1193507387 (547421), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. О СЬ) = У(х) 1х. а Дифференцируя полученное равенство по у, найдем плотность распре- деления с.в. У: йЬ) = „= У(ФЬ)) ~ (ФЬ)) = У(ФЬ)) Ф'Ь), 1~Ь) 1 т. е. ~Ь) = У(ФЬ))Ф'Ь). (4.1) Если функция у = ~р(х) в интервале (а, б) строго убывает, то событие 11 < у) эквивалентно событию (Х ) ф(у)). Поэтому С(У) = 7'(х) Нх = — 7"(х) Нх. Отсюда следует, что йЬ) = -У(ФЬ))Ф'Ь). (4.2) Учитывая, что плотность распределения не может быть отрицательной, формулы (4.1) и (4.2) можно объединить в одну йЬ) = У(Ф(ю))Р'Ь)~ (4.3) л йЬ) = ~~,У(Ф Ь))ЙЬ)~.
1=1 (4.4) Если с.в. Х является непрерывной и 7'(х) — плотность ее распределения, то для нахождения числовых характеристик с.в. 1' = ~р(Х) необязательно находить закон ее распределения, можно пользоваться И, наконец, если функция и = у(х) немонотонна в интервале (а, б), то для нахождения д(п) следует разбить интервал на и участков монотон- ности, найти обратную функцию на каждом из них и воспользоваться формулой 148 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей формулами МУ = М(~р(Х)) = ~р(х)Дх) Нх, ПУ = ь1(~р(Х)) = (~р(х) — т, ) ~(х) с1х. (4.5) (,) Функция у = — 5х+ 2 монотонно убывает в интервале ( — со,со).
Обратная функция есть х = — (2 — у) = ф(у), у1 (у) = — —. По форму- 1 1 5 ' 5 ле (4.3) имее~ д(у) = 1 1 ) ' ~ 5 ~ = 51 ( ), У Е ( — со, со). ° Проиллюстрируем на примере 4.2 вывод формул для функции и плотности распрецеления: С(у) = Р(У < у) = Р( — 5Х + 2 < у1 = Р Х ) =1 — Р Х< —," =1 — Р Х< 5 +Р Х= 5 =1-Р Х < =1 — Гх так как Р Х = ) = О, т.е. С(у) = 1 — Рх ) — функция распределения с. в. У. Тогда т.
е. д(у) = —,1 1 — у Е ( — со со). Отметим, что линейное преобразование У = аХ + Ь не меняет характера распределения: из нормальной с. в. получается нормальная; из равномерной — равномерная. Пример 4.2. Найти плотность распределения функции У = — 5Х + 2, П считая Х н. с. в. с плотностью 1(х). Глава 4. функции случайных величин ° 149 Пример 4.3.
Пусть с. в. Х имеет равномерное распределение в интервале (-а ~~. Найти математическое ожидание с.в. У = сов Х: а) най- 2' 2)' дя плотность д(у); б) не находя д(у). (,а а) Имеем: В интервале ( — — -) функция у = сов х не монотонна: в ( — — О) функ- 1Г 1Г'1 / л 2' 2/ 2' ция возрастает, в (О, $) — убывает. На первом участке обратная функция х1 — — — агссозу = ф1(у), на втором — хг = агссову = ~2(у). По формуле (4.4) имеем д(У) = ЛФ (У)М(У)!+ ЛФ2(У))~Фгг(У)! = 1 1 1 1 2 +к /1 у2 ~~ /1 2 1. /1 уг т.
е. при О < у < 1, 2 д(у) = Ф вЂ” уг О, приу<Оилиу>1. Тогда 00 1 уд(у)А = у Ь= — ОО о 1 2 11 2 — — ' г 1 г 2~1 2 2 / ~о о т.е. М1' = —. 2 б) Используем формулу (4.5): соз х — вх = — ашх~ =,— (1 — ( — 1)) = —, 1 1 ° 12 1 2 2 т.е. М1' = —. 2 150 ° Раздел первый.
Элементарная теория вероятностей Упражнения 1. Дискретная с. в. Х задана законом распределения Найти закон распрецеления случайных величин: а) У = 2Х~ — 3; б) У = ч~Х+2; в) У = зш ~ Х. 2. Дискретная с. в. Х задана своим рядом распределения Построить многоугольник распределения с.в. Х и У = соз — Х. 2 7Г 2 Найти МУ и о.У. 3.
Найти плотность распределения и дисперсию с.в. У = Х+ 1, если Х Я[ — 2, 2]. 4. Случайная величина Х тт'(О, 1). Найти плотность распределения с. вл а) У = ЗХз; б) У = ~Х[. 5. Пусть Х вЂ” н. с. в. с плотностью ~е г, при х ) О, ]О, прих<0. Найти функцию распределения и плотность распределения с. в. 1', еслиа) У=2Х вЂ” 1;б) У=Х~. 4.2. Функции двух случайных аргументов Для решения ряда практических задач необходимо знать закон распределения (или числовые характеристики) случайных величин вида т=х~у,г=х т,г= 'х~~-у',т= (,т) ду Если каждой паре возможных значений с. в. Х и У по опрецеленному правилу соответствует одно возможное значение с.в.
Я, то 2 называют функцией двух случайных аргументов Х о У, записывают г= р[Х,У). Глава 4. Функции случайных величин ° 151 Найдем закон распределения суммы двух случайных величин (наиболее важный на практике), т. е. закон распределения с. в. Я = Х + У. Пусть система двух непрерывных с.в.
(Х,У) имеет совместную плотность распределения 7'(х,у). Найдем по формуле (3.8) функцию распределения с.в. Я = Х+ У. Е,( ) = Р(г < ) = Р(Х+ У <,) = У(тд) Ы~. Здесь Рх — множество точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют неравенству х + и < г, см. рис, 47. Рис.
47 Имеем Дифференцируя полученное равенство по переменной х, входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получаем выражение для плотности распределения с. в. Я = Х + У: (4.6) ~я(г) = 7'(х,х — х) Их. Если с.в. Х и У независимы, то, как известно (п. 3.4), ~(х,у) = ~1(т)Яу). Формула (4.6) примет вид (4.7) й(г) = (х+ь.(в) = Л(я)Л(х — и) <Ь. Закон распределения суммы независимых с.
в. называется компо- Я гицвей или сеерглкой законов распределения слагаемых. 152 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Плотность распределения с. в. Я можно записать в виде ~х.~у = = )х е ~г, где * — знак свертки, а формулу (4.7) называют формулой свертки или формулой композиции двух распределений. Записав Я в виде Я = У+Х, можно получить другое представление для ~я(з), а именно Уя( ) = У(з — Ю,у) Ь Ух(з) = Л(з — й)12Ь) <Ь в случае независимости с.
в. Х и У. Задача нахождения закона распределения с.в. вида Л = Х— У Ъ. Я = Х У и других решаются аналогично. 1 З Используя формулу (4.7), получаем Г г 1 2е — 24а + л с1х= — / е 2 Нх= 2к / (л — х)~ Уя(з) = / — е 2 1 е г т/2к т~2к сю 2 ((т — з) -1. ~ ) — / е г 2 Их= 2х / ,'.-т)'.-1*-1)'.(, 1) л2 = — е 4т/~= 1 2к 2(ъ~2)Я тГ2т/2к е " Ии = т(к — интеграл Пуассона т. е. 1 2(,/2)' ~+ ()= С мма независимых нормальных с. в. (с т = О, о. = 1) имеет нормаль. У вЂ” ° ное распределение (с т = О, о. = тГ2).
П,„'"" Пример 4.4. Пусть с.в. Х Х(0,1), с.в. У - Х(0„1). Найти закон распределения с. в. Я = Х + У, считая Х и У независимыми с. в. Глава 4. Функциислучайныквеличин ' 153 Пример 4.5. Совместное распределение с. в. Х и У задано плотностью распределения вероятностей (х+у, приО<х<1, 0<у<1, Дх,у) = с ( О, в противном случае. Найти плотность распределения вероятностей с. в. Я = Х вЂ” У. Найдем сначала функцию распределения Г(з) с. в.
Я, а затем — ее производную Ря(е) = ~я(е). Рг(в) = Р(Е < з) = Р(Х вЂ” У < з) = (х+ у) Ихс1у, где Р, — множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству х — у < з, т. е. у ) х — з (они находятся выше прямой у = х — з), где в произвольное число.
Очевидно, если з < — 1, то Р(з) = 0; так как Дх, у) = 0 вне квадрата 0 < х < 1, 0 < у < 1. Область интегрирования Р, при — 1 < з < 0 изображена на рис. 48, при 0 < з < 1 — на рис. 49). Рис. 49 Рис. 48 При — 1 < з < 0 имеем 1+с 1 1ак Е(з) = (х+у) Ихпу = Нх (х+у) Ну = Нх ху+ гг, о х — к о 1+с г (х з)г'1 х+ — — х +хз— 2 2 ) Их = о хг 1 хз хг (х з)з'1 ~1+ — + — х — — +з —— 2 2 3 2 6 )1о (1+ )г (1+ )з (1+ )г (з + 1)г 3 2 6 6 2 2 154 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей При О < х < 1 имеем а 1 1 1 Г(з) = (х+ у) НхНу = Нх (х+ у) Ну+ Нх (х+ у) Ну = гг.
0 0 в — з т 1 Г" ( -"). Г"(- -) о 3 1( 1 1х ) 2 о )з, 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 При х > 1 имеем Таким образом, приз< — 1, при — 1 < х < О, О, + 1)г — хг+2х Ь(х) = +1 приО<х<1, при х > 1. Следовательно, О, приз< — 1, х>1, Рх(х) = ~х(х) = в+1, при — 1 < г < О, 1 — х, приО<х<1, Контроль: 1 1 гт(х) = (х+ у) пхну = Их (х+у) сну = пс о о 1 =й"))" =(-." 1)'= а Глава 4. Функции случайных величин ° 155 ОΠ— 1 о 1 ОО | ~[2) й = Ой+ (2+1) й+ [1 — 2) й+ Ой = — ОΠ— сю -1 0 1 ( + 1)2 с [1 )2 2 ~ — 1 2 1о 2 2 — ] =- — Π— О+-=1. ° Пример 4,6. Независимые с.в.
Х и У распределены равномерно [] Х В[0, 4], У В[0, 1]. Найти плотность распределения вероятностей .. г = Х + У (р . ОО). х+у=с х+у=х Рва 50 ( ) Система с. в. (Х, У) равномерно распределена в прямоугольнике Р = (О < х < 4,0 < д < Ц, 1 — х Е [О 4], ( ) ~ 1, у Е [О 1], О, х ф [0,4], [.О, У ф [0,1]. Так как с.
в. Х и У независимы, то 1'1х,у) = Ых) Ыу) = — 1 =— 1 1 4 4 Рг(х) = Р(Х + У < 2) = 4 11х1111 = 4 оо 1*+у< ) где Яр, — площадь области Р, — части прямоугольника, лежащей ниже прямой х + у = 2. Если 2 < О, то Р[г) = 0; если 0 < х < 1, то У[2) = 4 йх2 (так как Бп, = — 2 х); если 1 < 2 < 4, то 1 1 2 1 У[2) = — ~ 1) = — (2х — 1); 155 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей если 4 < з < 5, то Р(х) = †.
(1 4 — — (5 — 2)(5 — 2)) = — (8 — (5 — 2) ). 1 4 2 8 Итак, У(з) = ~Ь( ) = Контроль: ОО 1 4 г 5 ~(2) й = / — з й + / — й + — / (5 — 2) й = 1. 11 11 1 / 4 ,/ 4 4 ,/ 0 1 4 Плотность распределения ~я(2) можно найти, используя формулу ~(2) = ~1(Х) ' ~2(2 — Х) Ох. Имеем 2 (З) / 22(х — Х) йх = — / 22(х — Х) ох. Г1 1Г /4 4/ Функция под знаком интеграла отлична от нуля лишь в случае < 0<х<4, 0<2 — х<1, т.
е. < 0<х<4, 2 — 1<х<г. (4.8) Решение системы зависит от значения 2. 1. Если 2 < О, система несовместна; отрезки [0,4] и <2 — 1,г] ве пересекаются, (см. рис. 51). Следовательно, У2(2 — х) = 0 и ~2г4.у(2) = О. 2. Если 0 < 2 < 1, система (4.8) эквивалентна неравенству 0 < х < г (см. рис. 52). О, 1 4 ' 1 4' 1 4 (5 — г), 2<0, 2)5, 0<2<1, 1<я<4, 4 < г < 5. Глава 4. Функции случайных величин ° 157 2 — 1 2 Рис. И З вЂ” 1 2 О 1 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
