1193507387 (547421), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Гяввв 5. Предельные теоремы теории вероятностей ° 175 Заметим, что интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа (5.15) Р <х -+Ф(х) для схемы Бернулли непосредствнно вытекает из ЦПТ (5.13) с учетом я результатов, полученных в п.
5.3 (пА = ~ Х„МХ, = р, РХ, = рд; 1=1 тогда па = пр, и,/й =,/рд /и =,/пру). Для подсчета сумм биномиальных вероятностей можно воспользоваться приближенной формулой (5.16) Действительно, Рп,ь = Р(пА ~ ~тп1 = Р( — оо < иА ~ ~тп) = 9=О =Р— оо« =Ф р — Ф( — оо) = %р~у где Ф(х) — функция Лапласа. Пример 5.5. Машинистке требуется напечатать текст, содержащий 8000 слов, состоящих из четырех и более букв. Вероятность сделать ошибку в любом из этих слов равна 0,01. Какова вероятность, что при печатании будет сделано не более 90 ошибок? 1 'в Применим формулу (5.16). Так как п = 8000, р = 0,01, 9 = 0,99, тп = 90, то Р~Я ~8ЖООт199 79,2 = 0,112, тп пр 10 8 д 1~12 90 Ф(1,12) = 0,8686. Следовательно, Р(пА < 90) = ~~> Р,ь = 0,869. ° я=е !76 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Упражнения Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что: а) при бросании монеты 500 раз число выпадений герба будет заключено между 200 и 300; б) при бросании 10 игральных костей сумма очков отклонится от м.
о. меньше, чем на 8. Дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 5. Найти число этих величин, при котором вероятность отклонения их средней арифметической от средней арифметической их м. о. менее чем на 0,1 превысит 0,9. Оценить вероятность того, что при бросании монеты 500 раз частость появления герба отклонится от вероятности появления герба при одном бросании по модулю менее чем на 0,1. Стрелок попадает при выстреле в мишень в десятку с вероятностью 0,5, в девятку — 0,3, в восьмерку — 0,1, в семерку — 0,1. Стрелок сделал 100 выстрелов.
Какова вероятность того, что ои набрал ие менее 940 очков? Приживаются в среднем 70% числа посаженных саженцев. Сколько нужно посадить саженцев, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 ожидать, что отклонение числа прижившихся саженцев от их м, о. не превышало по модулю 40? Решить задачу с помощью: неравенства Чебышева. Выборки и их характеристики 6.1. Предмет математической статистики Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Обе эти математические дисциплины изучают массовые случайные явления.
Связующим звеном между ними являются предельные теоремы теории вероятностей. При этом теория вероятностей выводит из математической модели свойства реального процесса, а математическая статистика устанавливает свойства математической модели, исходя из данных наблюдений (говорят «из статистических данных»). Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала надо каким-либо образом обработать: упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде.
Это первая задача. Затем, это уже вторая задача, оцепить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины. Например, дать оценку неизвестной вероятности события, оценку неизвестной функции распределения, оценку математического ожидания, оценку дисперсии случайной величины, оценку параметров распрвцеления, вид которого неизвестен,и т.д. Следующей, назовем ее условно третьей, задачей является проверка статистических гипотез, т, е, решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными. Например, выдвигается гипотеза, что: а) наблюдаемая с.в. подчиняется нормальному закону б) м. о, наблюдаемой с, в, равно нулю; в) случайное событие обладает данной вероятностью и т, д.
Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов, позволяющих по результатам обследования вы- Глава 6. Выборки и их характеристики ° 179 борки (т. е. части исследуемой совокупности объектов) делать обоснованные выводы о распределении признака (с.
в, Х) изучаемых объектов по всей совокупности. Для обработки статистических данных созданы специальные программные пакеты (БТАП1А, СтатЭксперт, Эвриста, БУБТАТ, БТАТСНАРН1СБ и др.), которые выполняют трудоемкую работу по расчету различных статистик, построению таблиц и графиков. Простейшие статистические функции имеются в программируемых калькуляторах и популярных офисных программах (КХСК1 ).
Результаты исследования статистических данных методами математической статистики используются для принятия решения (в задачах планирования, управления, прогнозирования и организации производства, при контроле качества продукции, при выборе оптимального времени настройки или замены действующей аппаратуры и т.д.), т.е. для научных и практических выводов. Говорят, что «математическая статистика — это теория принятия решений в условиях неопределенности». Математическая статистика возникла в ХЪ'П1 веке в работах Я.
Бернулли, П. Лапласа, К. Пирсона. В ее современном развитии определяющую роль сыграли труды Г. Крамера, Р. Фишера, Ю. Неймана и др. Большой вклад в математическую статистику внесли русские ученые П.Л. г1ебышев, А.М. Ляпунов, А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко и другие. 6.2. Генеральная и выборочная совокупности Пусть требуется изучить данную совокупность объектов относительно некоторого признака. Например, рассматривая работу диспетчера (продавца, парикмахера,...), можно исследовать: его загруженность, тип клиентов, скорость обслуживания, моменты поступления заявок и т.д. Каждый такой признак (и их комбинации) образует случайную величину, наблюдения над которой мы и производим.
Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью. Более строго: генеральная совокупность — это с. в. Х(ы), заданная на пространстве элементарных событий й с выделенным в нем классом 5 подмножеств событий, для которых указаны их вероятности.
180 ' Раздел второй. Основы математической статистики Зачастую проводить сплошное обследование, когда изучаются все объекты (например — перепись населения), трудно или дорого, экономически нецелесообразно (например — не вскрывать же каждую консервную банку для проверки качества продукции), а иногда невозможно. В этих случаях наилучшим способом обследования является выборочное наблюдение: выбирают из генеральной совокупности часть ее объектов («выборку») и подвергают их изучению. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности. Более строго: выборка — это последовательность Х1, Х2,..., Х„ независимых одинаково распределенных с, в., распределение каждой из которых совпадает с распределением генеральной случайной величины.
Кисло объектов (наблюдений) в совокупности называется ее обзе- мом. Конкретные значения выборки, полученные в результате наблюдений (испытаний), называют реализацией выборки и обозначают строчными буквами х1, хз,..., х„. Метод статистического исследования, состоящий в том, что на основе изучения выборочной совокупности делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным. Для получения хороших оценок характеристик генеральной совокупности необходимо, чтобы выборка была репрезентативной (или представительной), т.е. достаточно полно представлять изучаемые признаки генеральной совокупности. Условием обеспечения репрезентативности выборки является, согласно закону больших чисел, соблюдение случайности отбора, т.
е. все объекты генеральной совокупности должны иметь равные вероятности попасть в выборку. Различают выборки с возвраи1ением (повторные) и без возвращения (бесповторные). В первом случае отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед извлечением следующего; во втором — не возвращается. На практике чаще используется бесповторнзя выборка.
Заметим, если объем выборки значительно меньше объема генеральной совокупности, различие между повторной и бесповторной выборками очень мало, его можно не учитывать. В зависимости от конкретных условий для обеспечения репрезентативности применяют различные способы отбора; простой, при котором из генеральной совокупности извлекают по одному объекту типической, при котором генеральную совокупность делят на «типические» Глава 6. Выборкиииххврактеристики ' ~61 части и отбор осуществляется из каждой части (например, мнение о референдуме спросить у случайно отобранных людей, разделенных по признаку пола, возраста,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
