1193507387 (547421), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ы Поэтому г Ух+у(х) = — ( 1с~х = — х1 = —. 4/ 41о 4 о 3. Если 1 < х < 4, система (4.8) эквивалентна неравенству х — 1 < < х < х (см. рис. 53). О 1 Рис. 5У Поэтому 1 Ух+у(з) = — ~ 1~1х = — х~ = — (ю — '+1) = —. 4/ 4 ~,1 4 4' х — 1 4. Если 4 < х < 5, то х — 1 < х < 4 (см. рис. 54). с — 1 х 5 х Рис. Ц Поэтому ~х(х) = — ~ 1дх = — х~ = — (4 — с+1) = 1Г 1~4 4/ 4 ~,1 4 4 с-1 158 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей 5 х — 1 х х Рос. ББ 5.
Если 5 < х, то система (4.8) несовместна (см. рис. 55), а, значит, й(х) = О. Итак, .1(х) = Упражнения 1. По условию примера 4.5 найти функцию и плотность распрецеления вероятностей с. в. Я = Х + У. 2. По условию примера 4.5 найти плотность распределения вероятностей с.в. Я = —. У Х' 4.3. Распределение Функций нормальных случайных величин Рассмотрим распределение некоторых с.
в., представляющих функции нормальных величин, используемые в математической статистике. О, 1 4 1 4' 4 (5 — х), 1 к<0, х>5, 0<к<1, 1<к~<4, 4<к<5, Глава 4. Функции случайных величин ' 159 Распределение Хг (хи-квадрат или Пирсона) Распределением Х„с и степенями свободы называется распрецелег ние суммы квадратов и независимых стандартных случайных величин, т.
е. и Хг ~ Хг где Х; Ф10,1), г = 1,2,...,и. .2 Гх1х) = — е г, ~/2п Плотность распределения с. в. У = Хг равна 1согласно 14.4)) У(У) = е г р > 0 2 /Яхье Плотность РаспРеделениЯ Хлг имеет вид п х хг е г, прих>0, .1хг (х) = 2 г Г (г) О, при х ( О, где Г1р) = гл е 'й гамма-функция Эйлера (Г(р) = (р — 1)1 для о целых положительных р).
С возрастанием числа степеней свободы п распределение Хг приближается к нормальному закону распределения 1при и > 30 распределение Хг практически не отличается от нормального); МХ~ = и, РХ~ = 2и. На практике, как правило, используют не плотность вероятности, а квантили распределения Х„. Квантилью распределения Хг, отвечающей уровню значимости о, называется такое значение Х„= Х „, при котором Р(Хп > Ха,л) Ух~ (х) дх х3 Плотность вероятности с.в. Хг зависит только от числа п, т.е.
числа слагаемых. Если и = 1, то Хг = Хг, где Х Ф(0, 1), 160 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Рис. Бб С геометрической точки зрения нахождение квантили ~~~ „заключается в выборе такого значения С~ =,С~ „, чтобы площадь заштрихованной на рис.
56 фигуры была равна о. Значения квантилей приводятся в специальных таблицах-приложениях. Для стандартного нормального распределения квантили уровня о обозначаются через ~и, причем ио является решением уравнения Ф(и,„) = Распределение Стьюдента г да где Я Ф(0, 1) — стандартная нормальная величина, независимая от ;С~-распределения. Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид ~у„(~) = 1 1+ и); ~ я ( — оо; оо). г®~ 1, ") При и + оо распределение Стьюдента приближается (уже при и > 36 почти совпадает) к нормальному РТ п >2 и — 2' МТ„= О, Распределением Стпьюдента (или 1-распределением) с и степенями Я свободы называется распределение с. в. Глава 4. Функции случайных величин ° 161 На практике используют квантили 1-распределения: такое значение 2=2а„, что 2' Р()1( > 1п ) = 2 ~(!) ~Й = о. 2' Са г" С геометрической точки зрения нахождение квантилей заключается в выборе такого значения 1 = 2и „, чтобы площадь заштрихованной на 2' рис.
57 фигуры была равна о. Рис. 57 Распределение Фишера-Снедекора Распределением Фишера — Снеденора (или Р-раепределением) с т и Д и степенями свободы называется распределение с. в. г ~х 1 2 лЪ~ где 7~ и у„независимые с. в., имеющие у -распределение соответ- г г г ственно с т и и степенями свободы. При и -+ оо Р-распределение стремится к нормальному закону, 2пг(т+ и — 2) МР= и, п>2, РР=, п>4.
т(п — 2) г (и — 4) На практике обычно используют квантили распределения: такое значение Р = Р„,~ „, что ! 62 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей С геометрической точки зрения нахождение квантили заключается в выборе такого значения Г = Г„,„,,„, чтобы площадь заштрихованной на рис. 58 фигуры была равна о. Риа Ю8 Предельные теоремы теории вероятностей Рассмотрим ряд утверждений и теорем из большой группы так называемых предельных теорем теории вероятностей, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними.
Они составляют основу математической статистики. Предельные теоремы условно делят на две группы. Первая группа теорем, называемая законом больших чисел (коротко: ЗБЧ), устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью. Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой (коротко: ЦПТ), устанавливает условия, при которых закон распрецеления суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному. В начале рассмотрим неравенство Чебышева, которое можно использовать: а) для грубой оценки вероятностей событий, связанных со с.
в., распрецеление которых неизвестно; б) доказательства ряда теорем ЗБЧ. 5.1. Неравенство Чебышева 164 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Докажем неравенство (5.1) для непрерывной с.в. Х с плотностью 1(х). Вероятность Р)~Х вЂ” а~ > е) есть вероятность попадания с. в. Х в область, лежащую вне промежутка [а — е, а+ е]. Можно записать а-х -~-00 Р(~Х вЂ” а) > е) = 1(х)пх+ 1(х)дх = 1(х)дх = — ОО а ее (х — а)>а Г (х — а)г 1У(*)~*< /', У(-)~-, |х — а))а )х — а)>а так как область интегрирования ~х — а~ > е можно записать в виде (х — а) > е, откуда следует 1 < .
Имеем г г (х — а) е РОХ вЂ” а~ > е1 < — (х — а) 1(х) дх < — 1х — а)~~(х) сЬ, )х — а))х — аа так как интеграл от неотрицательной функции при расширении области интегрирования может только возрасти. Таким образом, Р(~Х вЂ” а~ > е) < — (х — а)г г" (х) йх = — РХ, ег 1 т, а Р(~Х вЂ” ~( > ~~ < —. РХ Аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной с. в.
Х, принимающей значения х1, хг, хз,... с вероятностями р1, рг. рз,..., только интегралы (вида ) заменяются соответствующими )х-а)>а суммами (вида ~ ). (х< — а)>е Отметим, что неравенство Чебышева можно залисать в другой форме; г (5.2) Е В форме (5.2) оно устанавливает нижнюю границу вероятности события, а в форме (5.1) — верхнюю. Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей ° 165 Неравенство Чебышева справедливо длл любых с, в, В частности, для с. в, Х = тп, имеющей биномиальное распределение с матожиданием МХ = а = пр и дисперсией ОХ = пру (п.
2.7), оно принимает вид Р Ц та — пЯ < е) > 1— пР9 е (5.3) Р(~ — — р~ < е) > 1 — —. (5.4) и пе Оценку вероятности попадания с.в. Х в промежуток (е,со) дает неравенство Маркова. а Р(Х>.) = П*)д*< $П )д*=-,1 *а*)д*< Е Е Е < — ) х7(х) ах = в Неравенство (5.5) можно записать в форме Р(Х <е) >1 —— МХ (5.6) Пример 5.1. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что отклонение с.в. Х от своего м.о. будет меньше трех с.к.о., т. е.
меньше За . ( ) Полагая е = За~ в формуле (5.2), получаем 2 Р(~Х вЂ” МХ) < За ) > 1 — * = 1 — — = — = 0,8889. (За )з 9 9 Эта оценка, как известно (п. 2.7), называется правилоль трех сигм; для с.в. Х т"т'(а,а) эта вероятность равна 0,9973.
для частости — (или —, п. 1.5) события в и независимых испыт пл таниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью р = М ( — ) = а, дисперсия которых Р ( — ) = —, неравенство Чебышетп тп РЧ ва имеет вид Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей ' 167 = — (РХт + РХз+... + РХ„) ( — (С+ С+... + С) = — Си = —. 1 1 1 С Тогда, применяя к с, в. Х=-1'~ Х; неравенство Чебышева (5.2), имеем Переходя к пределу при п -+ оо и учитывая, что вероятность любого события не превышает 1, получаем Следствие. Если с.в. Хм Хз, ..., Х„, ...независимы и одинаково распределены, МХ; = а, РХ; = а~, то для любого е ) 0 (5.9) т. е.
среднее арифметическое с. в. сходится по вероятности к математическому ожиданию а: а=1 О Так как и Е ' = и( т+МХз+...+МХ ) = (а+а+ ..+а) = 1 па = а, а дисперсии с. в. Х; равны числу а~, т. е. ограничены, то, применив ЗБЧ в форме Чебышева (5.7), получим утверждение (5.9). Следствие (5.9) теоремы Чебышева обосновывает «принцип среднего арифметического с. в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
