1193507387 (547421), страница 28

Файл №547421 1193507387 (Конспект лекций) 28 страница1193507387 (547421) страница 282015-08-23СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

...,Х„, т.е. под Х, будем понимать значение с.в. Х в г-м опыте. Случайные величины Хыхз,...,Մ— независимы, закон распределения любой из них совпадает с законом распределения с.в. Х (т.е. Х, М(а, н)). А это значит, что Мхг = Мхз = ... = МХ„= МХ = а, вх =вх =...=вх„=вх. Выборочное среднее я Х =Х=~1~ Х; также будет распределено по нормальному закону (примем без доказательства). Параметры распределения Х таковы: М(Х) = а, В(Х) = (72 = —.

Действительно, н(х)=м(„-'~х,) =„-' ~мх, а(х) = а(„-'~х,) = — ', ~ах, = 1=1 ,=1 — „' ~мх= 1=1 ~вх = „— '. МХ = а, н вх = —. и ' Таким образом, Х М а, Следовательно, пользуясь формулой Р()Х вЂ” а( < Ц = 2Фо (о) 2Ф® — 1 Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии Глава 7. Элементы теории оценок и проверки гипотез ' 205 (формула (2.47)), можно записать 'у = р(~Х вЂ” а~ < е) = 2Фо ~, ~ = 2Фо(1) /Е Ъ/й~ е,/и где ~ = . Из последнего равенства находим (7.3) поэтому у = р /Х вЂ” а/ < — '~ = 2Фо(1) или ,Я) р Х вЂ” 1 < а < Х+1 ° = 2Фо(1) = у. (7.4) т/и /ч В соответствии с определением доверительного интервала получаем,что доверительный интервал для а = МХ есть Х вЂ” ~ ~,Х+1 (7.5) где 1 определяется из равенства (7.4), т.е. из уравнения Ф~(~) = 7 (7.б) 1+ у (или Ф(1) = ); при заданном у по таблице функции Лапласа находим аргумент 8.

Заметим, что из равенства (7.3) следует: с возрастанием объема выборки тт число е убывает и, значит, точность оценки увеличивается; увеличение надежности у влечет уменьшение точности оценки. Находим сначала х,: х = — ( — 25+ 34 — 20 + 10+ 21) = 4, т.е. — — 1 7 х = 4. Учитывая, что у = 0,95 и Фо(1) = —, получаем Фо(1) = 0,475. По таблице (см. Приложение) выясняем, что 1 = 1т — — 1,9б. Тогда е = 1,9б 20 17,5 (формула (7.3)). Доверительный интервал для а = тг'5 = МХ (согласно (7.б)) таков: (4 — 17,5;4+ 17,5), т.е.

( — 13,5; 21,5). ° Пример 7.5. Произведено 5 независимых наблюдений над с.в. Х 1У(а,20). Результаты наблюдений таковы: х1 = — 25, хт = 34, хз = = — 20, х4 = 10, хз = 21. Найти оценку для а = МХ, а также построить для него 95%-й доверительный интервал. 206 ° Раздел второй. Основы математической статистики Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии Пусть с. в.

Х М(а, и), и — неизвестна, т — задана. Найдем такое число е, чтобы выполнялось соотношение р(Х вЂ” е < а < Х + е1 = т или р()Х вЂ” а) < е) = т. (7.7) Введем случайную величину где Я вЂ” исправленное среднее квадратическое отклонение с. в. Х, вычисленное по выборке: Доказывается, что с.в. Т имеет распределение Стьюдента (см. п. 4.3) с и — 1 степенью свободы. Плотность этого распределения имеет вид: где Г(р) = ог е "Ии — гамма-функция; ~т(~, и — 1) — четная о функция.

Перейдем в левой части равенства (7.7) от с. в. Х к с. в. Т: ~~/й ) или р )Т) < — ) = т или р()Т! < Й,,1 = у, где (7.8) Глава 7. Элементытеорииоценоки проверки гипотез ' 207 Величина 8т находится из условия -гт т.е. из равенства 2 /7(1,п — 1) й =.~. о Пользуясь таблицей квантилей распределения Стьюдента (см. приложение 4 на с.

252), находим значение 1 в зависимости от доверительной вероятности 7 и числа степеней свободы и — 1 (1т — квантиль уровня 1 — 7). Определив значение 1 из равенства (7.8), находим значение е: (7.9) Следовательно, равенство (7.7) принимает вид р Х вЂ” Ст < а < Х+~7. ;/т~ тг'и ) А это значит, что интервал Х -47 ~,Х+~т покрывает а = МХ с вероятностью 7, т.е.

является доверительным интервалом для неизвестного математического ожидания с. в. Х. Пример 7.6. По условию примера 7.5, считая, что с.в. Х М(а,~т), П построить для неизвестного МХ = а доверительный интервал. Считать .у = 0,95. О Оценку З для МХ уже знаем: х = 4. Находим значение Я: У = — (( — 25 — 4)з 1+ (34 — 4)~+ ( — 20 — 4)з + (10 — 4)з+ (21 — 4)з) = = бб0,5; Я 25,7. По таблицедля у = 0,95 ип — 1 = 4 находим 17 = 2,78. 25,7 Слецовательно, г = 2,78 — 4 = 31,9. Доверительный интервал таков: (-27,9; 35,9). 208 ° Раздел второй. Основы математической статистики Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения < 1Н. Я> 1Н ~0~ Хг Х1 ) г 1 где и — объем выборки, оог = — 2 <Х; — а)г, а г г, г г Х1 = Х1ет ' Хг = Х1 —.„ ,и г —;ь г являются квантилями Хг-распределения с и степенями свободы <см. п.

4.3), определяемые по таблице квантилей Хг„„распределения Хг <см. приложение 3 на с. 251). Если а = МХ неизвестпно, то доверительный интервал для неизвестного о имеет вид: с ъ/и — 1 Я 1/и — 1 Я'1 Хг ' Х1 /' в где и — объем выборки, Я г 1 х р <Х, — Х) — исправленное — 1 2 и=1 среднее квадратическое отклонение, квайтили г г Х1 = Х1~-т —;0-1 г г г Хг =Х1-„ в;л-1 г 1+т 1 — 7 определяются по таблице Хг ь при Й = и — 1 и г1 = 2 2 И Г1 = соответственно. Пример 7.7. Для оценки параметра нормально распределенной слу- чайной величины была сделана выборка объема в 30 единиц и вычи- слено Я = 1,5.

Найти доверительный интервал, покрывающий ц с ве- роятностью 7 = 0,90. Имеем и = 30, 7 = 0,9. По таблице Хг ь находим Х1 = Х1 + 0,0 = Х <0,95; 29) = 17,7, ;30 — 1 Пусть с.в. Х 111<а,ц), ц — неизвестно, 7 задано. Можно показать, что если МХ = а известно, то доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о имеет вид: Глава 7. Элементы теории оценок и проверки гипотез ° 209 / ° '1~ъгм 0 д: ~~ (О 05~ 29): 42 б. ;30-1 Доверительный интервал имеет вид: ~/42,6 ' т/17,7 или 1,238 < о < 1,920. Скажем несколько слов о доверительном интервале для оценки вероятности успеха при большом числе испытаний Бернулли. Доверительный интервал, который с надежностью 7 покрывает оцениваемый параметр р при больших значениях и (порядка сотен), имеет вид (рмрд), где Р1 =р* — 1 и и Рг =Р" +1 и, (7.10) Р*(1 — Р*) „ Р*(1 — Р*) где р = — — относительная частота события А; 1 определяется из пА равенства 2Ф0(~) = ~.

Для оценки приближенного равенства р р" можно использовать / е ~/й'1 равенство р(~р* — р( < е) = 2Ф0 ( ) (см. п. 4.1). Упражнения 1. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально с о = 15 м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 5 м при надежности 7 = О 9? 2. По условию примера 6.3 найти точечную оценку и доверительный интервал для среднего роста студентов, считать у = 0,95. 3. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании.

Найти доверительный интервал для оценки р с надежностью 0,95, если в 400 испытаниях события А появилось 80 раз. 210 ° Раздел второй. Основы математической статистики 7.5. Проверка статистических гипотез Задачи статистической проверки гипотез Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или, напротив, отвергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности (случайной величины).

Например, новое лекарство испытано на определенном числе людей. Можно ли сделать по данным результатам лечения обоснованный вывод о том, что новое лекарство более эффективно, чем применявшиеся ранее методы лечения? Аналогичный вопрос логично задать, говоря о новом правиле поступления в вуз, о новом методе обучения, о пользе быстрой ходьбы, о преимуществах новой модели автомобиля или технологического процесса и т. д. Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез. Задачи статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказываечся та или иная гипотеза Н.

Из этой генеральной совокупности извлекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее. Следует отметить, что статистическими методами гипотезу можно только опровергнуть или не опровергнуть, но не доказать. Например, для проверки утверждения (гипотеза Н) автора, что «в рукописи нет ошибок», рецензент прочел (изучил) несколько страниц рукописи. Если он обнаружил хотя бы одну ошибку, то гипотеза Н отвергается, в противном случае — не отвергается, говорят, что «результат проверки с гипотезой согласуется».

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,42 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее