1193507387 (547421), страница 13
Текст из файла (страница 13)
называется унпмодольным, в противном случае — полимодпльным (рис. 23). Рис. 98 П о Медианой М,Х н.с. в. Х называется такое ее значение хр, для которого Р(Х < хг): Р(Х > хр) (2.19) т. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. Х меньше хг или больше хр (рис. 23). С помощью функции распределения Г(х) равенство (2.19) можно записать в виде Г(М,Х) = 1 — Г(МьХ). Отсюда Г(М,Х) = — . 1 Для д. с. в. медиана обычно не определяется. Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий — моментов с.
в. Начальным моментом порядка й с.в. Х называется м.о. й-й степени этой величины, обозначается через аы Таким образом, по определению аь = М(Х"). Для д.с. в. начальный момент выражается суммой: Глава 2. Случайные величины ° 81 а для н. с. в. — интегралом: сц = х )1х) Их. В частности, а1 = МХ, т.
е, начальный момент 1-го порядка есть м. о. Центральным моментом порядка й с. в. Х называется м. о. величины (Х вЂ” МХ)", обозначается через аы Таким образом, по определению р, = М1Х вЂ” МХ)". В частности, нз = РХ, т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; р1 = М(Х вЂ” МХ) = О 1см. свойство 4 м.о.). Для д. с. из р, = ~;(х, - мх)" р„ а для н.с. вс аь = (х — МХ)" ((х) Их. Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Так, нз = РХ = аг — а~1 1действительно: аэ = РХ = МХ вЂ” 1МХ) = оз — 0~1); рз = оз — 301оз + 2озы р4 = о4 — 4о1оз + + ба102 — Зо1 и т.д. 2 4 Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.
Коэффициентом асимметрии («екошенноети») А с.в. Х называется величина рз М(Х МХ) и з ох (рх) г Если А ) О, то кривая распределения более полога справа от Мох 1рис. 24). Если А < О, то кривая распределения более полога слева от МоХ 1рис. 25). Коэффициентом эксцесса («оетровершинноети») Е с.в.
Х называется величина р4 М(Х МХ) 1РХ)~ 82 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Рис. 84 Рис. 25 Величина Е характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения (см. п. 2.7) А = 0 и Е = О; остальные распределения сравниваются с нормальным: если Е ) 0 — более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют Е < 0 (рис. 26). Рис. 26 Кроме рассмотренных выше числовых характеристик с, в., в приложениях используются так называемые квантили. Квантилью уровня р с.
в. Х называется решение уравнения Гх(хг) =р, где р — некоторое число, 0 < р < 1. Квантили хоза, хо з и ха,тз имеют свои названия: нижняя кван- тиль, медиана (М,Х = хоз), верхнлл квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0,25 (рис. 27). Глава 2.
Случайные величины ° 83 Рис. 27 упражнения 1. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0,9. Найти м.о. числа попаданий. Решить задачу в случае, если вероятности попадания при разных выстрелах различны; а) р1 = 0,7, б) рв = 0,8, в) рз =09. 2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения О, прих<Оих)к, 1х1 ) = 1 — з|пх, при 0 < х < л. Найти математическое ожидание случайной величины Х. 3. Пусть Х и У независимые д.с.в., причем МХ = 2, МУ = — 3, РХ = 2, РУ = 9.
Найти Мх и РЕ, если Л = 5Х вЂ” 3У + 2. 4. По условию упражнения 2 найти РХ и п,у. 5. С.в,Х задана функцией распределения О, прих<А, Р(х) = 0,25х~, при А < х < В, 1, при В <х. Найти значения А и В, МХ и ох. 6. Пусть Хы Хз, ..., Х„последовательность независимых с.в. с МХ, = а и РХ, = от, 1 = 1,2,...,и, Найти м.о.
и дисперсию среднего арифметического п независимых с, в. Х,. 84 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей 2.6. Производящая функция Нахождение важнейших числовых характеристик д. с. в. с целыми неотрицательными значениями удобно производить с помощью производящих функций. Пусть д.с.в. Х принимает значения 0,1,2,...,й,... с вероятностями рв,рырг,..., Рь = Р(Х = ь),..., Производящей функцией для д. с.
в. Х называется функция вида У(я) = ~ Рь я = РО+Р1я+Ргя + ь г (2.20) где я — произвольный параметр, 0 ( я < 1. Отметим, что коэффициентами степенного ряда (2.20) являются вероятности закона распределения д.с.в. Х. Дифференцируя по я производящую функцию, получим Р'(~) =,>,й.р~.~" '. Тогда ~р'(1) = ~~~ й рь = МХ = ап в=в т. е. а1 = МХ = ~р~(1).
(2.21) Взяв вторую производную функции ~р(я) и положив в ней я = 1, полу- чим: У (я) = ~~~ ь(ь 1)'Рь'я У (1),~ ь 'Рь ~~~ ь'Рь аг а1 где аг и а1 начальные моменты соответственно 2-го и 1-го порядков (аг = МХг, а1 = МХ). Тогда РХ = МХ вЂ” (МХ) = аг — аг = = (аг — а1) + а1 — аг = ~р" (1) + ~р'(1) — (~р'(1))~, т. е. пХ = "(1) + '(1) — („ '(Ц)'.
(2.22) Полученные формулы (2.21) и (2.22) используются для нахождения м. о. и дисперсии рассматриваемого распределения. Пример 2.6. Найти дисперсию с. в. Х вЂ” числа попаданий в упражне- П нии 1 (п. 2.5). Глава 2. Случайные величины ' 85 (,~ Ряд распределения с.
в. Х: Найдем ПХ, используя формулу (2.22). Производящая функция ~р(в) = = 0,01+0,027г+0,243г~+0,729гз. Тогда у'(з) = 0,027+0,486г+2,187г~. Полагая в = 1, находим у'(1) = 2,7 = МХ (упражнение 1 из п. 2.5). у" (в) = 0,486+4,374». Поэтому ~р" (1) = 4,46 и ОХ = 4,86+2,7 — (2,7) = 0,27 (формула (2.22)). Аналогично решаем во втором случае, когда вероятности при разных выстрелах различны (п.
1.20, пример 1.31). ~р(г) = 0,006+ 0,092г+ + 0,398»~ + 0,504в~. ~р'(в) = 0,092 + 0,796» + 1,512»з, у'(1) = 2,4 = МХ. ув(г) = 0,796+ 3,024г, ~рв(1) = 3,82. Поэтому ЮХ = 3,82+ 2,4 — (2,4) = 0,46. 2.7. Основные законы распределения случайных величин Биномиальный закон распределения Среди законов распределения д.с.в. наиболее распространенным является биномиальное распределение, с которым мы уже встречались (и.
1. 20) . Дискретная с.в. Х имеет биноииальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения О, 1, 2, 3,..., и, с вероятностями: (2. 23) р =Р(Х =та)=~„р у" где 0 ( р ( 1, д = 1 — р, т = 0,1,...,п. Случайная величина Х, распределенная по биномиальному закону, является числом успехов с вероятностью р в схеме Бернулли проведения п независимых опытов. Если требуется вычислить вероятность «не менее т успехов в и независимых опытах», т. е.
Р(Х ) т), то имеем: Р,„= Р(Х > т) = = Р(Х = т)+ Р(Х = гп+1)+... + Р(Х = и). Вероятность Р, бывает 86 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей удобно находить через вероятность противоположного события: Р,„= = Р(Х ) т) = 1 — Р(Х ( т1; та из двух формул лучше, где меньше слагаемых.
Ряд распределения д.с. в. Х, имеющей биномиальное распределение, имеет вид: тп С1 1 п — 1 С2р2~и — 2 р = Р(Х = т77 9" С7и т и — т Контроль: 2; р„, = (р+ д)" = 1. тиа Функция распределения с. в. Х, распределенной по биномиальному закону, имеет вид: О, прях(0 ~ С„р™д" т, приО<х(п т<г 1, при и < х. Г(х) = Найдем числовые характеристики этого распределения. Производящей функцией биномиального распределения является 1р(г) = ~~1 С„р 17" гт = ~~1 С™(рг) 9" т = (д+ рг)", т. е. 1р(г) = (9+ рг)". Тогда 1р'(г) = п(у+рг)" р, 1р"(г) = п(п — 1)р (д+рг)" Следовательно (см. п. 2.6), МХ = 1р'(1) = пр, т. к. р + д = 1, РХ = = 1р" (1) + 27'(1) — (1р'(1)) = п(п — 1)р + пр — пгр = пру. Итак, (2.24) РХ = пру.
МХ = пр, Эти формулы полезно знать. О С.в. Х имеет биномиальное распределение. Здесь и = 3, р = 0,9, 9 = 0,1. По формулам (2.24) находим МХ и РХ: МХ = 3 0,9 = 2,7, РХ = 3 ° 0,9 0,1 = 0,27. Пример 2.7. По условию упражнения 1 из п. 2.5 найти МХ и РХ, где П Х число попаданий в цель. Глава 2. Случайные величины ' 87 распределение Пуассона Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения: О, 1, 2,..., ш,... (счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона (2.25) р =Р(Х=ш)= где ш = О, 1, 2,..., а — параметр.
Распределение Пуассона является предельным для биномиального, когда и -+ оо и р — > О так, что пр = а — постоянно. Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за время ~; число опечаток в большом тексте; число бракованных деталей в большой партии; число а-частиц, испускаемых радиоактивным источником, и т.д. При этом считается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней иншенсиеносшью, характеризующейся параметром а = пр. Случайная величина Х, распределенная по закону Пуассона, имеет следующий ряд распределения 00 оо Контролтл ,'>, рт=е в 2; О, =е '.ев=1.
т=О т=О Ш Найдем м.о. и дисперсию с.в. Х, распределенной по закону Пуассона. Производящей функцией распределения Пуассона будет ОЭ т=в т. Е. ~р(г) = Еж~в Ц. ТОГда ~р'(В) = а Е'~' 1>, ф'(В) = О Е"(' 1~. СтаЛО быть, МХ = ~р'(1) = а РХ = ~рл(1) +~р'(1) — (~р'(1))2 = а~ + а — а~ = а. Итак, (2.26) МХ = РХ = а, т. е. параметр а пуассоновского распределения равен одновременно м. о. и дисперсии с. в. Х, имеющей это распределение. В этом состоит отличительная особенность изучаемого распределения, которая используется на практике (на основании опытных данных находят оценки для м.о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
