1193507387 (547421), страница 28
Текст из файла (страница 28)
...,Х„, т.е. под Х, будем понимать значение с.в. Х в г-м опыте. Случайные величины Хыхз,...,Մ— независимы, закон распределения любой из них совпадает с законом распределения с.в. Х (т.е. Х, М(а, н)). А это значит, что Мхг = Мхз = ... = МХ„= МХ = а, вх =вх =...=вх„=вх. Выборочное среднее я Х =Х=~1~ Х; также будет распределено по нормальному закону (примем без доказательства). Параметры распределения Х таковы: М(Х) = а, В(Х) = (72 = —.
Действительно, н(х)=м(„-'~х,) =„-' ~мх, а(х) = а(„-'~х,) = — ', ~ах, = 1=1 ,=1 — „' ~мх= 1=1 ~вх = „— '. МХ = а, н вх = —. и ' Таким образом, Х М а, Следовательно, пользуясь формулой Р()Х вЂ” а( < Ц = 2Фо (о) 2Ф® — 1 Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии Глава 7. Элементы теории оценок и проверки гипотез ' 205 (формула (2.47)), можно записать 'у = р(~Х вЂ” а~ < е) = 2Фо ~, ~ = 2Фо(1) /Е Ъ/й~ е,/и где ~ = . Из последнего равенства находим (7.3) поэтому у = р /Х вЂ” а/ < — '~ = 2Фо(1) или ,Я) р Х вЂ” 1 < а < Х+1 ° = 2Фо(1) = у. (7.4) т/и /ч В соответствии с определением доверительного интервала получаем,что доверительный интервал для а = МХ есть Х вЂ” ~ ~,Х+1 (7.5) где 1 определяется из равенства (7.4), т.е. из уравнения Ф~(~) = 7 (7.б) 1+ у (или Ф(1) = ); при заданном у по таблице функции Лапласа находим аргумент 8.
Заметим, что из равенства (7.3) следует: с возрастанием объема выборки тт число е убывает и, значит, точность оценки увеличивается; увеличение надежности у влечет уменьшение точности оценки. Находим сначала х,: х = — ( — 25+ 34 — 20 + 10+ 21) = 4, т.е. — — 1 7 х = 4. Учитывая, что у = 0,95 и Фо(1) = —, получаем Фо(1) = 0,475. По таблице (см. Приложение) выясняем, что 1 = 1т — — 1,9б. Тогда е = 1,9б 20 17,5 (формула (7.3)). Доверительный интервал для а = тг'5 = МХ (согласно (7.б)) таков: (4 — 17,5;4+ 17,5), т.е.
( — 13,5; 21,5). ° Пример 7.5. Произведено 5 независимых наблюдений над с.в. Х 1У(а,20). Результаты наблюдений таковы: х1 = — 25, хт = 34, хз = = — 20, х4 = 10, хз = 21. Найти оценку для а = МХ, а также построить для него 95%-й доверительный интервал. 206 ° Раздел второй. Основы математической статистики Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии Пусть с. в.
Х М(а, и), и — неизвестна, т — задана. Найдем такое число е, чтобы выполнялось соотношение р(Х вЂ” е < а < Х + е1 = т или р()Х вЂ” а) < е) = т. (7.7) Введем случайную величину где Я вЂ” исправленное среднее квадратическое отклонение с. в. Х, вычисленное по выборке: Доказывается, что с.в. Т имеет распределение Стьюдента (см. п. 4.3) с и — 1 степенью свободы. Плотность этого распределения имеет вид: где Г(р) = ог е "Ии — гамма-функция; ~т(~, и — 1) — четная о функция.
Перейдем в левой части равенства (7.7) от с. в. Х к с. в. Т: ~~/й ) или р )Т) < — ) = т или р()Т! < Й,,1 = у, где (7.8) Глава 7. Элементытеорииоценоки проверки гипотез ' 207 Величина 8т находится из условия -гт т.е. из равенства 2 /7(1,п — 1) й =.~. о Пользуясь таблицей квантилей распределения Стьюдента (см. приложение 4 на с.
252), находим значение 1 в зависимости от доверительной вероятности 7 и числа степеней свободы и — 1 (1т — квантиль уровня 1 — 7). Определив значение 1 из равенства (7.8), находим значение е: (7.9) Следовательно, равенство (7.7) принимает вид р Х вЂ” Ст < а < Х+~7. ;/т~ тг'и ) А это значит, что интервал Х -47 ~,Х+~т покрывает а = МХ с вероятностью 7, т.е.
является доверительным интервалом для неизвестного математического ожидания с. в. Х. Пример 7.6. По условию примера 7.5, считая, что с.в. Х М(а,~т), П построить для неизвестного МХ = а доверительный интервал. Считать .у = 0,95. О Оценку З для МХ уже знаем: х = 4. Находим значение Я: У = — (( — 25 — 4)з 1+ (34 — 4)~+ ( — 20 — 4)з + (10 — 4)з+ (21 — 4)з) = = бб0,5; Я 25,7. По таблицедля у = 0,95 ип — 1 = 4 находим 17 = 2,78. 25,7 Слецовательно, г = 2,78 — 4 = 31,9. Доверительный интервал таков: (-27,9; 35,9). 208 ° Раздел второй. Основы математической статистики Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения < 1Н. Я> 1Н ~0~ Хг Х1 ) г 1 где и — объем выборки, оог = — 2 <Х; — а)г, а г г, г г Х1 = Х1ет ' Хг = Х1 —.„ ,и г —;ь г являются квантилями Хг-распределения с и степенями свободы <см. п.
4.3), определяемые по таблице квантилей Хг„„распределения Хг <см. приложение 3 на с. 251). Если а = МХ неизвестпно, то доверительный интервал для неизвестного о имеет вид: с ъ/и — 1 Я 1/и — 1 Я'1 Хг ' Х1 /' в где и — объем выборки, Я г 1 х р <Х, — Х) — исправленное — 1 2 и=1 среднее квадратическое отклонение, квайтили г г Х1 = Х1~-т —;0-1 г г г Хг =Х1-„ в;л-1 г 1+т 1 — 7 определяются по таблице Хг ь при Й = и — 1 и г1 = 2 2 И Г1 = соответственно. Пример 7.7. Для оценки параметра нормально распределенной слу- чайной величины была сделана выборка объема в 30 единиц и вычи- слено Я = 1,5.
Найти доверительный интервал, покрывающий ц с ве- роятностью 7 = 0,90. Имеем и = 30, 7 = 0,9. По таблице Хг ь находим Х1 = Х1 + 0,0 = Х <0,95; 29) = 17,7, ;30 — 1 Пусть с.в. Х 111<а,ц), ц — неизвестно, 7 задано. Можно показать, что если МХ = а известно, то доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о имеет вид: Глава 7. Элементы теории оценок и проверки гипотез ° 209 / ° '1~ъгм 0 д: ~~ (О 05~ 29): 42 б. ;30-1 Доверительный интервал имеет вид: ~/42,6 ' т/17,7 или 1,238 < о < 1,920. Скажем несколько слов о доверительном интервале для оценки вероятности успеха при большом числе испытаний Бернулли. Доверительный интервал, который с надежностью 7 покрывает оцениваемый параметр р при больших значениях и (порядка сотен), имеет вид (рмрд), где Р1 =р* — 1 и и Рг =Р" +1 и, (7.10) Р*(1 — Р*) „ Р*(1 — Р*) где р = — — относительная частота события А; 1 определяется из пА равенства 2Ф0(~) = ~.
Для оценки приближенного равенства р р" можно использовать / е ~/й'1 равенство р(~р* — р( < е) = 2Ф0 ( ) (см. п. 4.1). Упражнения 1. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально с о = 15 м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 5 м при надежности 7 = О 9? 2. По условию примера 6.3 найти точечную оценку и доверительный интервал для среднего роста студентов, считать у = 0,95. 3. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании.
Найти доверительный интервал для оценки р с надежностью 0,95, если в 400 испытаниях события А появилось 80 раз. 210 ° Раздел второй. Основы математической статистики 7.5. Проверка статистических гипотез Задачи статистической проверки гипотез Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или, напротив, отвергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности (случайной величины).
Например, новое лекарство испытано на определенном числе людей. Можно ли сделать по данным результатам лечения обоснованный вывод о том, что новое лекарство более эффективно, чем применявшиеся ранее методы лечения? Аналогичный вопрос логично задать, говоря о новом правиле поступления в вуз, о новом методе обучения, о пользе быстрой ходьбы, о преимуществах новой модели автомобиля или технологического процесса и т. д. Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез. Задачи статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказываечся та или иная гипотеза Н.
Из этой генеральной совокупности извлекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее. Следует отметить, что статистическими методами гипотезу можно только опровергнуть или не опровергнуть, но не доказать. Например, для проверки утверждения (гипотеза Н) автора, что «в рукописи нет ошибок», рецензент прочел (изучил) несколько страниц рукописи. Если он обнаружил хотя бы одну ошибку, то гипотеза Н отвергается, в противном случае — не отвергается, говорят, что «результат проверки с гипотезой согласуется».