1193507387 (547421), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины служат соответственно средним значением и мерой рассеяния. Корреляционный момент выражает меру взаимного влияния случайных величин, входящих в систему (Х, У). Математическим оэ1сиданием двумерной с. в. (Х,У) называется совокупность двух м. о. МХ и МУ, определяемых равенствами: МХ = тт = 2 2 х,ркн МУ = тт — — 2 2 угро, (3.20) 1=1 1=1 1=1 1=1 Глава 3. Системы случайных величин ° 123 если (Х У) — дискретная система с. в. (здесь р;, = Р( =Р(Х=х, У=у)); Р и МХ = х ~(х, у) <Иду, МУ = у Дх, у) Йхду, (3.21) если (Х У) — непрерывная система с.в.
(здесь ((х, у) — плотность распределения системы). Дисперсией системы с. в. ( (Х У) называется совокупность двух дисперсий РХ и РУ, определяемых равенствами: Я Ш РХ= ~ ~(х; — т ) р1у, РУ=~~(у — тг) р;, ( . (3.22) 1=1 3=1 если (Х, У) — дискретная система с. в. и — т 2 РХ = (х — тк) 1(х,у) Йхг1у, РУ = (у — т„) ((х,у) ахау, — ОΠ— ОО (3.23) если (Х, У) — непрерывная система с.
в. исперсии РХ и РУ характеризуют рассеяние (разброс) случайной точки (Х, У) и в направлении осей Ох и Оу вокруг точки (т, тк) на плоскости Оху — центра рассеяния. Математические ожидания т и т„являю яются частными случаями й+ г системы (Х, У), определяемого начального момента сц,, порядка равенством Оь, = М(Х~У'); т = М(Х1Уо) = о1,о и тв — — М(ХоУ1) оо Ди ии РХ и РУ являются частными случаями центрального момента рь, порядка й+ г системы (Х, У), определяемого равенс пь, = М((Х вЂ” тх)" (У вЂ” т„)'); 2 РХ = М(Х вЂ” тк) = пг о и РУ = М(У вЂ” ту) = ро г.
мулам: (3.24) М(~о(Х, У)) = ~о(х, уЦ(х, у) ахау 124 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей для непрерывного случая и М(р(Х,У)) = ~ ~ ~р(х;,у )ре1 1=1 1=1 (3.25) МХУ = ~ ~х,у р;. (3.26) 1=1 1=1 для дискретных с. в. МХУ = хуД,у),1,,1у (3.27) для непрерывных с. в. 3.7. Корреляционный момент, коэффициент корреляции Особую роль играет центральный смешанный момент второго порядка дц1 = М(Х-тз)(У вЂ” тт) = МХУ, называемый корреляционным моментом или моментом связи. Корреляционным моментом (или ковариацией) двух случайных величин Х н У называется м.
о. произведения отклонений этих с. в. от их м. о. и обозначается через Кхг или сот(Х, У). Таким образом, по определению Кх1. = сот(Х, У) = М((Х вЂ” т„) (У вЂ” тт)] = МХУ. (3.28) При этом: если (Х, У) — дискретная двумерная с. в., то ковариацяя вычисляется по формуле Кхг = ~ ~(х1 тх)(У1 тт)рцц (3.29) 1=1 1=1 если (Х, У) — непрерывная двумерная с. в., то Кху = (х — тп )(у — тп Ц(х,у)<Ь у (3.30) для дискретного случая.
Начальный момент П порядка юг 1 = МХУ часто встречается в приложениях. Вычисляется по формуле Глава 3. Системы случайных величин ° 125 (формулы (3.29) и (З.ЗО) получены на основании формул (3.24) и (3.25)). Ковариацию часто удобно вычислять по формуле Кху = соу(Х, У) = МХУ вЂ” МХ МУ, (3.31) Кху = М$Х вЂ” тп )(У вЂ” тп Я = М(ХУ вЂ” Хтп — Ут + т тз) = = МХУ вЂ” тп МХ вЂ” тп МУ+ тп тп = МХУ вЂ” тпттпр — тпатп + т т„= = МХУ вЂ” МХ МУ. Формулу (3.30) можно записать в виде Кху = худ(х,у) аду — т тю (3.32) Свойства ковариании: 1.
Ковариация симметрична, т. е. Кху = Кух ° 2. Дисперсия с. в. есть ковариация ее с самой собой, т. е. Кхх=РХ, Ку =РУ 3. Если случайные величины Х и У независимы, то Кху = О. 4. Дисперсия суммы (разности) двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих случайных величин, т. е. Р(Х ~ У) =РХ+ РУ ~2КХУ 5. Постоянный множитель можно вынести за знак ковариаций, т. е. Ксх,у = с Кх~ = Кх,у или соу(сХ,У) = с соу(Х,У) = соу(Х,сУ). б.
Ковариация не изменится, если к одной из с. в. (или к обоим сразу) прибавить постоянную, т. е. Кх-~-с,у = Кху = Кх,уч-с = Кхч-с,уч-с которая получается из определения (3.28) на основании свойств мате- матического ожидания: 12б ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей или сот(Х+ с,У) = сот(Х,У) = сот(Х,У+ с) = сот(Х+ с, У+ с). 7. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит их с. к. о., т.
е. )Кху) < ст ° ст~. 1. Следует из определения (3.28) ковариации. 2 Кхх = М ((Х вЂ” тот)(Х вЂ” т )~ = М(Х вЂ” т )г РХ 3. Из независимости с. в. Х и У следует независимость их отклонений Х вЂ” тз и У вЂ” тю Пользуясь свойствами м. о. (п. 2.5), получаем Кху = М(Х вЂ” т,) М(У вЂ” ти„) = О. 4 Р(Х + У) М((Х + У) М(Х + У))г = МИХ-МХ)+(У-МУ))' = М(Х-МХ)'+2М(Х-МХЦУ-М1 )+ + М(У вЂ” МУ) = РХ + РУ + 2Кху Р(Х вЂ” У) = РХ + Р( — У) + 2М(Х вЂ” МХ)( — У вЂ” М( — У)) = = РХ+ РУ вЂ” 2Кху. 5 Ксх,~ = М(сХ вЂ” МсХ)(У вЂ” МУ) = М(с(Х вЂ” МХ)(У вЂ” МУ)] = = сКху б.
Доказывается аналогично. Х вЂ” т У вЂ” тт 7. Применяя свойство 4 к двум стандартным с. в. * и (см. 2.5), получаем: Р и *~ и" =Р а * +Р и <т М о- <т 1+1~2М о- <т 2 1~ ~ о. Любая дисперсия неотрицательна, поэтому (3.33) Отсюда следует, что — о~<тт < Кху < о~<тю т. е. ~Кху~ ~«тзпю Глава 3. Системы случайных величин ° 127 Кх, сот(Х, У) оков 7~Х 7ЪУ' (3.34) Очевидно, коэффициент корреляции равен ковариации стандартных Х вЂ” т У вЂ” тв с.в. Я~ = * и Яг =, т.е. тху = соу(ХыЯ2). <т ов Свойства коэффициента корреляции: 1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1, т.е.
~тху~ ~ (1 или — 1 ( тху ~ (1. 2. Если Х и У независимы, то тху = О. 3. Если с. в. Х и У связаны линейной зависимостью, т. е. У = аХ + Ь, афО,то ~тху~ = 1, причем тху = 1 при а ) О, тху = — 1 при а ( О. 4. Если ~тху~ = 1, то с. в. Х и У связаны линейной функциональной зависимостью. 1. Так как 1Кху~ «тх <тв (свойство 7 ковариации), то )Кху( о <тх Из свойства 3 следует, что если Кху ф О, то с.
в, Х и У зависимы. Случайные величины Х и У в этом случае (Кху ф 0) называют коррелнрованнымп. Однако из того, что Кху = О, не следует независимость с. в. Х и У. В этом случае (Кху = 0) с. в. Х и У называют некорреяированными. Из независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря, неверно. Как следует из свойств ковариации, она (Кху) характеризует и степень зависимости случайных величин, и их рассеяние вокруг точки (тпх,тв). Размерность ковариации равна произведению размерностей с.в. Х и У.
В качестве числовой характеристики зависимости (а не рассеяния) с. в. Х и У берут безразмерную величину — коэффициент корреляции. Он является лучшей оценкой степени влияния одной с. в. на другую. Коэффициентом корреляции тху двух с.в. Х и У называется отношение их ковариации (корреляционного момента) к произведению их с. к.
ол 128 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей 2. Кту = О в случае независимости Х и У. Следовательно, КХ1 гху = — = О. и от 3. Согласно свойствам ковариации, имеем сот 1Х, У) = сот(Х, аХ + Ь) = сот1аХ + Ь, Х) = а сот (Х + —, Х) = Ь = аоот(Х, Х) = а РХ и РУ = Р1аХ + Ь) = а2РХ. Поэтому сот(Х,У) арХ а /1, при а ) О, 1/РХХ,,/РУУ,ЯХХ. (а).
1/РХ Х)а( ) — 1, при а < О. 4. Пусть гху = 1. Тогда из равенства а н а о 1см. свойство 7 ковариации) получаем Х вЂ” та~ У вЂ” птт Х вЂ” т У вЂ” тт т. е. — = с — постоянная. Но н ат =Π— О=О, Х вЂ” У вЂ” тп„ъ„ т. е. с = О. Значит, =, т. е. У = — 1Х вЂ” т .) + тю При оз от ' ' ' аз гху = — 1 получаем У= — — (Х вЂ” та )+таю от и Таким образом, при гху = ~1 с. в. Х и У связаны линейной функциональной зависимостью.
Итак, для независимых случайных величин гху = О, для линейню связанных )гху~ = 1, а в остальных случаях — 1 < гху < 1; гово рят, что с. в. связаны полоокитаельной корреляцией, если гху ) О; если Глава 3. Системы случайных величин ' 129 тху ( 0 — отрицательной корреляцией. Чем ближе ~тху~ к единице, тем больше оснований считать, что Х и У связаны линейной зависимостью. Отметим, что корреляционные моменты и дисперсии системы с. в. обычно задаются корреллционной матрицей: Кхх Кху РХ Кху Пример 3.8. Закон распределения дискретной двумерной с. в. задан П таблицей: Найти коэффициент корреляции тху. Находим законы распределения составляющих Х и У: Х 0 1 р 0,6 0,4 Находим математическое ожидание составляющих: тк = 0.0,6+1.0,4 = = 0,4, тв — — — 1 ° 0,35+ 0 ° 0,50 + 1 ° 0,15 = — 0,20 (их можно было бы найти, используя формулу (3.20); так г з т = ~ ~к,рг = 0 0,15+0 0,40+0-0,05+1.0,20+1 0,10+1.0,10 = 0,4).
Находим дисперсии составляющих: Х)Х = [МХ вЂ” (МХ) ] = (О 0,6+1 0,4) — (0,4) = 0,24, ВУ = (( — 1) . 0,35 + 0 ° 0,50 + 1 0,15) — ( — 0,20) = 0,46, Стало быть: и = „/0,Я 0,49, <ту — — 1/0,46 0,68. Находим МХУ, используя формулу (3.26): МХУ = 0 ° ( — 1) 0,15+0 0 0,40+0 1 0,05+ +1. ( — 1) ° 0,20+1 0 0,10+1 ° 1 0,10 = — 0,10 (можно было бы составить закон распределения Я = ХУ, а затем найти МЯ = МХУ: 130 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей МЯ = МХУ = — 1 0,20+ 0 0,70+1 ° 0,10 = — 0,10).
Находим корреляционный момент, используя формулу (3.31): Кл-1. = [МХУ вЂ” МХ.МУ] = = — 0,10 — 0,4 (-0,20) = — 0,10+0,08 = — 0,02 ~ О. Находим коэффициент корреляции (формула (3.34)): ГКхь 1 — 0,02 ~от~Ъ~ О 49 О 68 отрицательная корреляция. Упражнения 1. Двумерная с. в. (Х, У) задана законом распределения. Проверить, зависимы ли с. в.
Х и У. Найти сот(Х, У). 2. Плотность совместного распределения с. в. Х и У задана формулой ~(а(1 — хуз), при )х( < 1, )у! < 1, 1(х,У) = (о, в остальных случаях. Найти постоянную а и коэффициент корреляции. 3. Непрерывная двумерная с. в. (Х,У) задана плотностью распределения вероятностей (с(х+ у), при 0 < х < 1, О < у < 1, 1(х,У) = (О, в противном случае. Зависимы ли с.в. Х и У? Найти м.о. и дисперсию с.в. Х и У.
Глава 3. Системы случайных величин ° 131 3.8. Двумерное нормальное распределение Среди законов распределения двумерной с. в. (Х, У) на практике чаще всего встречается нормальное (гауссовское) распределение вероятностей. Оно применяется, в частности, для описания 2-х результатов измерения, абсциссы и ординаты точки попадания (Х, У) при стрельбе и т.д. Двумерная с. в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
