может принимать сколь угодно большие значения. 2. Так как Г(х) есть первообразная для плотности ~(х), то по формуле Ньютона — Лейбница имеем Глава 2 Случайные величины ° 71 Геометрически эта вероятность равна площади Б фигуры, ограниченной сверху кривой распределения Дх) и опирающейся на отрезок [а; 6] (рис, 21).
Рва 21 3. Используя свойство 2, получаем: х у Р(х) = Р(Х < х) = Р( — оо < Х < х) = Х(х) с1х = ХЯй (буква ~ для ясности). 4. Полагая в формуле (2.8) а = — оо и 6 = +ос, получаем достоверное событие Х Е ( — оо;+со). Следовательно, 1(х) Их = Р( — оо < Х < +ос) = Р(й) = 1. Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения Дх) и осью абсцисс, равна единице.
Можно дать такое определение непрерывной случайной величины: случайная величина Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция Дх) такая, что при любом х функцию распределения Е(х) можно представить в виде А затем получить, что Г'(х) = Р'(х). Отсюда следует, что Е(х) и ~(х) являются эквивалентными обобщающими характеристиками с. в. Х. 72 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Как отмечалось ранее (п. 2.3) для н.с.в. Х, вероятность события (Х = с), где с — число, равна нулю. Действительно, с Р(Х=с)=Р(с<Х<с)= Дх)Их=О.
с Отсюда также следует, что Р(Х Е (а; Ь)) = Р(Х Е (а; Ь)) = Р(Х Е (а; Ь)). Пример 2.3. Плотность распределения с. в. Х задана функцией 7" (х) = . Найти значение параметра а. 1+х~ Согласно свойству 4 плотности, имеем я т.е. а 1пп ~ = 1, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
