1193507387 (547421), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Методы нахождения точечных оценок Рассмотрим наиболее распространенные методы получения точечных оценок параметров распределения: метод моментов и метод максимального правдоподобия (кратко: ММП). Метод моментов Метод моментов для нахождения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов распределения соответствующим эмпирическим моментам, найденных по выборке. Так, если распределение зависит от одного параметра 0 (например, задан вид плотности распределения ~(т,В)), то для нахождения его оценки надо решить относительно В одно уравнение: МХ=Х, (МХ = я 1(я,В) <Ь' = у(0) есть функция от В).
Если распределение зависит от двух параметров (например, вид плотности распределения ~(т, Вы Вз)) — надо решить относительно 01 и Вг систему уравнений: МХ =Х„ РХ = Р,. 198 ' Раздел второй. Основы математической статистики И, наконец, если надо оценить тг параметров 01,0г,...,0 — надо решить одну из систем вида: МХ = — ~; Х„ г=1 МХг 1 ~"- Хг МХ = Х, РХ = Р„ или М(Х вЂ” МХ)Й 1 Е(Х Х )Й г=1 МХ" = — ~; Х1'; г=1 Метод моментов является наиболее простым методом оценки параметров. Он был предложен в 1894 г. Пирсоном.
Оценки метода моментов обычно состоятельны, однако их эффективность часто значительно меньше единицы. Требуется по выборке х1,хг,,х„найти точечные оценки неизвестных параметров а = МХ = 01 и а = .РХ = дг. По методу моментов приравниваем их, соответственно, к выборочному среднему и выборочной дисперсии (гг1 = МХ вЂ” начальный момент 1 порядка, дг = РХ вЂ” центральный момент П порядка). Полу- чаем МХ =х„ РХ = Р„ т. е.
Итак, искомые оценки параметров нормального распределения: 01 = хк и дг —— ,/Р,. Метод максимального правдоподобия Пусть х1, хг,..., х„— выборка, полученная в результате проведения и независимых наблюдений за с.в. Х. И пусть вид закона распределения величины Х, например, вид плотности 1 1х, 0), известен, но Пример 7.2. Найти оценки параметров нормального распределения П с. в. Х методом моментов. Глава 7. Элементы теории оценок и проверки гипотез 199 неизвестен параметр В, которым определяется этот закон.
Требуется по выборке оценить параметр В. В основе метода максимального правдоподобия (ММП), предложенного Р. Фишером, лежит понятие функции правдоподобия. Функцией правдоподобил, построенной по выборке ты хз,..., т„, называется функция аргумента В вида 1(тыхз,...,т„;В) = ~(хыВ) ~(хз, В) ... 7 (хл, В) или где 7'(х, В) — плотность распределения с. в.
Х в случае, если Х вЂ” непрерывная. Если Х вЂ” дискретная с. в., то функция правдоподобия имеет вид Цх, В) = р(ты В) ° р(тг, В) ... р(т„, В) = Пр(х;, В), где р(х„В) = р(Х = т;, В1. Из определения следует, что чем больше значение функции Ь(х, В), тем более вероятно (правдоподобнее) появление (при фиксированном В) в результате наблюдений чисел хм хг,..., т„. За точечную оценку параметра В, согласно ММП, берут такое его значение В, при котором грункцил правдоподобил достигает максимума. Эта оценка, называемая оценкой максимального правдоподобия, является решением уравнения НЦх, В) аВ Так как функции Цх, В) и 1пЦх, В) достигают максимума при одном и том же значении В, то вместо отыскания максимума функции 1 (т, В) ищут (что проще) максимум функции 1и о(х, В).
Таким образом, для нахождения оценки максимального правдоподобия надо: 1. решить уравнение правдоподобия Н(1п Цт, В)) г(В 200 ° Раздел второй. Основы математической статистики 2. отобрать то решение, которое обращает функцию 1пЦт, 0) в максимум 1удобно использовать вторую производную: если и'з 1пЦт,О) <О, то О = Π— точка максимума).
Если оценке подлежат несколько параметров Оы Оз,..., О„распределения, то оценки Оп..., О„определяются решением системы уравнений правдоподобия: д11п А) дО д11п А) дО„ Пример 7.3. Найти оценку параметра а распределения Пуассона ме- П тодом максимального правдоподобия. ат еа 1„) В данном случае р(Х = тп) = . Поэтому тп! Ох р(т,,д) = р(Х = т;,0) = при т; е И.
Составляем функцию правдоподобия (для дискретной с.в. Х): Ох~ е — д Охт, е — д Ця О)= тв! т1.... я„. 1' Тогда 1п1(т,О) = — п О+ ~т; ° 1пΠ— 1п(т1! хг! ... я !) и Ипат,О) ЫО 0 Уравнение правдоподобия имеет вид: Глава 7. Элементы теории оценок и проверки мпотез ° 20! Отсюда находим 1с О= — хт х,=х . й к'., 2=1 А так как ~Р1пЦх,О) ~ !в=в Оз -' 2=1 является оценкой максимального правдоподобия.
то оценка 0 = х, Итак, 0 = а = х,. Метод наименьших квадратов Метод нахождения оценки 0 неизвестного параметра О, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от определяемой (искомой) оценки О, называется метподом наименьших квадратов (коротко( МНК). Другими словами, в МНК требуется найти такое значение О, которое минимизировало бы сумму Р(0) = ~(Х! — 0) -+ ппп. 2=1 Отметим, что МНК является наиболее простым методом нахождения оценок параметра О. Пример 7.4. Найти оценку параметра а распределения Пуассона ме- Л тодом наименьших квадратов.
(„1) Найдем точку минимума функции Е(0) = ~(Х, — 0): и 2 П Х'(2) = (Х = 1 (Х, — 2)' ) = 1 2(Х, — 2) (-2); 2=1 в из уравнения Р) (0) = 0 находим критическую точку: — 2 ~(Х, — 0) = О, 2=1 п и п и т. е. ~ Х; — ~~) 0 = О, т. е.
~~) Х; = пО, Окр — — — ~ Х,. А так как 2=1 и 22 Х"(2 )= ( — 21 (Х,— 2)) = — 21 ( — 1)=2 )л 2=1 в 202 ' Раздел второй. Основы математической статистики при любом значении О, то О„р — — — ~Х; — точка минимума функ1=1 ции Е(0).
Таким образом, оценкой параметра а в распределении Пуаса'" е ' сова Р(тл;а) = 'е, тп = 0,1,2,... согласно МНК, является в 0=1~ 'Х;. 1=1 Можно доказать, что: М(0) = О = а, 11(0) = —. Упражнения 1. Найти оценку параметра распределения Пуассона методом моментов. 2. Пользуясь ММП, оценить вероятность появления герба, если при 10 бросаниях монеты герб появился 6 раз. 3. Найти оценку неизвестной вероятности успеха в схеме Бернулли методом моментов и ММП.
4. Дано: с.в. Х В~а,Ь]. По выборке хмхз,...,х„оценить величины а и Ь методом моментов. 5. Найти оценки параметров нормального распределения с.в. Х методом максимального правдоподобия. 7.3. Понятие интервального оценивания параметров Точечные оценки неизвестного параметра О хороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой точностью они дают оцениваемый параметр. Глава 7.
Элементы теории оценок и проверки гипотез ° 203 Для выборок небольшого объема вопрос о точности оценок очень существенен, так как между О и О может быть большое расхождение в этом случае. Кроме того, при решении практических задач часто требуется определить и надежность этих оценок. Тогда и возникает задача о приближении параметра О не одним числом, а целым интервалом (Оы Оз). Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами — концами интервала. Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал (ОНОз), относительно которого с заранее выбранной вероятностью 7 можно сказать, что внутри этого интервала находится точное значение оцениваемого параметра (см.
рис. 62). В О О, Рис. 69 Интервал (ОНА), накрывающий с вероятностью 7 истинное значение параметра О, называется доверительным интервалом, а вероятность 7 — надежностью оценки или доверительной вероятностью. Очень часто (но не всегда) доверительный интервал выбирается симметричным относительно несмещенной точечной оценки О, т. е.
выбирается интервал вида (Π— е, О + е) такой, что р(0 Е ~0 — еО+ е)~ = р ~/Π— О/ ( е) = 7. Число е ) 0 характеризует точность оценки: чем меньше разность (Π— д), тем точнее оценка. Величина 7 выбирается заранее, ее выбор зависит от конкретно решаемой задачи. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, очевидно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности телевизора, лампочки, игрушки...Надежность 7 принято выбирать равной 0,9; 0,95; 0,99 или 0,999. Тогда практически достоверно нахождение параметра О в доверительном интервале (Π— е, О+ е). 204 ' Раздел второй. Основы математической статистики 7.4.
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения Построим доверительные интервалы для параметров нормального распределения, т. е. когда выборка производится из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение с параметрами а и а . Пусть с. в. Х М(а, а); о — известна, доверительная вероятность (надежность) у — задана. Пусть з1, хз,..., х„— выборка, полученная в результате проведения и независимых наблюдений за с. в. Х. Чтобы подчеркнуть случайный характер величин хмхз,...,х„, перепишем их в виде Х1, Хг,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
