1193507387 (547421), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е~ е =( --) Г= -ь= е "ду = — (е 1 — 1) е *тЬ о 3) Рх(х) = 1(х,у)с~у йх = е "е "тЬ Ни= 1 е ди= Ответы к упражнениям ° 231 2. 1) г'(х, у) Следовательно, дхду=1,т.е. 4Ь Сну=1, С (4 — х)сЬ=1, С= —. 1 о о о — при х ) О,у ) О,х+ у < 4; 1 1 х,у)= 8' О, в противном случае. 4 — х 1И,ИЙУ~ = / -„ЙУ=-„1 = „*, ЯЕ,Я,К (Р)= о < 4; 3) Р(0 < Х < 1,1 < У < 3) = У(х,у) 41ЫУ = 2) 1'х(х) = 4 — у —,0<у з = — 1 4(х ду = 0,25 (см.
рис. 68). 1 8/ о Рис. 68 3. 1) С. в. Х принимает значения О, 1, 2. Очевидно, р4 = Р(Х = 01 = 0,6.0,6 = = 0,36, рз = 0,4 0,6+ 0,6 0,4 = 0,48, рз = 0,4 0,4 = 0,16. Стало быть: з (~ р, = 1). Аналогично находим, что есть ряд распределения с. в. У. 2) Возможные значения системы (Х, У): (О, 0), (О, 1), (О, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2). Совместная таблица 232 ° Ответы к упражнениям распределения имеет вид: так как р11 = Р(Х = О,У = 0) = 0,4 0,4 0,6. 0,6 = 0,16 0,36 = 0,0576, р1з = Р(Х = О,У = Ц = 0,36 .
0,48 = 0,1728, р1з = Р(Х = О, У = 2) = = 0,36 0,36 = 0,1296, рз1 = Р(Х = 1,У = 0) = 0,48 . 0,16 = 0,0768, рзз = Р(Х = 1,У = Ц = 0,48 0,48 = 0,2304, рзз = Р(Х = 1,У = 2) = = 0,48 0,36 = 0 1728, рз = Р(Х = 2,У = 0) = 0,16 0,16 = 0,0256, рзз = Р(Х = 2,У = Ц = 0 16 0 48 = 0 0768 рзз = Р(Х = 2,У = 2) = = 0,16 0,36 = 0,0576. 3) По таблице распределения, пользуясь равенством Р(х> У) = ~~', ~1, рб, находим значения функции распределения Р(х, у): ~~(~ Ун<У З.7 1. Имеем Тогда т = 1 0,33+2 0,33+3 0,34 = 2,01, тУ вЂ”вЂ” 1 0,24+2.0,28+3.0,27+ + 4 0,21 = 2,45.
Так как Р(Х = 1, 1' = Ц = 0,07 ~ Р(Х = Ц Р(У = Ц = 0,33. 0,24 = 0,0792, то с.в. Х и У вЂ” зависимы. Находим МХУ: МХУ = 1. 0,07+ 2 0,04+ + 3. 0,11+ 4. 0,11+ 2. 0,08+ 4 0,11+ 6. 0,06+ 8. 0,08+ 3 0,09+ 6. О, 13+ 9. 0,10 + + 12. 0,02 = 4,71. Поэтому сот(Х, У) = 4,71 — 2,01. 2,45 = — 0,2145. 2. 7" (х, у) ахау = 1, поэтому В 1 1 1 1 а сЫ (1 — ху )ду=а 1(х у — х — ) =а~ 21Ь=4а=1, а= —. 4 ) -1 / ' 4' — 1 — 1 — 1 Ответы к упражнениям 1 1 МХ = — х дх (1 — ху ) ду =...
= О, 4 / — 1 -1 1 1 / г з)) 13 хг 2 5/~ з 45 2 4 / -1 -1 -1 1 1 --/(*- ) */( -* ) .†. -3, 4/ — 1 -1 1 значит, о ~/3 1 1 СО ОО г1 г 1 1 1 з,1 ЮУ= (у — тп ) ~(х,у)Мха =- йх у (1 — ху )ду=... — 1 -1 1 значит, пу —— з/3 1 О =... = — —. 15' Кх = — ху(1 — ху ) сЬЙУ— 4/ / — 1 — 1 тз 1 1 Следовательно, гхг = ~Гз ~Гз 1 1 О О 1 2' о ) о — + — ~ ф х + у = ~(х, у), то с.
в. Х Так как 21(х) ' 22(у) (х + 2/ 1у 2! т зависимы. 1 1 1 МХ = хпх (х+У) оу = х ~х+ 2) вх — 12, о о о 3. с й~ ~х+у) у = ~ ( ) д = 1. Отсюда с = 1. Находим плотность вероятность 234 ' Ответы к упражнениям МУ = —, 1 1 РХ = 1 ( х — — ) дх 1 (х + у) (1у =— 7~ 12,) 144 о о или 1 1 ггх = /'. г. ) (., „( г„— ( г ) ' = о о РУ = —. 144' 3.9 0,10 1. Найдем условное распределение Х: р(х1/у1) = Р(Х = 0)У = -1) = 0,25 10 0,15 Д1 10 15 15 25 Р(х2(У1) 0,25 25. Значит М(Х)у~) = 0 25 + 1 25 25 — — 0,6.
р(х1)у2) = — ' = —, р(х2/у2) = —. Значит, М(Х(у2) = О. — + 1 0,15 15 25 15 25 0,40 40' 40' 40 40 40 0,63. Р(х1!Уз) 35' Р(х2(уз) = 35' 3 ачит, М(Х(уз) = 35 0,43. Кривая регрессии Х на у имеет вид, изображенный на рис. 69. Рва 69 )г Ь(у)хг ' е оот/2я Имеем У(Х у) 1 г (хг 2тху+Ог) у(Х~ ) — ' — Е 2(1 — г~) Ь(У) 2л,/Г: г2 1 е 2 т/2л 2. Как известно, для нормально распределенной с. в. (Х, У) ее составляющая У также распределена по нормальному закону (формула (3.37)): Ответы к упражнениям ° (х — ут 2(сст — т 42я Л вЂ” г~ т.
е. условная плотность распределения ~(х[у) есть плотность нормальн распределения с параметрами т = ут и ст = Л вЂ” г~. Аналогично наход что ( — хт) с ~(у)х) = У(х, у) 2(сс1 — ~ ) Л (х) 42яЛ вЂ” г~ 3.11 1. Так как 1 И)хх О, хф[а,Ь], то 6 (1) 1 ( сех,(Х 1 1 (ЕНЬ Еаа) г (ЕсьЬ Сиа) Ь вЂ” а / Ь вЂ” а 61 (а — 6)й а а/се — а 2.
Так как рь =,, й = О, 1, 2,..., то с с ~ ~ ы/со е — а ~ — а аесс — а(1 — е") и ~ и 6=о ь=о Тогда асс(с) = е а(1 ' ) ( — а).( — ен) т, значит, МХ = [ — 1(о~(0)] = — г.(1.аг = а, т. е. МХ = а. — 1 О 00 о 3. ср($) = енх От(х + еах( — 2х) ссх + енх Оссх = — 2 енххт(х -00 — 1 О -1 = — 2 [ —,е ~ — —. —.е ~ ) = — 2(0 — —.е + — (1 — е )) = х нх) 1 1 Йх — 1 -н 1 -н 2ге ' ~й ~1 йй [1) тй 2 2е " 21се *' — 2+2е " — — + с2 Ь2 12 Глава 4 4.1 236 ' Ответы к упражнениям б) в) У 0 1 р 0,5 0,5 Многоугольники распределения с.
в. Х и У изображены, соответственно, на рис. 70, 71. Рис. 71 Рис. 70 МУ = 0 0,5+1 0,5 = 0,5; РУ = [МУг — (МУ)г] = Ог.0,5+1г 0,5 — (0,5)г = = 0,5 — 0,25 = 0,25. Отсюда нУ = ъ'РУ = ~/0,25 = 0,5. 3. С. в. Х имеет равномерное распрецеление, значит, 1 7х(х) = 4' О, хф[ — 2,2]. Функция у = х + 1 строго возрастает в ( — оо,со), обратная функция х = у — 1 = у(у), у Е [ — 1,3]. По формуле д(у) = 7"®у)) [ф'(у)~ нахо- дим: — ° [-, ], д(у) = 4 ~О, у~[ — 13], т. е. У Рс[ — 1,3].
Находим МУ: МУ = — ду = 1 (или МУ = М(Х+1) = — 1 г 3 1 г г У г 4 2 г г (х+1) — с(х = 1). РУ = МУ вЂ” (МУ) = / — ду — 1 = —, нУ = —. — — -l — -л Ответы к упражнениям ' 237 тг 4. По условию ~к(х) = — е 2 . а) Функция у = Зхэ имеет обратную 1/2 ли * = '„= Фу) х' = Р'(У) = —,.
—. Поэтому у 3 ',з/3 3 з/У2' 1 з(уз д(у)= — е 2у О', У~О, ъ/2л л3 з/3у2 гх, х > О, б) у = [х! = ( ' ' На ( — оо, 0) обратная функция для у = )х) есть — х < О. х1 = У = ггг1(у). На [О, со) обратная функция есть х2 = у = гд2(у). Стало быть, 2 „г „г 2 д(у) ~' 2 Ы(У))~з1гг(У)~ — е 2 1+ — е 2 1 = — е 2, 1/2л з/2л 1/2л у Е [О,оо). 5. а) Поусловию2(х) = е* х > ОиР(х) = 1 е* х > 0 С(у) у+ 1) /у+ 1'1 = Р0' < У) = Р(2Х вЂ” 1 < у) = Р Х < — ~ = Р у+1 = 1 — е 2, у > — 1 (так как условие х > 0 переходит для у = 2х — 1 у+' г в условие у > — 1).
Следовательно, д(у) = С'(у) = — е 2 [ — — ) у -~- 1 = — е 2 приу > — 1(д(у) = Оприу < — 1). 6) Если у < О,то С(у) = =Р(1 <0) =О ид(у) =С~(у) =О. Приу>ОимеемС(у) =Р(т' <у) = = Р(Х2 < у) = Р(/Х/ <,/у) = РЦ вЂ”,/у < Х <,/у) = Р10 < Х <,/у) = = Р(Х < з/у) — Р(Х < О) = Р( Д) — Е(0) = (1 — е з/") — (1 — ео) = 1 — е з/", у > О. Тогда д(у) = С'(у) = (1 — е '")' = — е з~", т. е. 2,/у у>0, (,) 2 /у' О, у<0. о 00 00 Контроль: д(у) ду = 1, 0 з(х+ ~ — е з/Уду = — ~ е 'г"д( —,/у) = 1 /2/у — ОΠ— ОО о о = — е зг"! = — (Π— 1) = 1.
(Иначе: при х е (О,оо) имеем х = ~у = за(у). ~о Поэтому д(у) = Д,/у) (,/у)' = е з~", у > О.) 2 /у' Ответы к упражнениям Рис. 72 Рис. 78 2. Е()=Р( — Р )= ( ( РУ)ОРУ.Е()=О Р *<О; Р ОР* ГУ о, ( —,< ) имеем 1 2Х Е(2) = ((х '(х + у) ((у = — +— 3 6' с 0 При 1 < г < оо имеем 1 2 ХО 1 1 РР(,х) = с~х 1х+ у) (1у+ Нх 1х+ у) (1у = о 1 1 1 1 1 = — + — +1 — — — — =1 — —— 3с2 бс 2х2 2г Зс Следовательно, г(0, 0<с<1, О, 1 г — +— 3 3' 1 1 — + —, 3 3 Е12) =1'(3) = 1<2<оо.
00 1 00 Контроль) Дх) Й = ~ ~ — + — ) Й+ + — (1х = 1 1см. рис. 240 Ответы к упражнениям Глава 5 1. а) С.в. Х вЂ” число выпавших гербов. МХ = 500 — = 250. Неравенство 1 2 200 < Х < 300 можно переписать ввиде — 50 < Х вЂ” 250 < 50 или )Х вЂ” 250~ < < 50. А так как РХ = [ирд] = 500 . — . — = 125, то Р(200 < Х < 300) = = Р(~Х вЂ” 250/ < 50) > 1 — — = 1 — — = 1 — 0,05 = 0,95; б) с.в. Я Х вЂ” сумма очков, Х, — число очков на гтогг кости (г = 1, 2,..., 10). Х = = Хг + Хг +... + Хю.
МХ, = — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5, РХ, = —, 1 1О Значит, МХ = ~ МХ, = 35, РХ = . Поэтому Р(~Х вЂ” 35! < 8) > 9=1 > 1 — = 1 — 0,4557 = 0,5443. 2. Р†„ 1 Х, — „- 1 МХ, < е > 1 — †,при е = 0,1 и С = 5 получаем: 9=1 6=1 иег 1 — > 0,9. Отсюда п > 5000. 5 и . 10,1)~ 3. Р(~ и — р~ < а) > 1 — —. Из условия следует, что п = 500, е = 0,1, иез р=бг= —. Получаем Рц — 0,5~ <0,11 >1 — ' ' =0,95. 2 (.~500 ' ! ' 1 500 ° (0,1)~ 4. Пусть Х, — число набранных очков при г-м выстреле, а Ягоо суммарное число очков при 100 выстрелах.
Тогда МХ, = 10.0,5+9 0,3+8 0,1+7.0,1 = = 9,2, юо м (~ х,) = 9,9 10о = 999; 9=1 РХ, = 100 0,5+ 81 0,3+ 64 0,1+49 0,1 — (9,2)~ = 0,96, 1ОО Р(~Х,) = 0,96 100 = 99. 9=1 По формуле (5.14) Р(940 < Ягоо < со) = Ф(оо) — Ф ~ ) 7 940 — 9201 16696 = 1 — Ф(2,04) = 1 — 0,9793 = 0,0207. 5. Пусть Х вЂ” число прижившихся из п посаженных саженцев.
По условию р = 0,7, д = 0,3. Тогда МХ = 0,7и, РХ = 0,3 0,7и = 021п. Р(~Х вЂ” 0,7и( < 40) > 1 — ' . Имеем 1 — ' > 0,9, п < 761. 0,21п 0,21и Ответы к упражнениям Раздел второй Глава 6 О, прих<1, 1 — при 1 < х < 3, 3 — при 3 < х < 6, 1, приб<х. 8 10 8 : 12 1.
и = 30, Р! = — Рг — †, Рз = †. Е»о(х) = 30' 30' 30' 2. хв = 1,983 = 2; О, = 1,949 = 1,95. Частост р! такова: р рг = — 0,283, рз = 0,267, р4 = 0,167, рз — — 0,100, ро = 0,033, рт = 17 7 (~ р,' = 1). Находим вероятности р, по формуле Пуассона, счита» 4=1 е-г 2о е-г 2! 0135. =х =2.Р1=' ! =0135,рг=' 1! =0270,рз= 2! 0 135 2з = 0,270, р4 = ' = 0,180, рз — 0,090, ро = 0,036, рт = 0,017 (~ 3! = 1).
Как видим, с. в. Х число неправильных соединений имеет тическое пуассоновское распределение. 3. 1. Все возможные значения с. в. Х вЂ” числа очков, выпавших на ве! грани кости при одном подбрасывании ее. 2. Это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. 3. Это результат 60-ти подбрасываний игральной кости, описываетс Х», Хг, Хз, ",Хзо, Хоо 4. Первая реализация выборки приведена в условии, вторая — может такая: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4 6, 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
