1193507387 (547421), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найти вероятность того, что ошибка хотя бы одного измерения не превосходит по модулю 2 мм. О По формуле (2.47) находим: Р~~Х вЂ” а) < 2) = 2фе (10) = 2 0,07926 = 0,15852. Вероятность того, что эта ошибка (погрешность) превышает 2 мм в одном опыте (измерении), равна Р(~Х вЂ” а! > 2) = 1 — Р)~Х вЂ” а) < 2) = 0,84148. Полагая в равенстве (2.47) 1 = Зо, получим Р(~Х вЂ” а( < Зо) = 2фе(3). По таблице значений для Фе(х) находим: Фе(3) = 0,49865. Следовательно, Р(~Х вЂ” а) < Зо) = 0,9973, т.е. отклонение с.в.
Х от своего математического ожидания меньше, чем Зо — почти достоверное событие. Вазкный вывод: практически достоверно, что с. в. Х - М(а, о) принимает свои значения в промежутке (а — Зо, а + Зо). Это утверждение называется «правилом трех сигм». Глава 2. Случайные величины ° 103 По теореме умножения вероятность того, что во всех трех опытах ошибка измерения превышает 2 мм, равна 0,84148з = 0,5958.
Следовательно, искомая вероятность равна 1 — 0,5958 = 0,4042. Упражнения 1. Известно, что с.в. Х Ф(3,2). Найти Р( 3 ( Х ( 5), Р(Х ( 4), Р4,~Х вЂ” 3( ( 6). 2. Нормально распределенная с. в. Х задана плотностью вероятно- стей ЖЗ Г(Я) = — е 2, ~/2х Найти: а) вероятность попадания с. в. в интервал (1,3); б) симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,8926 попадет с.в. Х в результате опыта; в) МаХ и М,Х. Построить нормальную кривую Дя).
3. Найти коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения с параметром о = О. Системы случайных величин 3.1. Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом случайных величин. Совместное рассмотрение нескольких случайных величин приводит к системам случайных величин.
Так, точка попадания снаряда характеризуется системой (Х, У) двух случайных величин: абсциссой Х и ординатой У; успеваемость наудачу взятого абитуриента характеризуется системой и случайных величин (Хы Хх,..., Х„) — оценками, проставленными в его аттестате зрелости. Упорядоченный набор (Хы Хз,..., Х„) случайных величин Х; (г = = 1,и), заданных на одном и том же ПЭС й, называется и-мерной случайной величиной или системой и случайных величин. Одномерные с.в.
Х~,Хх,..., Х„называются компонентами или составляющими и-мерной с.в. (ХыХх,...,Х„). Их удобно рассматривать как координаты случайной точки или случайного вектора Х = (Хы Х2,..., Х„) в пространстве и измерений. На многомерные случайные величины распространяются почти без изменений основные понятия и определения, относящиеся к одномерным случайным величинам. Ограничимся для простоты рассмотрением системы двух случайных величин; основные понятия обобщаются на случай большего числа компонент. Упорядоченная пара (Х, У) двух случайных величин Х и У называется двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величин Х и У.
Систему (Х, У) можно изобразить случайной точкой М(Х, У) или случайным вектором ОМ (рис. Зб и 37). Система (Х,У) есть функция элементарного события: (Х,У) = р(ш). Каждому элементарному событию и ставится в соответствие два действительных числа х и у (ипи х1 и хх) — значения Х и У (или Х1 и Хх) в данном опыте. В этом случае вектор х = (хмхг) называется реализацией случайного вектора Х = (Хы Хх). Глава 3. Системыслучайиыхвеличии ' 105 Рис. 37 Рис.
Зб Пример 3.1. Бросаются две игральные кости. Пусть с.в. Х число выпавших очков на первой кости, с. в. У вЂ” на второй; ПЭС состоит из 36 элементов: й = ( (1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1), (2, 2),..., (6, 4), (6, 5), (6, 6)). Элементарному событию, например, (6,5) = шее соответствует пара чисел х = 6 и у = 5. Совокупность этих значений — функция элементарного события и. Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными и смешанными в зависимости от типа случайных величин, образующих систему.
В первом случае компоненты этих случайных систем дискретны, во втором непрерывны, в третьем — разных типов. Полной характеристикой системы (Х,У) является ее закон распределения вероятностей, указываюший область возможных значений системы случайных величин и вероятности этих значений. Как и для отдельных случайных величин закон распределения системы может иметь разные формы (таблица, функция распределения, плотность, ...).
Так, закон распределения дискретной двумерной с. в. (Х, У) можно задать формулой р11 = Р(Х = х;, У = у ), з = 1, и, 7' = 1, т (3 1) или в форме таблицы с двойным входом: Причем, сумма всех вероятностей рии как сумма вероятностей полной группы несовместных событий (Х = х;, У = уо), равна единице: 106 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей На рнс.
38 приведен примерный график распределения двумерной дискретной случайной величины (Х, У). Рис. о8 Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, моэкно найти законы распределения колодой пз компонент (обратное, вообще говоря, неверно). Так, рк, = Р(Х = х1) = ры + + Ргз +... + Р1о„что слеДУет нз теоРемы сложениЯ несовместных событий (Х = хыУ = у1), (Х = хыУ = у2), ..., (Х = хм У = уо,). Аналогично можно найти р*; = Р(Х = х.) = ЕРО, рз, = Р(У = уд) = Ер* . 3=1 1=1 Пример 3.2.
В урне 4 шара: 2 белых, 1 черный, 1 синий. Из нее наудачу извлекают два шара. Пусть с. в. Х вЂ” число черных шаров в выборке, с. в. У вЂ” число синих шаров в выборке. Составить закон распределения для системы (Х, У). Найти законы распределения Х и У. С.в. Х может принимать значения О, 1; с.в. У вЂ” значения О, 1. Вычислим соответствующие вероятности: ры = Р(Х = О, У = О) = С,' 1 2 1 1 С2 2, — — (или: — — = — ); ргз = Р(Х = О,У = Ц 4 3 6' ' С2 6' Р21 Р(Х = 1 ~ О) ~~Р22 = Р(Х = 1,У = Ц = 6 Таблнпа 1 распределения системы 1Х, У) имеет вид: Глава 3.
Системы случайных величин ' 107 Отсюда следует: Р(Х = О) =— 1 6 Р(У = О) = — + — = — Р(У = 1) 1 2 1 6 6 2' составляющих Х и У имеют вид: + —,Р(Х вЂ” Ц + 2 1 2 1 1, 2' 6 6 2' 1 1 = — + — = —. Законы распределения 6 6 2' Щхо Универсальной формой задания распределения двумерной случайной величины является функция распределения (или «интегральная функция»), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины, обозначаемая Рх г(х, у) или просто Р(х, у), Функцией распределения двумерной случайной величины (Х, У) называется функция Р(х, у), которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий (Х < х) и (У < у).
Таким образом, по определению Р(х,у) = Р(Х < х, У < у) (3.2) (событие (Х < х,У < у) означает произведение событий (Х < х) и ( У)) Геометрически функция г'(х, у) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (Х, У) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащий левее и ниже ее (рис. 39). Функция распределения двумерной дискретной случайной величины (Х,У) находится суммированием всех вероятностей реи для которых х; < х, у < у, т.
е. Р(х,у) = ~ ~рви (З.З) в,<ву <у Геометрическая интерпретация функции распределения позволяет наглядно иллюстрировать ее свойства. 3.2. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства 108 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Рис. 30 О < г'(х, у) < 1. 2. Р(х, у) не убывает по каждому из своих аргументов при фиксированном другом, т. е. Р(хг,у) > Р(хну) при хг > х1,' г (х, уг) )~ г (х, уг) при уг ) ун 3. Если хотя бы один из аргументов обращается в — со, то функция распределения Р(х, у) равна нулю, т, е.
Р(х, — со) = Р( — со, у) = Р( — оо, — со) = О. 4. Если оба аргумента обращаются в +со, то Р(х, у) равна 1, т. е. Р(+со,+оо) = 1. 5. Если один из аргументов обращается в +со, то функция распределения системы случайных величин становится функцией распределения с.в., соответствующей другому злементу, т. е. Р(х, +со) = Р1(х) = Рх(х), Р(+со, у) = Рг(у) = РВУ). (2.4) 6. Р(х, у) непрерывна слева по каждому из своих аргументов, т.
е. 1цп г (х, У) = г'(х, УО). у-+уо — О 11гп Р(х,у) = Р(хе,у), з-+*о — О Свойства функции распределения двумерной случайной величины: 1. Функция распределения Р(х, у) ограничена, т. е. Глава 3. Системы случайных величии ° 109 1. Р(х, у) есть вероятность, следовательно, 0 < Р(х, у) < 1. 2. При увеличении какого-либо из аргументов (х, у) заштрихованная на рис. 39 область увеличивается; значит, вероятность попадания в нее случайной точки (Х, У) не может уменьшаться. 3. События (Х < — со1, (У < — со) и их произведения невозможны: попадание в квадрат с отодвинутой в — со границей невозможно. Вероятность такого события равна нулю. 4.
Событие (Х < +со) (У < +со) достоверно, следовательно, его вероятность равна единице. 5. (Х < +со) — достоверное событие, следовательно (Х < +со) х х(У < у) = (У < у) и Р(+со,у) = Р(Х < +со; У < у) = Р(У < у) = =Р (у). Аналогично, Р(х, +со) = Рх(х). Подчеркнем: зная совместное распределение двух случайных величин Х и У, можно найти одномерные распределения зтих случайных величин, но обратное, вообще говоря, неверно. Отметим, что с геометрической точки зрения Р(х, у) есть некоторая поверхность (ступенчатая для двумерной дискретной случайной величины), обладающая указанными свойствами. С помощью функции Р(х, у) легко можно найти вероятность попадания случайной точке (Х, У) в прямоугольник 0 со сторонами, параллельными координатным осям: Р(х1 < Х < хт, у1 < У < уз) = = Р(хг у2) Р(х1) у2) Р(х2) у1) + Р(х1 у1).
(3.5) Приведем «геометрическое доказательство», см. рис. 40. У2) 110 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Здесь Г(хт,уз) — вероятность попадания случайной точки в область, заштрихованную косыми линиями, г (хы ут) — вертикальными, г"(х2, у1) — горизонтальными, г'(х1, у1) — косыми, вертикальными, горизонтальными (зту область дважды вычли, следует один раз прибавить). 1"а Используя формулу (2.4), находим функции распределения Р1(х) и Р2(у): О, прих<0, Р1(х) = 0,5, при 0 < х < 1, 1, при х >1, О, приу<0, Рт(у) = 0,5, при 0 < у < 1, 1, при у) 1. Используя формулу (З.З), находим функцию распределения г'(х, у): 3.3. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства Исчерпывающей характеристикой непрерывной двумерной случайной величины является плотность вероятности.
Вводится зто понятие аналогично тому, как зто делалось при рассмотрении плотности распределения вероятностей одной случайной величины (п. 2.4). Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения г'(х,у) есть непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая смешанная производная Р"„(х, у). Плотностью распределения вероятностей (или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) называется вторая смешанная производная ее функции распределения. Пример 3.3. По таблицам распределения системы (Х,У) компонент П Х и У примера 3.2 п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
